Generic steady state bifurcations in monoid equivariant dynamics with applications in homogeneous coupled cell systems
我们证明了有限维动力系统中关于幺半群表示对称的稳态分岔一般沿着一个绝对不可分解的子表示发生。这在B中被说成是一个猜想。Rink和J.Sanders，“耦合细胞网络及其隐藏的对称性”，SIAM J.Math.Anal.，46（2014）。它是一个著名事实的推广，即在等变动力系统中，如果对称性形成群有限或紧李，则一般稳态分支沿着绝对不可约子表示发生。我们的推广也包括非紧对称群。该结果在均匀耦合细胞网络的分歧理论中有应用，因为它们可以嵌入（在温和的附加假设下）到么半群等变系统中。
2018-10-09 math.DS
Hopf bifurcation and heteroclinic cycles in a class of $\mathbb{D}_2-$equivariant systems
在本文中，我们分析了一个一般的动力系统与$\mathbb{D}_2$通过凯莱图构造。我们研究的Hopf分支，并找到获得一个独特的分支周期解的条件。我们的主要结果来自于对弱耦合系统的分析，在此我们确定了$\mathbb{D}_2\times\mathbb{S}^1.$的某些稳定子群的二维不动点子空间中四个平衡点之间的异宿环的条件，并分析了异宿环的稳定性。
2014-06-15 math.DS
Equivariant Hopf bifurcation arising in circular-distributed predator-prey interaction with taxis
本文研究圆盘上具趋向性和时滞的Rosenzweig-MacArthur捕食-食饵模型的等变Hopf分岔，通过各向同性子群和Lyapunov-Schmidt约化分析驻波与旋转波的存在条件及周期性质，并通过数值模拟揭示圆盘上复杂的时空动力学现象。
2024-02-19 math.DS
Equivariant bifurcations in $4$-dimensional fixed point spaces
在本文中，我们继续研究的群表示，这是反例的Ize猜想。在Lauterbach [14]和Lauterbach & Matthews [15]的前几篇论文中，我们发现了导致这样的反例的有限群的新的无穷级数.这些新的级数与以前的级数有很大的不同，例如，群阶不形成等差数列。然而，像以前一样，我们发现包含所有这些群的李群。这个额外的结构被观察到，但没有在以前的研究中使用这个问题。在这里，我们也研究了相关的分叉。在很大程度上，这与所提到的包含有限群的紧李群的存在密切相关。这为研究Ize猜想的所有低维反例的分支提供了一个工具。它也给出了一个指示，我们可以期望找到的例子，分叉行为是不同于我们在已知的例子中看到的。
2016-07-11 math.DS
Equivariant Hopf bifurcation with arbitrary pressure laws
研究了一类偏微分方程组的等变Hopf分支动力学。解释了当前动力学与双曲守恒律基本概念之间的联系。利用中心流形约化函数的独特逼近性质，确定了规范形中的某些参数。目前的工作概括了第二作者的研究（[J. Yao，细胞冲击不稳定性模型的$O(2)$ -Hopf分叉，Physica D，269（2014），63-75]）。并给出了一类由偏微分方程系统引起的双参数$O(2)$ Hopf分支的例子。
2014-06-30 math.AP math.DS
Equivariant bifurcation, quadratic equivariants, and symmetry breaking for the standard representation of $S_n$
NYU（纽约大学）；UCSB（加州大学圣巴巴拉分校）
源于一类浅的学生-教师神经网络的研究问题的动机，方法开发的分析类的梯度等变动力学相关的神经网络的虚假最小值。在对称的情况下，方法依赖于$n$符号，$S_n$的对称群的不可约表示的通用等变分支理论;特别是，$S_n$的标准表示。它表明，虚假的最小值不产生自发的对称性破缺，而是通过一个复杂的变形的景观几何形状，可以由一个通用的$S_n$ -等变分岔编码。我们描述了最小的被迫对称性破缺模型，给出了一个下界的动态复杂性，在创建虚假的最小值时，没有对称性。一般的分歧时，有二次等变的结果也被证明，这项工作扩展和澄清的结果Ihrig和Golubitsky和Chossat，Lauterback和墨尔本的解的不稳定性时，有二次等变。
2021-07-06 cs.LG math.DS math.OC
