$S^2 \times S^1$ 的连通和的映射类群
The mapping class group of connect sums of $S^2 \times S^1$
AI总结：
本文证明了 $S^2 \times S^1$ 连通和的映射类群 $\text{Mod}(M_n)$ 的扩张可裂，从而构成 $\text{Out}(F_n)$ 与 $(\mathbb{Z}/2)^n$ 的半直积，并简化了 Laudenbach 的原始证明。
摘要：
设 $M_n$ 为 $n$ 个 $S^2 \times S^1$ 的连通和。Laudenbach 的一个经典定理指出，映射类群 $\text{Mod}(M_n)$ 是 $\text{Out}(F_n)$ 被由球体扭转生成的群 $(\mathbb{Z}/2)^n$ 的扩张。我们证明了该扩张可裂，因此 $\text{Mod}(M_n)$ 是 $\text{Out}(F_n)$ 与 $(\mathbb{Z}/2)^n$ 的半直积，其中 $\text{Out}(F_n)$ 通过自然满射 $\text{Out}(F_n) \rightarrow \text{GL}_n(\mathbb{Z}/2)$ 的对偶作用其上。我们的分裂将 $\text{Out}(F_n)$ 映射到 $\text{Mod}(M_n)$ 的子群，该子群由固定 $M_n$ 的切丛平凡化的同伦类的映射类组成。我们的技术还简化了 Laudenbach 原始证明的诸多方面，包括将扭转子群等同于 $(\mathbb{Z}/2)^n$。
英文摘要：
Let $M_n$ be the connect sum of $n$ copies of $S^2 \times S^1$. A classical theorem of Laudenbach says that the mapping class group $\text{Mod}(M_n)$ is an extension of $\text{Out}(F_n)$ by a group $(\mathbb{Z}/2)^n$ generated by sphere twists. We prove that this extension splits, so $\text{Mod}(M_n)$ is the semidirect product of $\text{Out}(F_n)$ by $(\mathbb{Z}/2)^n$, which $\text{Out}(F_n)$ acts on via the dual of the natural surjection $\text{Out}(F_n) \rightarrow \text{GL}_n(\mathbb{Z}/2)$. Our splitting takes $\text{Out}(F_n)$ to the subgroup of $\text{Mod}(M_n)$ consisting of mapping classes that fix the homotopy class of a trivialization of the tangent bundle of $M_n$. Our techniques also simplify various aspects of Laudenbach's original proof, including the identification of the twist subgroup with $(\mathbb{Z}/2)^n$.
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