Linear recurrences of order at most two in nontrivial small divisors and large divisors
对于每一个正整数$N$，定义$$S'_N \ =\ \{1 < d < \sqrt{N}: d|N\}\mbox{ and }L'_N \ =\ \{\sqrt{N} < d < N : d|N\}.$$最近，Chentouf的特点是所有正整数$N$，使一组小因子$\{d\le \sqrt{N}: d|N\}$满足线性递归的顺序最多为2。我们通过排除平凡因子$1$的考虑，这大大增加了分析的复杂性，非平凡扩展的结果。我们的第一个结果刻画了所有正整数$N$使得$S'_N$满足至多二阶的线性递归。此外，我们的第二个结果的特点是所有积极的$N$，使$L'_N$满足线性递归的顺序最多为2，从而大大扩展了最近的结果，特点是$N$与$L'_N$是在一个等差数列。
2022-10-01 math.NT
3-tuples have at most 7 prime factors infinitely often
设$L_1$、$L_2$、$L_3$是没有固定素除子的整数线性函数.我们证明了存在无穷多个$n$，且乘积$L_1(n)L_2(n)L_3(n)$至多有7个素因子，改进了Porter的一个结果.我们通过基于Diamond-Halbert-Richert多维筛子的加权筛子来实现这一点。
2012-05-22 math.NT
Schreier Numbers and Nontrivial Small Divisors Satisfying Linear Recurrence of Order at Most Two
Schreier集一直是一个研究对象，因为首先介绍了在1930年由Jozef Schreier构建一个反例的猜想巴拿赫。1974年，乔治·安德鲁斯发现了这些集合和斐波那契数之间的有趣联系，此后，朱棣文、比兰德和芬奇-史密斯证明了更多的组合式结果。在平行Iannucci介绍了概念的小因子和特点的所有自然数的小因子是在等差数列，结果被推广的Chentouf和朱。然后结合这两个思想，朱棣文引入了Schreier数的概念，它的非平凡小因子集（小因子不包括1）是Schreier。我们的主要结果有两个方面：我们首先证明了这些数的渐近密度为0，并且存在无穷多个差为2或4的非素Schreier对。然后受Chu推广的Iannucci结果的启发，我们刻画了所有非平凡小因子满足阶不大于2的线性递归的自然数。
2022-09-23 math.NT
Multidimensional van der Corput sets and small fractional parts of polynomials
建立了广义多项式$f$的分数部分的丢番图不等式，特别是对于序列$ν(n)=\lfloor n^c\rfloor+n^k$，其中$c>1$是非整数实数，$k\in\mathbb{N}$是整数实数，以及对于$p$遍历所有素数的$ν(p)$.这与Heilbronn的经典工作和Bergelson \textit{et al.}的最新结果有关
2017-12-18 math.NT
The divisor function in arithmetic progressions modulo prime powers
我们研究了用$n \equiv a \bmod q$表示的$n\le x$的除数函数$τ(n)$的平均值。已知除数函数均匀分布在所有略小于$x^{2/3}$的$q$的等差数列上。我们将展示如何去过去这个障碍时，$q=p^k$奇素数$p$和任何固定的整数$k\ge 7$。
2016-02-12 math.NT
The divisor function along arithmetic progressions and binary cubic polynomials
该研究提出带两个小因子模的算术级数中除数函数的新等分布估计，给出两项应用：指数2/3的几乎所有模的算术级数上除数函数的渐近公式，以及沿非齐次二元三次多项式XY²+1的除数函数渐近公式。
2025-09-04 math.NT
On an asymptotic behavior of the divisor function $τ(n)$
对于$μ>0$，我们研究了定义为$$T_{n}(μ)=\frac{max_{1\leq m \leq {n^{\frac{1}μ}}}\{τ(n + m)\}}{τ(n)},\ n=1,2,...$$的序列的渐近行为，其中$τ(n)$表示给定$n\in \mathbb{N}$的自然因子的数目。该观察的动机是探索$τ$函数是否在自然数的小邻域中快速振荡。
2016-01-16 math.NT
On the Greatest Common Divisor of Shifted Sets
