A note on the abelian sandpile in Z^d
我们分析了$\mathbbm{Z}^d$上的阿贝尔沙堆模型，给出了$n$粒子在原点的初始构型和$2d-2$粒子在原点的初始构型.本文给出了Fey，Levine和Peres \cite{FLP}定理的一个新的简短证明，即这种构型的翻倒团簇的半径是$O(n^{1/d})$ .
2011-02-22 math-ph math.CO math.MP
The Abelian Sandpile Model on Fractal Graphs
我们研究阿贝尔沙堆模型（ASM），一个过程中，沙粒被放置在一个图的顶点。当一个顶点上的颗粒数至少是它的度数时，一个颗粒被分布到每个相邻的顶点。这个模型已被证明可以在整数格上形成分形图案，并以这些分形图案为动机，我们考虑后临界有限（p.c.f）分形的图形近似模型。我们确定的渐近行为的网站倾倒和表征图，表现出一个周期性的数量的晶粒相对于初始位置的直径。
2019-01-17 math.CO math.PR
Mixing time and eigenvalues of the abelian sandpile Markov chain
阿贝尔沙堆模型定义了一个马尔可夫链，其状态是简单连通图$G$顶点上的整数值函数。通过把这条链看作阿贝尔群上的（不可逆的）随机游动，我们给出了它的特征值和特征向量在$G$的顶点上的“乘性调和函数”的公式。我们表明，沙堆链的谱间隙是在一个常数的因子的长度的最短的非整数向量的对偶拉普拉斯晶格，而混合时间是最多一个常数倍的拉普拉斯晶格的平滑参数。我们发现了一个令人惊讶的反向关系之间的谱间隙的沙堆链和简单的随机游动$G$：如果后者有一个足够大的谱间隙，那么前者有一个小的间隙！在$G$是$n$顶点上的完全图的情况下，我们证明了沙堆链在时间$\frac{1}{4π^{2}}n^{3}\log n$处具有截断。
2015-11-02 cond-mat.stat-mech math.CO math.PR
The Abelian Sandpile Model on an Infinite Tree
我们考虑Bethe格上的标准Abel沙堆过程。我们证明了有限体积平稳测度的热力学极限的存在性和唯一的无限体积马尔可夫过程的存在性，该过程具有自组织临界性.
2001-01-05 math-ph math.MP math.PR
Tail exponents of the three-dimensional uniform spanning tree and Abelian sandpile
Beijing International Center for Mathematical Research, Peking University（北京大学数学中心）；School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院）；Graduate School of Informatics, Kyoto University（京都大学情报学府）
本文研究了三维均匀生成树的局部几何结构及其与阿贝尔沙堆模型的关系，确定了三维均匀生成树原点过去和0-树的尾指数，并证明了三维阿贝尔沙堆雪崩的尾指数，改进了已知的边界条件。
2026-05-19 math.PR
The Limit Shape of the Leaky Abelian Sandpile Model
漏阿贝尔沙堆模型（Leaky-ASM）是一种增长模型，其中$n$沙粒从$\mathbb{Z}^2$的原点开始，按照倾倒规则沿顶点扩散。如果一个地点的沙子量超过一个阈值，它就可能倒塌。在每次倾倒中，一个站点向每个相邻站点发送一些沙子，并泄漏一部分$1-1/d$沙子。我们计算的极限形状的$d$的函数在对称的情况下，每个倾倒发送等量的沙子给每个邻居。极限形状收敛为圆形$d\to 1$和菱形$d\to\infty$。我们通过比较一个地点的里程表函数和一个被杀死的随机游动在该地点死亡的概率来计算极限形状。当$d\to 1$的泄漏ASM收敛到阿贝尔沙堆模型（ASM）与修改的初始配置。我们还证明了极限形状是一个圆形时，同时与$n\to\infty$，我们有$d=d_n$收敛到$1$慢于任何功率的$n$。为了获得关于ASM的信息，需要更快的收敛。
2021-04-17 cond-mat.stat-mech math.AP math.CO
