Completely Positive Binary Tensors
一个对称张量是完全正的（CP），如果它是非负向量的张量幂幂之和。本文刻画了完全正的二元张量。我们证明了二元张量是完全正的当且仅当它满足两个线性矩阵不等式。这个结果可以用来判断一个二元张量是否为完全正的。当它是时，我们给出了一个计算它的cp-秩和分解的算法。当阶数为奇数时，证明了cp-秩分解是唯一的。当阶数为偶数时，我们完全刻画了cp秩分解何时唯一。我们还讨论了当二元张量不完全为正时，如何计算最近的cp-近似。
2018-08-07 math.OC
Matrices with high completely positive semidefinite rank
一个实对称矩阵$M$是完全半正定的，如果它允许由任意大小的（厄米特）正半定矩阵$d$的Gram表示。最小的$d$称为$M$的（复）完全半正定秩，并且是否存在作为矩阵大小的函数的这个数的上界是一个开放的问题。对任意正整数$k$，构造了大小为$4k^2+2k+2$且秩为$2^k$的正半定矩阵.这表明，如果存在这样的上限，它必须至少是矩阵大小的指数。为此，我们利用量子信息论的连接，我们构建极端的大秩二分相关阵。我们还展示了一类完全正矩阵的二次（在矩阵大小方面）完全正秩，但与线性完全半正定秩，我们作出连接的存在阿达玛矩阵。
2016-10-26 math.OC
Matrix factorization ranks via polynomial optimization
鉴于最近的数据科学趋势，对替代矩阵分解的新兴趣已经下降。通过这一点，我们指的是分解特定数据矩阵的各种方法，以便因子具有特殊属性并揭示对原始数据的见解。我们感兴趣的是与这些因子分解相关的特殊秩，但它们通常很难计算。特别是，我们考虑非负的，完全积极的，和可分离的行列。我们专注于一个通用的工具，近似因式分解的行列，时刻层次，从多项式优化的经典技术，进一步扩大利用理想稀疏。与稀疏性的其他示例相反，由此产生的稀疏层次结构产生同样强的（如果不是更优的话）边界，同时潜在地提供计算速度。
2023-02-20 math.OC
An ideal-sparse generalized moment problem reformulation for completely positive tensor decomposition exploiting maximal cliques of multi-hypergraphs
针对完全正张量分解问题，提出基于多重超图极大团的理想稀疏广义矩重构方法，通过矩松弛求解，收敛性有保障，计算速度优于稠密公式，且利用的稀疏结构异于现有两类稀疏性。
2025-05-21 math.OC
Facial structure of copositive and completely positive cones over a second-order cone
Keio University（庆应义塾大学）；The Institute of Statistical Mathematics（统计数学研究所）
本文研究了二次锥上半正和完全正锥的面结构，分析其维度和暴露性质，并计算了与面链相关的参数，最后探讨了结果的扩展方向。
2026-04-16 math.OC
Completely positive and completely positive semidefinite tensor relaxations for polynomial optimization
完全正（CP）张量对应于CP矩阵的推广，允许用CP张量的锥上的圆锥最优化问题来重新表达或近似一般多项式最优化问题（POP）。类似地，完全半正定（CPSD）张量，这对应于一个推广的半正定（PSD）矩阵，可以用来近似一般的持久性有机污染物与锥上的CPSD张量的圆锥最优化问题。在本文中，我们研究CP和CPSD张量松弛一般持久性有机污染物，并通过拉格朗日松弛的持久性有机污染物得到的界限进行比较。这表明，在这一方向上针对二次持久性有机污染物的现有结果可扩展到一般持久性有机污染物。此外，我们提供了一些易于处理的近似策略CP和CPSD张量松弛。这些近似策略表明，具有类似的计算工作，从他们获得的一般持久性有机污染物的界限可以更紧比这些问题的界限通过重新制定的POP作为二次POP，随后可以近似使用CP和PSD矩阵。为了说明我们的研究结果，我们数值比较小规模的四阶度持久性有机污染物从这些放松的方法得到的界限。
2016-10-10 math.OC
Dehomogenization for Completely Positive Tensors
实对称张量是完全正的（CP），如果它是非负向量的对称张量幂的和。我们提出了一个去均匀化的方法来研究CP张量。这给出了CP张量的新的Moment-SOS弛豫。通过去均匀化方法可以更有效地解决CP张量的检测和CP张量锥的线性锥优化问题。
2022-11-11 math.OC
Uniqueness of size-2 positive semidefinite matrix factorizations