给定一组$n$正整数$\{a_1, \ldots, a_n\}$和一个整数参数$H$，研究了其元素被整数$h_i$和$|h_i| \le H$，$i =1, \ldots, n$作小的加法移位，使得$a_1+h_1, \ldots, a_n+h_n$的最大公因数与$a_1, \ldots, a_n$的最大公约数有很大的不同.我们还考虑了一个类似的问题，为最小公倍数。
2014-02-05 math.NT
Adelically summable normalized weights and adelic equidistribution of effective divisors having small diagonals and small heights on the Berkovich projective lines
我们引入了一个adelically可和的归一化权重$g$的概念，这是一个家庭的规范化的Berkovich投影线满足可和性条件的权重。然后，我们建立了有效$k$ -因子在乘积公式域$k$的$\overline{k}$中的可分闭包$k_s$上的投影线上的等距离分布，该乘积公式域$k$具有小的$g$ -高度和小的对角线。这个等分布结果推广了Ye关于代数数的Galois共轭类关于拟椭圆测度的结果。
2016-09-07 math.DS math.NT
Highly Composite Polynomials and the maximum order of the Divisor Function in $\mathbb{F}_q[t]$
我们调查的类似物，在$\mathbb{F}_q[t]$，高度合数和最高阶的除数函数，研究Ramanujan。特别是，我们确定了一个家庭的高度复合多项式是不是太稀疏，我们用它来计算的最大值的除数函数的对数在每一个度的错误的一个常数，这是显着小于的情况下的整数，即使假设黎曼假设。
2020-06-13 math.NT
Small gaps between almost primes, the parity problem, and some conjectures of Erdos on consecutive integers
在以前的论文中，作者证明了在任何满足明显必要局部条件的三个线性型的系统中，至少有两个形式无限地经常假设$E_2$ -值;即，两个素数的乘积。我们利用这个结果证明了有无穷多个整数$x$同时满足$$ω(x)=ω(x+1)=4, Ω(x)=Ω(x+1)=5, \text{and} d(x)=d(x+1)=24.$$这里，$ω(x), Ω(x), d(x)$分别表示$x$的素除子数、$x$的素幂因子数和$x$的因子数。对于任意正整数$b$，我们也证明了类似的定理，其中$x+1$被$x+b$取代。我们的结果加强了Heath-Brown，Pinner和Schlage-Puchta的早期工作。
2008-03-18 math.NT
The Mean Square of Divisor Function
设$d(n)$为除数函数。1916年，S.拉马努金指出，但没有证据表明，$$\sum_{n\leq x}d^2(n)=xP(\log x)+E(x), $$，其中$P(y)$是一个三次多项式在$y$和$$ E(x)=O(x^{{3\over 5}+ε}), $$，其中$ε$是一个足够小的正常数。他还指出，假设黎曼假设（RH），$$ E(x)=O(x^{{1\over 2}+ε}). $$在1922年，B。M.威尔逊无条件地证明了上述结果。2003年，K. Ramachandra和A. Sankaranarayanan在没有任何假设的情况下证明了上述结果。本文将证明$$ E(x)=O(x^{1\over 2}(\log x)^5). $$
2014-03-23 math.NT
The distribution of Galois orbits of points of small height in toric varieties
本文讨论了真复曲面簇上小高度点的分布性质及其在Bogomolov性质中的应用。我们引入的概念，单临界环面度量化因子，我们证明了equidistribution发生的每一个通用的，小序列的环面度量化因子，为每一个地方，当且仅当该因子是单临界的。此外，在这种情况下，极限测度是位于环境环面簇的主轨道上的紧致环面上的自然测度的平移。我们还研究了小点的Galois轨道的$v$ -adic模分布。利用给定的环面半正度量化因子，刻画了一般小序列的Galois轨道的$v$ -adic赋值的簇测度. Bogomolov属性现在说，一个真环面簇的主轨道的子簇，对于一个单临界环面度量化因子，具有与环面簇相同的本质最小值，必须是一个子环面的平移。我们还给出了几个例子，包括一个非单临界除数的Bogomolov属性不成立。
2015-09-03 math.AG math.NT
Algebraic zeros divisors on the projective line having small diagonals and small heights and their application to adelic dynamics
