重排上的平均振荡界
Mean oscillation bounds on rearrangements
AI总结：
本文利用几何论证改进了立方体上BMO函数递减重排的经典不等式，将常数增长降为至多$\sqrt{n}$阶，并首次证明对称递减重排也满足类似不等式。
摘要：
我们使用几何论证证明了 $\mathbb{R}^n$ 上两种重要重排的平均振荡的显式界。对于立方体上有界平均振荡（BMO）的可重排函数 $f$ 的递减重排 $f^*$，我们改进了 Bennett--DeVore--Sharpley 的经典不等式 $\\|f^*\\|_{BMO(\mathbb{R}_+)}\leq C_n \\|f\\|_{BMO(\mathbb{R}^n)}$，证明了常数 $C_n$ 随维度 $n$ 的增长不是指数级的，而是至多 $\sqrt{n}$ 阶的。这是通过将立方体与一族矩形进行比较实现的，对于该族矩形可以证明与维度无关的 Calderón--Zygmund 分解。通过将立方体与一族极坐标矩形进行比较，我们首次证明了类似的不等式对于对称递减重排 $Sf$ 也成立。
英文摘要：
We use geometric arguments to prove explicit bounds on the mean oscillation for two important rearrangements on $\mathbb{R}^n$. For the decreasing rearrangement $f^*$ of a rearrangeable function $f$ of bounded mean oscillation (BMO) on cubes, we improve a classical inequality of Bennett--DeVore--Sharpley, $\|f^*\|_{BMO(\mathbb{R}_+)}\leq C_n \|f\|_{BMO(\mathbb{R}^n)}$, by showing the growth of $C_n$ in the dimension $n$ is not exponential but at most of the order of $\sqrt{n}$. This is achieved by comparing cubes to a family of rectangles for which one can prove a dimension-free Calderón--Zygmund decomposition. By comparing cubes to a family of polar rectangles, we provide a first proof that an analogous inequality holds for the symmetric decreasing rearrangement, $Sf$.
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