UC Davis（加州大学戴维斯分校）；San Francisco State University（旧金山州立大学）；Aalto University（阿尔托大学）
该研究利用刚性理论，刻画了特定正矩阵的2阶半正定分解的唯一性，关联了无穷小刚性与全局刚性，并证明了该类正矩阵需满足的边界条件。
2026-09-01 math.MG math.OC
Interiors of completely positive cones
一个对称矩阵$A$是完全正的（CP），如果存在一个逐项非负矩阵$B$使得$A = BB^T$ .我们刻画了CP锥的内部。提出了一种CP锥内部判定的半定算法，并研究了其性质。如果一个矩阵是CP锥的内部，则可以得到一个Dickinson形式的矩阵的CP-分解。并给出了一些计算实验。
2014-01-07 math.OC
Inner approximating the completely positive cone via the cone of scaled diagonally dominant matrices
由于完全正规划在编码困难最优化问题方面的表现力，许多完全正锥的近似方案被提出并成功应用。大多数方案都是基于外部近似，只有内部近似是基于线性规划的方法，由Bundfuss和Dür以及Yıldırım提出，以及Lasserre提出的基于半定规划的方法。在本文中，我们提出了使用的锥的非负规模对角占优矩阵作为一个自然的内部逼近的完全正锥。利用这个锥的投影，我们得到新的基于图的二阶锥逼近计划完全正规划，导致统一和问题相关的层次结构。这提供了半定规划的表达能力和基于线性规划的方法的速度之间的折衷。随机问题，标准二次规划和独立集问题的数值结果表明，我们的方法的有效性。
2019-10-04 math.OC
A simplex algorithm for rational cp-factorization
在本文中，我们提供了一个算法，类似于单纯形算法，它确定了一个合理的CP-分解的给定矩阵，只要矩阵允许这样的分解。该算法可用于证明每一个整数完全正的$2 \times 2$矩阵都有一个整数cp-因子分解。
2020-01-25 math.NT math.OC
The cone of $5\times 5$ completely positive matrices
本文研究了第一种有趣的情形$n = 5$的完全正矩阵锥。这是一个半代数集合，这意味着定义其边界的多项式等式和不等式可以导出。我们的特点不同的轨迹这个边界，我们研究了两个开集与CP秩5或6。一个数值算法，是快速的，能够计算的CP-分解，即使在边界上的矩阵。利用我们的结果，可以产生许多新的例子，并进行了一些有见地的数值实验，说明了CP-因子分解问题的难度。
2021-09-01 cs.NA math.AG math.NA
Exact Convex Reformulations of Linear Neural Networks via Completely Positive Lifting
本文提出了一种将深度线性神经网络的训练问题精确地转化为凸优化问题的方法，利用完全正锥的提升空间，将非凸性编码在锥约束中，并展示了其与半正定规划的联系。
2026-10-08 cs.LG math.OC
Algorithms for Positive Semidefinite Factorization
本文研究半正定分解问题，它是精确非负矩阵分解的推广。给定一个$m$ × $n$非负矩阵$X$和一个整数$k$，PSD分解问题在于找到（如果可能的话）对称的$k$ × $k$半正定矩阵$\{A^1,...,A^m\}$和$\{B^1,...,B^n\}$，使得$X_{i,j}=\text{trace}(A^iB^j)$对于$i=1,...,m$，和$j=1,...n$ . PSD分解是NP难的。在这项工作中，我们介绍了几个局部优化方案来解决这个问题：一个快速投影梯度法和两个算法的基础上的坐标下降框架。PSD因式分解的主要应用是计算半定扩张，即将多面体表示为谱面的投影，其中要因式分解的矩阵是多面体的松弛矩阵。我们比较我们的算法在这类问题上的性能。特别地，当$n=5$、$8$和$10$时，我们计算规则$n$ -1的大小为$k=1+ \lceil \log_2(n) \rceil$的PSD扩展。我们还展示了如何推广我们的算法来计算平方根秩（这是PSD因式分解中所有因子矩阵$A^i$和$B^j$的秩为1的因子的大小）和完全PSD因式分解（这是输入矩阵对称且所有$i$都需要相等$A^i=B^i$的特殊情况）。
2017-07-25 cs.DM math.CO math.OC
Practical construction of positive maps which are not completely positive
本文介绍了PnCP，一个MATLAB工具箱，用于构造不完全正的正映射。我们调查优化和平方和松弛技术，以找到最有效的方法，这个建设。我们还展示了如何将这个包可以应用到量子态的纠缠分类的问题。
2020-01-05 math.OC quant-ph