Random walks in a field of soft traps and criticality for the dissipative Abelian Sandpile Model
该研究受耗散阿贝尔沙堆模型启发，分析一维随机游走在间距递增软陷阱景观中的轨迹，确定了连续陷阱间区间大小的临界增长率，揭示其对应沙堆模型的临界性转变，精确量化了破坏原始模型临界性所需的耗散量。
2025-07-08 math-ph math.MP math.PR
Criticality of the abelian sandpile in dimension 1
该研究探讨一维耗散阿贝尔沙堆模型的临界行为，将其等价为受困随机游走期望停时的有限性问题，通过显式递归序列的渐近行为刻画三种相区的相变，发现陷阱间距更大但停时更短的反直觉现象。
2025-09-03 math.PR
Rate of convergence estimates for the zero dissipation limit in Abelian sandpiles
我们考虑一个连续高度的阿贝尔沙堆模型，在d = 2，3的维度上，每次倾倒时都有少量的体积耗散γ> 0。在极限γ-> 0时，我们给出了基于耦合的平稳测度收敛到离散临界沙堆测度的速度的幂律上界。证明是基于编码的固定措施加权生成树，后者通过威尔逊的算法进行分析。在证明过程中，我们证明了一个关于几何上被杀死的环擦除随机游动与一个未被杀死的环擦除随机游动耦合的估计。
2011-05-10 math.PR
Abelian and stochastic sandpile models on complete bipartite graphs
本研究针对完全二部图上的阿贝尔沙堆模型（ASM）与随机沙堆模型（SSM），提出线性复杂度的随机版Dhar燃烧算法检验SSM常返构型，建立两类模型常返构型与组合结构的双射关系。
2024-09-18 cs.DM math.CO math.PR
Abelian sandpiles: an overview and results on certain transitive graphs
本文讨论了Abel沙堆模型的常返状态与生成树之间的Majumdar-Dhar双射。本文将Athreya和Jarai关于Z^d，d >= 2的沙堆模型的平稳分布的无限体积极限的结果推广到一大类图上.这包括：（i）连线生成森林连通且有一端的图;（ii）体积增长至少为Cn ^5且所有有界调和函数为常数的传递图。我们还扩展了Maes，Redig和Saada的结果沙堆的固定分布在无限的正规树，任意的枯竭。
2011-07-26 math.PR
The spectrum of the abelian sandpile model
在他们以前的工作中，作者研究了阿贝尔沙堆模型的图构造从一个不断增长的一块平面或空间平铺，给定周期性或开放的边界条件，并确定了谱因子，支配的渐近谱间隙和渐近混合时间。本文给出了计算或渐近确定谱因子的一般方法，并在具体例子中进行了确定。
2019-05-16 math-ph math.MP math.PR
A shape theorem for exploding sandpiles
本文利用渗流与波前传播思想研究爆炸性阿贝尔沙堆的标度极限，给出了极限形状存在的充分条件及不收敛反例，并提出了判断沙堆爆炸性的简单准则以加强前人结果。
2023-05-02 math.AP math.CO math.PR
Limit shape, avalanches, and stabilisation of abelian sandpiles on comb lattices
本文研究梳状格上阿贝尔沙堆的平稳测度支撑、雪崩形状及单源极限形状，证明其与可除沙堆等模型的极限形状一致，确立了普适性。
2026-10-30 math.PR
Non-criticality criteria for Abelian sandpile models with sources and sinks
我们证明了阿贝尔沙堆模型的随机二叉和二叉树，介绍了在\cite{rrs}，是不是关键的所有分支概率$p<1$ ;通过估计尾部的退火生存时间的随机游动的二叉树上随机放置的陷阱，我们得到了一些更多的信息雪崩半径的指数尾部。接下来，我们研究了$\mathbb{Z}^d$上的沙堆模型与一些额外的耗散网站：我们提供的例子和充分条件的非临界性，我们也作出了与抛物型安德森模型的连接。最后，我们开始研究具有源和汇的沙堆模型，并利用与均匀钉扎模型的联系，给出了有限个源存在时非临界的一个充分条件。