Bifurcation of space periodic solutions in symmetric reversible FDEs
本文提出了一种基于等变度的方法来研究可逆时滞微分方程对称网络中（常周期）周期解的分支。当线性化的特征值沿虚轴移动时（不改变平凡解的稳定性并且可能没有$1:k$共振），发生这样的分叉。物理的例子，激励考虑的设置与固定的解决方案，以偏微分方程与非本地的相互作用：可逆的混合延迟微分方程（MDDE）和积分微分方程（IDE）。在$S_4$ -对称网络的MDDE和IDE的情况下，我们提出了完整的等变分歧不变量的精确计算。文中还介绍了算法和计算步骤。
2016-01-30 math.DS
Hopf Bifurcation of Relative Periodic Solutions: Case Study of a Ring of Passively Mode-Locked Lasers
本文研究了一类具有$Γ\times S^1$空间对称性的泛函微分方程组的相对平衡点的相对周期解的等变Hopf分支.利用带有一个自由参数的等变扭$Γ\times S^1$度，建立了相对周期解分支的存在性及其对称分类。作为一个案例，我们考虑了具有二面角对称群$Γ=D_8$的耦合全同被动锁模半导体激光器的延迟微分模型。
2017-03-27 math.DS
The Equivariant Spectral Flow and Bifurcation of Periodic Solutions of Hamiltonian Systems
定义了自伴弗雷德霍姆算子在紧李群的正交作用下是等变的路径的谱流，作为紧李群的表示环的一个元素.这种$G$ -等变谱流具有整数值经典谱流的所有共同性质，即使经典谱流为零，它也是非平凡的。我们的主要定理是利用$G$ -等变谱流来研究具有对称性的自治哈密顿系统的周期解的分支。
2021-04-04 math.DS math.FA math.SP
Equivariant Bifurcation from Relative Equilibria via Isomorphic Vector Fields
我们提出了一个框架来研究等变向量场在相对平衡点附近的动力学。为了克服在相对平衡点上线性化的不足或轨道空间可能的非光滑性，我们对等变向量场空间进行了分类。对象是等变向量场的类别首先由Hepworth在平滑堆栈的上下文中引入[Hepworth，Theory Appl. Categ. 22（2009），542-587]。我们的方法的核心是同构等变向量场的概念。其思想是，考虑等变向量场及其相应的动力学，直到同构是一种考虑群作用的对称性而不传递到轨道空间的方法。特别地，在相对平衡点附近的等变向量场范畴等价于在相对平衡点的切片表示上的等变向量场范畴。在本文中，我们将其应用于分支和相对平衡，并从相对平衡等变分支的条件的通用性。
2020-12-28 math.CT math.DG math.DS
Hopf bifurcation with tetrahedral and octahedral symmetry
在研究$Γ$ -等变动力系统的周期解时，$H~\mathrm{mod}~K$定理给出了所有可能的周期解。相比之下，等变的霍普夫定理保证家庭的小振幅周期解的存在性分支从原点为每个$\mathbf{C}$轴子群的$Γ\times\mathbb{S}^1$。本文比较了一般等变微分方程在四面体对称完全群和立方体旋转对称群下周期解的分支。这两个群是对称群$S_4$的不等价表示的镜像。可能的空间对称性的分歧的解决方案是不同的，即使这两组产生相同的矩阵组$Γ\times\mathbb{S}^1$。当$Γ$是立方体的对称性的完全群时，同样的矩阵群再次作为扩展$Γ\times\mathbb{S}^1$出现。对于这三个群体，而特征的Hopf分支，我们确定的周期解类型，其存在性是由$H~\mathrm{mod}~K$定理保证，可通过从原点的Hopf分支。
2015-07-30 math.DS
The Ize Conjecture Redux: A Parity Criterion for Global Equivariant Bifurcation Guarantees
Brandeis University（布兰迪斯大学）
本文引入 Ize 对的概念，通过维数奇偶性条件刻画等变度非平凡变化的代数障碍，并结合模2等变谱流给出局部和全局分支保证，应用于Γ对称耦合振荡器网络中非平稳周期解的无界分支。
2026-06-03 math.CA math.DS
Equivariant Bifurcation and Absolute Irreducibility in $\R^8$ A contribution to the Ize conjecture
