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阶乘$\pmod p$和模映射的平均值

Factorials $\pmod p$ and the average of modular mappings

Cristian Cobeli, Alexandru Zaharescu

备注：
8 pages, 6 figures
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摘要：

我们已经知道，在长度为$n$的$\mathcal{M}=\{1,2,\dots, M\}$中的大多数序列将丢失$\{1,2,\dots,M\}$总数中的$Me^{-λ}$，因为比率$n/M$倾向于$λ$。现在我们考虑一个更一般的情况，其中$\{1,2,\dots,M\}$中的数字通过“随机”序列$f(1), f(2),\dots,f(n)$精确地实现k次。我们表明，如果$n/M\rightarrow λ$，那么极限有一个泊松分布，也就是说，在$\mathcal{M}$中的一些数字的序列的比例达到了$k$倍的极限$\frac{λ^k}{k!}e^{-λ}$。我们猜想这是阶乘映射模一个素数的行为，并提出了一些支持的论点。

英文摘要：

We have known that most sequences in $\mathcal{M}=\{1,2,\dots, M\}$ with length $n$ will miss $Me^{-λ}$ of the total numbers of $\{1,2,\dots,M\}$ as the ratio $n/M$ tends to $λ$. Now we consider a more general case where the numbers in $\{1,2,\dots,M\}$ are achieved exactly k times by a 'random' sequence $f(1), f(2),\dots,f(n)$. We show that if $n/M\rightarrow λ$, then the limit has a Poisson distribution, that is, the proportion of sequences for which some number in $\mathcal{M}$ is achieved exactly $k$ times has the limit $\frac{λ^k}{k!}e^{-λ}$. We conjecture that this is the behavior of the factorial mapping modulo a prime and present a few supporting arguments.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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