2019-10-30 math-ph math.MP math.PR
A natural stochastic extension of the sandpile model on a graph
我们引入了一个新的模型的随机沙堆上的图$G$包含一个sink。当不稳定时，站点以概率$p \in (0,1]$独立地向其每个邻居发送一个粒度。对于$p=1$，这与标准阿贝尔沙堆模型相吻合。一般来说，对于$p\in(0,1)$，这个沙堆模型的递归配置集不同于阿贝尔沙堆模型的递归配置集。我们给出了这个集的一个特征方面的方向图$G$。我们还定义了缺乏多项式$L_G$作为生成函数计数这一组根据颗粒的数量，并表明，该多项式满足类似的Tutte多项式的递归。
2012-09-10 cs.DM math.CO math.PR
Organized versus self-organized criticality in the abelian sandpile model
我们定义了一个无限体积高度配置和高度配置的概率措施的稳定性。我们表明，足够高的密度，概率措施不能稳定。我们还表明，在某种意义上的阿贝尔沙堆模型（ASM）的经常性配置的一致措施的热力学极限是一个最大元素的一组稳定措施。在这个意义上，ASM的自组织临界行为可以理解为可稳定和不可稳定之间的普通过渡
2005-11-17 math-ph math.MP math.PR
The abelian sandpile model on a random binary tree
研究了随机二叉树上的阿贝尔沙堆模型。使用Dhar和Majumdar引入的传递矩阵方法，我们证明了相关性的指数衰减，并且在一个小的超临界区域（即，其中分支过程以正概率存活）雪崩大小的指数衰减。这显示了雪崩尺寸的指数衰减和幂律衰减之间的相变现象。我们的主要技术工具是：（1）证明了弱和强允许组态个数之比的递推公式，并证明了该公式具有一个定义良好的随机解;（2）给出了$n$随机转移矩阵乘积的特征值的淬火和退火估计。
2012-04-25 cond-mat.dis-nn math-ph math.MP
Abelian Sandpiles on Cylinders
本文研究圆柱面上宽度远大于周长时的阿贝尔沙堆模型，发现雪崩规模分布呈现阶梯结构，并解释了首级阶梯内雪崩基本等概率及其小指数尾部现象。
2023-02-20 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Asymptotic height distribution in high-dimensional sandpiles
本文给出了以$\mathsf{Poisson}(1)$概率表示的$\mathbb{Z}^d$上阿贝尔沙堆单点高度分布的渐近公式。我们提供误差估计。
2019-11-05 math.PR
Infinite volume limit of the Abelian sandpile model in dimensions d >= 3
研究了Z^d上的阿贝尔沙堆模型。在尺寸至少3，我们证明了存在的无限体积加法算子，几乎肯定相对于无限体积极限亩的一致措施经常性的配置。证明了具有平稳测度μ的马尔可夫过程的存在性，并研究了该过程的遍历性。我们使用的主要技术是波的统计和均匀的两个组成部分的生成树和结果上的均匀生成树测量Z^d之间的连接。
2007-05-24 math-ph math.MP math.PR
The limit shape of the Leaky Abelian Sandpile Model on isoradial graphs
研究等角图上渗漏沙堆模型边界的极限形状，利用Green函数渐近性证明显式公式，并在椭圆模量趋于0时得到圆形普适极限。
2025-09-08 math.PR
Optimal local interventions in the two-dimensional Abelian sandpile model
University of Twente（特温特大学）；Centrum Wiskunde & Informatica（数学与计算机科学中心）
研究通过局部干预减少沙堆模型中灾难性事件规模，分析干预策略对最大雪崩规模和缓解雪崩数量的影响。