M. Field [5]引用了J. Ize的一个未发表的工作，其结果是通过紧李群的绝对不可约表示的稳定性损失导致稳定态的分支。证明的主要成分是假设，即对于紧李群的绝对不可约表示，存在一个闭子群，其不动点空间是奇数维的。然后，使用Brouwer度，得到结果。代数Ize猜想（AIC）是关于紧李群的绝对不可约表示存在至少一个子群具有奇维不动点空间的假设. Lauterbach和Matthews [10]已经证明了（AIC）一般来说是不正确的。事实上，他们已经构建了SO{4}的有限子群的三个无限族，它们在$\R^4$上绝对不可约，并且对于它们中的每一个，任何稳定子群都有一个偶数维的不动点空间。此外，在[10]中表明，尽管（AIC）失败，但原始猜想至少对这三个家族中的两个家族中的群是正确的。本文对文[10]中定义的第三族给出了一个类似的分支结果。我们继续下去，并建立一个家庭的群体作用绝对不可约的$\R^8$只有偶数维不动点空间。然后我们讨论了这种情况下的定态分岔。本文最后讨论了如何将文[10]中的结果推广到作用于$\R^{4}$的更大的群集合。
2013-09-06 math.DS
Bi-center conditions and bifurcation of limit cycles in a class of $Z_2$-equivariant cubic switching systems with two nilpotent points
本研究推广Poincaré-Lyapunov方法研究含两个幂零奇点的$Z_2$-等变三次切换系统的双中心问题，得到6个显式双中心条件，并证明其幂零双中心周围至少存在20个小振幅极限环，将环性下界从12提升至20。
2024-03-09 math.CA math.DS
The Equivariant Spectral Flow and Bifurcation for Functionals with Symmetries -- Part I
本文利用等变谱流建立紧 Lie 群对称不变泛函的临界点分岔定理，推广经典结果，并用于处理经典方法失效的强不定 PDE 与 Hamiltonian 系统。
2023-06-01 math.AP math.DS math.FA
Symmetries in the Lorenz-96 model
Lorenz-96模式被广泛用作各种应用的测试模式，例如数据同化方法。该对称模型以强迫$F\in\mathbb{R}$和维数$n\in\mathbb{N}$为参数，是$\mathbb{Z}_n$等变的。在本文中，我们揭示了它的动力学$F<0$等变分岔理论。对称性产生了不变子空间，在这个模型中起着重要的作用。我们利用它们，以概括的结果，从一个低维的所有倍数的尺寸。我们还讨论了周期轨道的对称性。我们的分析导致$F<0$在特定的尺寸$n$的干草叉分叉的存在性的证据：在所有甚至尺寸，平衡$(F,\ldots,F)$表现出超临界干草叉分叉。在$n=4k$，$k\in\mathbb{N}$维中，第二个超临界干草叉分叉同时发生，这两个平衡源自前一个。此外，数值结果还表明，在$n=2^qp$维中，当$q\in\mathbb{N}\cup\{0\}$和$p$为奇数时，存在一个由$q$随后的音叉分叉组成的有限级联，其分叉值与$n$无关.这种结构进行了讨论和解释的模型的对称性。
2019-04-12 math.DS
Numerical Continuation and SPDE Stability for the 2D Cubic-Quintic Allen-Cahn Equation
Vienna University of Technology（维也纳工业大学）
本文研究了带有三次-五次非线性项和随机Q-迹类强迫项的二维Allen-Cahn方程，通过数值继续方法分析其稳定性，并展示了在分支点附近的标度律和波动量化。
2015-04-03 cs.NA math.DS math.NA
Bifurcations of critical orbits of invariant potentials with applications to bifurcations of central configurations of the N-body problem
本文研究了等变梯度方程临界轨道的拓扑分支。我们给出了这些方程解存在整体分支的充要条件。此外，我们将这些抽象的结果应用于研究新的平面中心构型的N体问题的分支。
2015-01-29 math.CA math.DS
Sliding Hopf bifurcation in interval systems
本文利用等变度理论在可有效验证的温和条件下分析了系统Hopf分支的发生。我们结合抽象的结果与标准的区间多项式技术的基础上Kharitonov定理，以显示存在的一个分支的周期性解决方案产生的平衡在相关的设置鲁棒控制。结果说明了一些例子。
