随机 zeta 函数的多重面貌
The many faces of the stochastic zeta function
AI总结：
本文研究零点由 Sine$_β$ 过程给出的随机整函数 $ζ_β$，给出其布朗运动幂级数表示、矩公式、Cartwright 类唯一性定理及 $β$ 共轭值间的乘积恒等式，并证明其作为圆 beta 系综特征多项式一致极限的收敛速率上界。
摘要：
我们引入一个框架来研究随机整函数 $ζ_β$，其零点由 Sine$_β$ 过程给出，即 beta 系综的体极限。我们给出若干等价刻画，包括一个由布朗运动构造的显式幂级数表示。我们利用随机微分方程研究相关分布。我们的函数是圆 beta 系综中特征多项式的一致极限；我们给出收敛速率的上界。我们的多数结果即使对 $β$ 的经典值也是新的。我们给出 $ζ$ 及其变体的显式矩公式，并证明 Borodin-Strahov 矩公式对所有 $β$ 在极限情形和圆 beta 系综情形都成立。我们证明 $ζ$ 在 Cartwright 类中的唯一性定理，并推导出 $β$ 的共轭值之间的一些乘积恒等式。证明依赖于 Sine$_β$ 算子的结构，将 $ζ$ 表示为正则化行列式。
英文摘要：
We introduce a framework to study the random entire function $ζ_β$ whose zeros are given by the Sine$_β$ process, the bulk limit of beta ensembles. We present several equivalent characterizations, including an explicit power series representation built from Brownian motion. We study related distributions using stochastic differential equations. Our function is a uniform limit of characteristic polynomials in the circular beta ensemble; we give upper bounds on the rate of convergence. Most of our results are new even for classical values of $β$. We provide explicit moment formulas for $ζ$ and its variants, and we show that the Borodin-Strahov moment formulas hold for all $β$ both in the limit and for circular beta ensembles. We show a uniqueness theorem for $ζ$ in the Cartwright class, and deduce some product identities between conjugate values of $β$. The proofs rely on the structure of the Sine$_β$ operator to express $ζ$ in terms of a regularized determinant.
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