在任意特征和可能不可分的情形下，建立了具有小对角线和小$g$ -高度的乘积公式域的可分闭包上的投影线上的代数零因子序列关于代数正规化权$g$的定量代数等分布定理，并且获得次数为$>1$的有理函数$f\in k(z)$和次数为$>0$的有理函数$a\in k(z)$在以下的乘积公式字段$k$上的迭代之间的局部邻近估计：特征$0$，并将此结果应用于$f$的平均动态。
2015-04-06 math.CV math.DS math.NT
On the Asymptotic Behavior of a Multiplicative Arithmetic Function Related to the Divisor Function Over Perfect Squares Integers Generated by Shifting
Faculty of Matter Sciences and Computer Sciences, Department of MathematicsFIMA Laboratory, University of Djilali Bounaama（吉拉利·布纳马大学物质科学与计算机科学学院数学系）
本文研究了与完美平方整数相关的除数函数的渐进行为，推导了特定求和式的渐近公式。
2026-02-24 math.NT
Long runs of integers with small prime factors and the divisor function of $n!$
本文改进 Erdős 等人关于除数函数在阶乘上的增长下界，通过加权 Erdős–Rankin 构造和平均化论证，将下界提升至与 Rankin 素数间隙下界同阶。
2026-09-15 math.NT
Primitive root bias for twin primes II: Schinzel-type theorems for totient quotients and the sum-of-divisors function
加西亚、卡霍罗和卢卡证明了贝特曼-霍恩猜想对于大多数孪生素数对$p,p+2$都意味着$ϕ(p-1) \geq ϕ(p+1)$，而反向不等式对于一小部分孪生素数也成立。也就是说，$p$往往比$p+2$有更多的原根。本文证明了Dickson猜想（比Bateman-Horn猜想弱得多）蕴含着当$p,p+2$在孪生素数上的值域为正实数时，同元$\frac{ϕ(p+1)}{ϕ(p-1)}$是稠密的.我们还建立了几个Schinzel型定理，其中一些是无条件的，关于$\frac{ϕ(p+1)}{ϕ(p)}$和$\frac{σ(p+1)}{σ(p)}$的行为，其中$σ$表示因子和函数。
2019-08-28 math.NT
Parity results concerning the generalized divisor function involving small prime factors of integers
针对含整数小素因子的广义除数函数相关和式$S_{-k}(x,y)$，结合多种方法推导其渐近行为，揭示$k+1$素性对结果的关键影响，完善相关理论研究。
2024-12-04 math.NT
Iterated logarithm approximations to the distribution of the largest prime divisor
本文研究了小于$x$且其最大素除子小于$y$的整数的个数，记为$ψ(x,y)$ .许多相关文献都是用Dickman函数$ρ(u)$来近似$ψ(x,y)$，其中$u=\ln x/\ln y$。典型的这样的结果是，$$ ψ(x,y)=xρ(u)(1+o(1)) \eqno (1) $$在参数$x$和$y$的某个域中。本文利用$x$和$y$的迭代算法，给出了$ψ(x,y)$的一种不同类型的逼近。本文建立了$$ \ln (\frac ψ{x})=-u [\ln ^{(2)}x-\ln ^{(2)}y+\ln ^{(3)}x-\ln ^{(3)}y+\ln ^{(4)}x-a] \eqno (2) $$，其中$\underbar{a}<a<\bar{a}$对某些常数$\underbar{a}$和$\bar{a}$（用$\ln ^{(k)}x=\ln ...\ln x$表示$k$的重对数）成立.近似（2）在与已知近似（1）有效的域互补的域中成立。（2）的一个结果是Dickman函数的渐近表达式，其形式为$\ln ρ(u)=-u[\ln u+\ln ^{(2)}u](1+o(1))$，改进了这种类型的已知渐近近似。我们利用（2）建立了Bertrand猜想的一个版本，并指出如何使用这种方法来锐化结果。
2009-03-16 math.NT
Approximation of adelic divisors and equidistribution of small points
本文研究了数域上射影簇中小高度代数点序列Galois轨道的渐近分布，推广了Yuan等分布定理，使其适用于Zhang本质最小值下界不成立的情形，并将结果扩展至所有射影簇、代数动力系统及拟射影情形。
2026-10-30 math.AG math.NT