2015-07-30 math.DS math.OC
Transition from rotating waves to modulated rotating waves on the sphere
研究了球面上SO（3）-等变反应扩散系统中旋转波的非共振和共振Hopf分支。我们得到了关于so（3）的约化微分方程，由旋转波的Hopf分支得到的调制旋转波的特征，以及关于共振情况的结果。我们的主要工具是等变中心流形约化以及李群和李代数的理论，特别是对于球面上所有刚性转动的SO（3）群。
2005-01-27 math.CA math.DS
Center manifolds of coupled cell networks
具有网络结构的动力系统可以表现出反常分岔这一普遍现象。作为对此的解释，已经注意到同构网络可以被实现为所谓的基本网络的商网络。这些基本网络的容许向量场类等于幺半群的正则表示的等变向量场类。利用这一观点，我们建立了一个基本网络及其子网络中心流形约简的框架。然后，我们使用这种机制来解释具有相同的频谱特性和相同的鲁棒同步空间的三个示例网络之间的通用分叉的差异。
2016-03-29 math.DS
Partial symmetry breaking and heteroclinic tangencies
研究三维球面上等变体积收缩向量场族分支的整体性质。当部分对称性破缺时，向量场呈现出Bykov圈。接近的对称性，我们调查的异宿切线共存的横向连接的出现的机制。我们发现持久的暂停马蹄伴随着吸引周期性的轨迹与长周期。
2013-02-21 math.DS
Bifurcation of relative equilibria in mechanical systems with symmetry
对称哈密顿动力系统的相对平衡点是增广哈密顿的临界点。系统的基本几何结构被用来分解临界点方程，并构造一组隐式定义的函数和简化方程，描述了一个给定的相对平衡点的邻域中的相对平衡点集。在几种相关情况下研究了简化方程的结构。特别地，将Lerman和Singer [LS 98]的一个持久性结果推广到Abel真作用的框架中.此外，一个Hamilton版本的等变分支引理和研究的分歧与最大的各向同性。一个基本的例子来说明这种方法的使用。
1999-12-30 math.DG math.DS math.SG
Dynamical behavior of a system modeling wave bifurcations with higher order viscosity
通过在中心流形上导出一类描述波动分岔的偏微分方程系统的全动力学，严格证明了该系统支持平稳等变分岔动力学.我们的结果的一个直接结果是，动力学的振荡是\textit{not}由于旋转波虽然系统表现出欧几里德对称性。实现该程序的主要困难是：1）所研究的系统包含多个分岔参数，我们不知道\textit{a priori}如何在分岔动力学中起作用。2)线性算子在中心空间上的表示是一个$2\times 2$零矩阵，这使得公知的规范形定理中的特征条件是平凡的。我们用投影法克服了第一个困难。我们设法克服了第二个微妙的困难，通过使用共轭对坐标的中心空间，并应用对偶和投影参数。通过对复对的参数化，我们可以很自然地得到中心流形约化函数的形式，这使得研究中心流形上的电流动力学成为可能。系统的对称性在排除旋转波分叉的可能性方面起着至关重要的作用。
2015-06-08 math.AP math.DS
Symmetric Liapunov center theorem for minimal orbit
利用等变分歧理论的技巧，证明了$Γ$ -对称系统$\ddot q(t)=-\nabla U(q(t))$在位势$U$的极小点$Γ(q_0)$的孤立轨道的任意邻域内存在非定常周期解.通过证明Lennard-Jones两体和三体问题以及Schwarzschild三体问题中存在新的周期轨道族，我们证明了我们结果的强度。
2018-03-12 math.CA math.DS
Nonlinear Dynamics In Optimization Landscape of Shallow Neural Networks with Tunable Leaky ReLU
Department of Mathematical Sciences the University of Texas at Dallas Richardson, 75080 USA（德克萨斯大学达拉斯分校数学科学系）
本研究建立理论框架分析带可调漏性ReLU的浅层神经网络优化景观的非线性动力学，揭示分岔特性，给出k=5的示例验证，为神经网络优化研究提供理论支撑。
2026-09-02 cs.LG math.DS math.OC
