关于具有对数相关高斯随机场的Gibbs测度的一个注记
A remark on Gibbs measures with log-correlated Gaussian fields
AI总结：
本文利用变分公式证明了在 $d$ 维环面上具有对数相关高斯场和四次相互作用的聚焦Gibbs测度的不可正规化性，给出了发散速率，并探讨了三次相互作用及二维Zakharov系统的相关性质。
摘要：
我们研究了在 $d$ 维环面上具有对数相关基础高斯随机场的 Gibbs 测度。在聚焦情况下，此类 Gibbs 测度的构造可由 Nelson 的论证推导得出。在本文中，我们考虑具有四次相互作用的聚焦情况。利用变分公式，我们证明了该 Gibbs 测度的不可正规化性。当 $d = 2$ 时，我们的论证为 Brydges 和 Slade (1996) 关于聚焦 $Φ^4_2$-测度的不可正规化性结果提供了一种替代证明。此外，我们给出了发散的精确速率，其中常数由 $\mathbb{R}^d$ 上某个 Bernstein 不等式的最优常数所刻画。我们还回顾了具有三次相互作用的聚焦 Gibbs 测度的构造。在附录中，我们展示了 二维 Zakharov 系统 Gibbs 测度的不可正规化性，以及具有更平滑基础高斯测度的聚焦四次 Gibbs 测度的构造，从而表明了具有聚焦四次相互作用的 对数相关 Gibbs 测度的临界特性。
英文摘要：
We study Gibbs measures with log-correlated base Gaussian fields on the $d$-dimensional torus. In the defocusing case, the construction of such Gibbs measures follows from Nelson's argument. In this paper, we consider the focusing case with a quartic interaction. Using the variational formulation, we prove non-normalizability of the Gibbs measure. When $d = 2$, our argument provides an alternative proof of the non-normalizability result for the focusing $Φ^4_2$-measure by Brydges and Slade (1996). Furthermore, we provide a precise rate of divergence, where the constant is characterized by the optimal constant for a certain Bernstein's inequality on $\mathbb{R}^d$. We also go over the construction of the focusing Gibbs measure with a cubic interaction. In the appendices, we present (a) non-normalizability of the Gibbs measure for the two-dimensional Zakharov system and (b) the construction of focusing quartic Gibbs measures with smoother base Gaussian measures, showing a critical nature of the log-correlated Gibbs measure with a focusing quartic interaction.
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