2026-03-25 math-ph math.MP math.OC
The approach to criticality in sandpiles
自组织临界性的一个流行理论将驱动耗散系统的临界行为与守恒系统的临界行为联系起来。特别地，该理论预测阿贝尔沙堆模型的稳态密度应该等于相应的固定能量沙堆的阈值密度。这个“密度猜想”已被证明的基础图Z。我们证明了（通过模拟或证明）当基础图是Z^2、完全图K_n、Cayley树、梯形图、手镯图或花形图中的任何一个时，密度猜想是错误的.驱动耗散沙堆继续发展，即使在一个恒定的分数的沙子已经失去了在汇。这些结果使人怀疑使用固定能量沙堆来探索阿贝尔沙堆模型在平稳性下的临界行为的有效性。
2010-03-17 cond-mat.stat-mech math.PR
Fermionic Gaussian free field structure in the Abelian sandpile model and uniform spanning tree
本文用费米子高斯自由场严格构造了Abelian沙堆模型高度为1的场与一致生成树度场的有限体积表示，据此计算了累积量并证明了其在正方形与三角格点上的标度极限普适性。
2023-09-15 math-ph math.MP math.PR
Dissipative Abelian Sandpile Models
本文引入了一类定义在$d$维环面上有限格上的双参数$n, m \in {\bf N}$的阿贝尔沙堆模型.含有$2dn+m$或更多沙粒的场地是不稳定的，会发生倾倒，在每次倾倒过程中，$m$沙粒会从系统中消散。由于体耗散的存在，该模型在平移不变格点上得到了很好的定义，并且系统的体积可以达到无限大。从行列式的表达式，我们得到的渐近形式的雪崩传播和高度$(0,0)$相关的沙堆为大的距离在无限体积限制在任何尺寸$d \geq 2$。结果表明，当耗散率$a =m/(2dn)$为正值时，它们都随关联长度$$ ξ(d, a)=(\sqrt{d} \sinh^{-1} \sqrt{a(a+2)} \ )^{-1}, $$呈指数衰减.通过考虑一系列$n$递增的模型，讨论了极限$a \downarrow 0$，并确定了由$ν_{a}=- \lim_{a \downarrow 0} \log ξ(d, a)/ \log a$定义的临界指数为$$ ν_{a}=1/2 $$，对于所有$d \geq 2$ .与外磁场中$q$态Potts模型的$q \downarrow 0$极限进行了比较.
2015-05-02 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Laplacian growth & sandpiles on the Sierpinski gasket: limit shape universality and exact solutions
我们建立定量的球形定理转子路由器聚集和阿贝尔沙堆生长的图形Sierpinski垫片（$SG$）时，粒子从角顶点发射。特别地，阿贝尔沙堆增长问题是通过递归构造自相似沙堆瓦片来精确解决的。我们发现，沙堆的增长和模式表现出$(2\cdot 3^n)$ -周期性作为初始质量的函数。此外，星系团以周期性的间隔爆炸--半径增加超过1，这是在$\mathbb{Z}^d$或树上看不到的现象。我们明确地描述了所有的径向跳跃，并使用更新定理来证明集群半径的标度极限，它满足对数周期振荡调制的幂律。在我们的证明过程中，我们还建立了具有两种不同边界条件的$SG$的子图的沙堆群的结构恒等式，特别是由Fairchild，Haim，Setra，Schmidhartz和Westura所证明的相应恒等元素。我们的主要定理，结合最近的结果陈，胡斯，萨瓦-胡斯，和Tehraev，建立$SG$作为一个积极的例子的状态空间，表现出“极限形状的普遍性”，在莱文和佩雷斯的意义上，在四个拉普拉斯增长模型：可分沙堆，阿贝尔沙堆，转子路由器聚集，和内部扩散限制聚集（IDLA）。最后，我们总结了$SG$上IDLA的径向涨落，极限形状普适性到其他状态空间的可能扩展，以及相关的公开问题。
2019-08-05 cond-mat.stat-mech math-ph math.CO
Limit shape of the leaky Abelian sandpile model with multiple layers
