带分数阶余不变导数的 Hamilton--Jacobi 方程的极小极大解
Minimax Solutions of Hamilton--Jacobi Equations with Fractional Coinvariant Derivatives
AI总结：
针对演化由 Caputo 分数阶导数描述的动态系统最优控制问题，本文提出了带分数阶余不变导数的 Hamilton--Jacobi 方程在极小极大意义下的广义解，并利用 Lyapunov--Krasovskii 泛函证明了解的存在性、唯一性及与经典解的相容性。
摘要：
我们考虑一个带有阶数为 $α\in (0, 1)$ 的余不变导数的 Hamilton--Jacobi 方程的 Cauchy 问题。此类问题自然地出现在动态系统的最优控制问题中，这些系统的演化由阶数为 $α$ 的 Caputo 分数阶导数的常微分方程描述。我们提出了所考虑问题在极小极大意义下的广义解的概念。我们证明了极小极大解存在、唯一，并且与该问题的经典解相容。特别地，我们特别关注比较原理的证明，这需要构造一个合适的 Lyapunov--Krasovskii 泛函。
英文摘要：
We consider a Cauchy problem for a Hamilton--Jacobi equation with coinvariant derivatives of an order $α\in (0, 1)$. Such problems arise naturally in optimal control problems for dynamical systems which evolution is described by ordinary differential equations with the Caputo fractional derivatives of the order $α$. We propose a notion of a generalized in the minimax sense solution of the considered problem. We prove that a minimax solution exists, is unique, and is consistent with a classical solution of this problem. In particular, we give a special attention to the proof of a comparison principle, which requires construction of a suitable Lyapunov--Krasovskii functional.
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