Classification of facial exposedness of completely positive cones over symmetric cones
Keio University（庆应义塾大学）
该研究依据欧几里得若尔当代数的秩，分类对称锥上完全正锥的面部暴露性，发现其分类结果与完全正锥的谱面性分类一致。
2026-08-28 math.CO math.OC
Real Factorization of Positive Semidefinite Matrix Polynomials
该研究给出实正则对称半正定矩阵多项式可分解为次数减半的实矩阵多项式转置乘自身形式的充要条件，通过求解修正代数Riccati方程的反对称解给出构造性证明，并提出相应因式分解算法。
2023-08-25 math.FA math.OC
There are many more positive maps than completely positive maps
矩阵空间之间的线性映射是正的，如果它将正半定矩阵映射到正半定矩阵，如果它的所有映射都是正的，则称为完全正的。本文证明了完全正的正映射的分数的数量界。一个主要的工具是真正的代数几何技术开发的Blekherman研究之间的差距正多项式和总和的平方。最后给出了一个生成不完全正映射的算法。
2017-08-03 math.FA math.OC quant-ph
A Non-commutative Extension of Lee-Seung's Algorithm for Positive Semidefinite Factorizations
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Institute of High Performance Computing, Agency for Science, Technology and Research（新加坡科技研究局高性能计算研究所）；Singapore University of Technology and Design（新加坡科技设计大学）
给定具有非负项的矩阵$X\in \mathbb{R}_+^{m\times n}$，$X\in \mathbb{R}_+^{m\times n}$的半正定（PSD）分解是$r \times r$维PSD矩阵$\{A_i\}$和$\{B_j\}$的集合，其对于所有$\ i\in [m],\ j\in [n]$满足$X_{ij}= \mathrm{tr}(A_i B_j)$. PSD因子分解从根本上与理解半定程序的表达性以及信息论中量子资源的能力和局限性有关。PSD因式分解任务推广了非负矩阵因式分解（NMF）问题，其中我们寻求满足$X_{ij}= a_i^\top b_j$的$r$维非负向量$\{a_i\}$和$\{b_j\}$的集合，对于所有$i\in [m],\ j\in [n]$-可以通过将PSD因式分解中的矩阵选择为对角线来恢复后一个问题。计算矩阵的NMF的最广泛使用的算法是由Lee和Seung开发的乘法更新算法，其中更新的非负性通过用正对角矩阵缩放来保持。在本文中，我们描述了一个非交换的扩展李Seung的算法，我们称之为矩阵乘法更新（MMU）算法，计算PSD分解。MMU算法通过与适当PSD矩阵的矩阵几何平均值进行同余缩放来确保更新保持PSD，并且它保留了Lee-Seung算法所享有的实现的简单性。基于优化最小化框架，我们证明了在我们的更新方案下，平方损失目标是非增的，不动点对…
2021-06-01 cs.LG eess.SP math.OC
The factorization of matrices into products of positive definite factors
University of California, San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）
本文提出通过最优运输问题分析，将矩阵分解为正定因子乘积，以实现对谱效应的控制。
2026-01-08 cs.NA cs.SY eess.SY
The outer spectral radius and dynamics of completely positive maps
我们研究了一个特殊的情况下，由Blondel和Nesterov给出的联合谱半径的近似，我们称之为外谱半径。外谱半径由$n^2$的普通谱半径的平方根给出由$n^2$矩阵$\sum{\overline{X_i}}\otimes{X_i}.$我们给出了一个模拟的谱半径公式的外谱半径，可以用来快速获得的误差界的方法的基础上的工作Blondel和Nesterov。利用外谱半径分析了完全正映射的迭代，包括量子信道的特殊情况。一个完全正映射的迭代的平均值逼近一个完全正映射，其中Kraus算子在由原完全正映射的Kraus算子生成的代数中跨越一个理想.我们还给出了一个基本的治疗Popescu的定理相似行压缩矩阵的情况下，描述连接到Parrilo-Jadbabaie放松，并给出了详细的分析的最大频谱的完全正映射。
2019-05-23 math.DS math.FA math.OC