本文在任意维度上推广渗漏阿贝尔沙堆模型，引入多层颜色与任意倾倒分布，证明极限形状存在，并展示其随参数变化收敛到多面体或椭球，且具有二元性。
2025-01-22 math-ph math.MP math.PR
Mean-field avalanche size exponent for sandpiles on Galton-Watson trees
我们发现，在无限高尔顿-沃森树上的阿贝尔沙堆中，总雪崩有超过$t$ topplings的概率衰减为$t^{-1/2}$。我们证明淬火和退火的界限，在适当的时刻条件下。我们的证明是基于对Morris（2003）的电导鞅的分析，该分析之前被Lyons，Morris和Schramm（2008）用于研究$\mathbb{Z}^d$，$d\geq 3$和其他瞬态图上的均匀生成森林。
2019-10-31 math.PR
On the thermodynamic limit for a one-dimensional sandpile process
考虑一维标准阿贝尔沙堆模型，构造了一个与其热力学极限（体积无穷大）相对应的体积无穷大马尔可夫过程。我们克服的主要困难是动力学的强非局部性。然而，使用类似的想法，在最近扩展的标准吉布斯形式主义的晶格自旋系统，我们可以确定一组“好”的配置上的动态是有效的本地。我们证明了每个配置在有限时间内收敛到唯一的不变测度。
1998-10-15 math.PR
Existence and uniqueness of the stationary measure in the continuous Abelian sandpile
设Λ是Z^d的有限子集。我们研究了Λ上的沙堆模型。Λ的任意给定顶点x处的高度是正实数，加法均匀分布在某个区间[a，b]上，该区间是[0，1]的子集。门限值为1;当一个顶点的高度超过1时，它会倾倒，也就是说，它的高度减少1，而它在Λ中的所有邻居的高度增加1/2d。我们首先证明了所谓的“允许组态”上的一致测度μ在动力学下是不变的。当a < b时，我们用耦合的思想证明，从任何初始高度配置开始，过程按分布收敛到μ，因此μ是过程的唯一不变测度。当a = b时，也就是说，当加法量是非随机的，并且a是有理数时，仍然是μ是唯一不变的概率测度的情况，但是在这种情况下，我们使用随机遍历理论来证明这一点;这个证明以一种非常不同的方式进行。事实上，耦合方法在这种情况下不能工作，因为我们还显示了一个有点令人惊讶的事实，即当a = b是合理的，该过程不收敛于分布从任何初始配置。
2009-11-19 math-ph math.MP math.PR
Abelian Sandpile Model on Randomly Rooted Graphs and Self-Similar Groups
本文的主要结果是一个严格的临界性证明和显式计算的临界指数的衰减的阿贝尔沙堆模型（ASM）上的一个大家庭的无限图。首先引入了有限图极限的ASM在局部收敛中的临界性概念，这就引出了ASM在随机弱极限中的临界性问题。我们的主要技术成分是有限仙人掌序列上ASM的几乎必然临界性的充分条件（即，可分图的块是圈或单边）的假设下，随机弱极限几乎必然是1-结束。允许显式计算临界指数的例子来自有限生成群在规则有根树上通过自同构的作用。限制行动的连续水平的树定义了一个序列的有限图，其限制在局部收敛的轨道Schreier图的行动组的边界上的树。在复多项式的迭代单值群的情况下，这些图是仙人掌，我们表明，对于1-结束的，临界指数的雪崩的质量衰减依赖于图形的增长。与$z^2-1$相关的著名的Basilica群产生了无数个4正则单端二次增长图，其雪崩质量的临界指数等于1;以及无数个新的非临界二次增长的例子（因此不是$\mathbb{Z}$的准等距）。另一个迭代单值群，我们认为提供了不可数许多图的临界指数等于$2\log 2/\log 3 >1$。最后，我们还展示了图的多项式增长任意小的临界指数。
2012-10-31 math.PR
Scaling and partial universality of the height zero probability in the 2D Abelian sandpile
University of Lancaster（兰卡斯特大学）；University of Bath（巴斯大学）
该论文研究二维阿贝尔沙堆高度为0的概率的标度普适性，在满足对称性的格点上推导其标度极限表达式，推广了前人结果，通过反例说明对称性假设的必要性，为严格化Jeng等人的推测提供了基础。
2026-07-30 math.PR
Operator formalism for discretely holomorphic parafermions of the two-color Ashkin-Teller, loop $\mathrm{O} ( 1 )$, staggered eight-vertex, odd eight-vertex, and abelian sandpile models
本研究将伊辛模型的算子形式体系推广至Ashkin-Teller、圈O(n)等模型，结合已有研究结论，建立了多类统计物理模型间的进一步关联，为相关严格分析提供基础。
2024-08-13 cond-mat.stat-mech math-ph math.MP
Inequalities for critical exponents in $d$-dimensional sandpiles
考虑$\mathbb{Z}^d$上的阿贝尔沙堆测度，$d \ge 2$，作为$[-L,L]^d \cap \mathbb{Z}^d$上沙堆的平稳分布的$L \to \infty$极限。当在原点添加一粒沙子时，一些被称为雪崩簇的区域在稳定过程中倒塌。我们证明了各种雪崩特性的行为上的界限：一个给定的顶点倾倒的概率，倾倒区域的半径，以及倾倒的顶点数。我们的结果产生严格的不等式的相关临界指数。在$d = 2,$，我们表明，对于任何$1 \le k < \infty$，最后$k$波的雪崩有一个无限大的体积限制，满足幂律上界的尾部半径分布。
2017-09-28 math-ph math.MP math.PR
Abelian oil and water dynamics does not have an absorbing-state phase transition
油和水模型是一个相互作用的粒子系统，具有两种类型的粒子和保持粒子数量的动力学，属于所谓的阿贝尔网络类。在这一类中被广泛研究的过程是沙堆模型和激活的随机游动，已知（至少对于底层图形的某些选择）经历吸收状态相变。这种相变的特点是存在两个制度，这取决于粒子密度：在低密度下的固定制度，其中的动态收敛到一个吸收状态和每个粒子跳跃只有100多次，和一个制度的活动在大密度下，其中粒子跳跃无限频繁和活动是无限期地持续。在这项工作中，我们表明，油和水的模型是大大不同于沙堆模型和激活随机行走，在这个意义上说，它不经历一个吸收状态相变，并在该制度的固定在所有密度。我们的结果具有很大的一般性：对于任何图，是顶点传递和一个大类的初始配置。
2019-01-24 math-ph math.MP math.PR
Approaching criticality via the zero dissipation limit in the abelian avalanche model
离散高度阿贝尔沙堆模型是由Bak、Tang & Wiesenfeld和Dhar作为自组织临界性概念的一个例子提出的。当模型被修改为允许颗粒在每次倾倒时消失时，它被称为体积耗散。我们提供了一个连续的高度版本的阿贝尔沙堆模型，称为阿贝尔雪崩模型，它允许任意少量的耗散发生在每一个倾倒的详细研究。我们证明了对于非零耗散，阿贝尔雪崩模型的平稳测度的无穷体积极限是存在的，并且可以通过加权生成树测度得到。我们表明，在整个非零耗散制度，该模型是不关键的，即，局部观测量的空间协方差呈指数衰减。然后，我们研究了零耗散极限，并证明了自组织临界模型恢复，无论是静态措施和动力学。我们得到严格的界限倾倒概率，并引入一个指数描述其缩放临界。我们严格地建立了$d > 4$这个指数的平均场值。
2014-02-07 math-ph math.MP math.PR
On the abelian structure of noncompetitive chemical reaction networks
University of Fribourg（弗里堡大学）；University of Applied Sciences of Western Switzerland (HES-SO)（瑞士西部应用科学大学）
本文研究非竞争化学反应网络的阿贝尔结构，证明其为阿贝尔网络的特殊实例，并建立统一的代数和概率分析框架。
2026-08-06 math.PR q-bio.MN
