List Decoding of Reed-Solomon Codes and Folded Reed-Solomon Codes Over Galois Ring
School of Computer Science, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学计算机学院）
本文研究了Reed-Solomon码和折叠Reed-Solomon码在Galois环上的列表解码问题，证明了其解码半径可达Singleton界，并改进了列表大小。
2026-07-13 cs.CR cs.IT math.IT
The Jacobi sums over Galois rings of arbitrary characters and their applications in constructing asymptotically optimal codebooks
在CDMA通信系统中，具有较小最大互相关幅度的码本用于区分来自不同用户的信号。本文首先研究了具有任意特征的Galois环上的Jacobi和，并完全确定了它们的绝对值，推广了文[34]中讨论的具有素数平方特征的Galois环上的Jacobi和的工作.然后，基于任意特征的Galois环上的Jacobi和，给出了确定性码书构造方法，该方法产生关于Welch界的渐近最优码书.此外，本文提供的码本参数是新的。
2021-05-29 cs.IT math.IT
On the Hamming weight of Repeated Root Cyclic and Negacyclic Codes over Galois Rings
Galois环上的重根循环码和负循环码的研究远少于它们的简单根码。这种情况正在开始改变。例如，长度为$p^s$的重复根码，其中$p$是字母环的特征，已经在一些附加的假设下进行了研究。在每一种情况下，代码的周围空间都变成了一个链环。本文考虑了Galois环字母表上长度为$p^s$的循环码和非循环码的所有剩余情形。在这些情况下，周围空间是一个局部环与简单的脚柱，但不是一个链环。尽管如此，通过减少的问题，一个处理unispenssubambients，一种方法来计算这些代码的汉明距离。
2009-03-16 cs.IT math.IT
Double circulant self-dual and LCD codes over Galois rings
本文研究了特征为$p^2$、阶为$p^4$且具有$p$和奇素数的Galois环上自对偶和LCD双循环码的存在性、计数和渐近性能.在$p \equiv 3 \pmod{4},$中，我们给出了从这样一个Galois环到$\mathbb{Z}_{p^2}^2.$的保对偶双射Gray映射的构造算法，利用随机编码，我们得到了$\mathbb{Z}_{p^2},$上关于标准$\mathbb{F}_p$值Gray映射所诱导的度量的渐近好的自对偶码和LCD码族.
2018-01-20 cs.IT math.IT
Efficient Decoding of Gabidulin Codes over Galois Rings
本文给出了Galois环上Gabidulin码的第一个具有可证二次复杂度的译码算法。该方法包括两个步骤：（1）求解基于伴随式的关键方程，得到误差的零化子多项式，从而得到误差的列空间;（2）基于接收字求解关键方程，重构误差向量。这种两步的方法是必要的，因为标准的解决方案，如欧几里德算法不正确的工作环。
2021-02-03 cs.IT math.IT
Left dihedral codes over Galois rings ${\rm GR}(p^2,m)$
设$D_{2n}=\langle x,y\mid x^n=1, y^2=1, yxy=x^{-1}\rangle$是一个二面体群，$R={\rm GR}(p^2,m)$是一个具有特征$p^2$和基数$p^{2m}$的Galois环，其中$p$是一个素数.群环$R[D_{2n}]$的左理想称为长为$2n$的$R$上的左二面角码，简称为$R$上的左$D_{2n}$ -码。本文以${\rm gcd}(n,p)=1$为例。然后将$R$上的任意左$D_{2n}$ -码唯一地分解为由内码${\cal A}_i$和外码$C_i$组成的级联码的直和，其中${\cal A}_i$是$R$上长度为$n$的循环码，$C_i$是$R$的扩张Galois环或主理想环上长度为$2$的斜循环码，并给出了每个外码$C_i$的生成矩阵和基本参数.给出了自对偶左$D_{2n}$ -码和自正交左$D_{2n}$ -码的个数计算公式，确定了每个左$D_{2n}$ -码的对偶码，并分别给出了$R$上的自对偶左$D_{2n}$ -码和自正交左$D_{2n}$ -码.
2016-09-14 cs.IT math.IT math.RA
Generalized Extended Hamming Codes over Galois Ring of Characteristic $2^{n}$
本文在Galois环$GR(2^n,m)$上引入了特征为$2^n$且扩张度为$m$的广义扩张汉明码.进一步证明了对所有$m \geq 3$，$GR(2^n,m)$上广义扩展汉明码的最小汉明重量为4，$GR(8,m)$上广义扩展汉明码的最小Lee重量为6.
2013-10-19 cs.IT math.IT
Galois hulls of cyclic serial codes over a finite chain ring
本文研究了链环上循环串行码的Galois壳的一些性质，并给出了计算该码的Euclidean壳的所有可能参数的算法。我们还建立了欧氏壳的平均$p^r$ -维数，其中$\mathbb{F}_{p^r}$是$R$的剩余域，我们提供了它的相对增长的一些结果。
2021-02-13 cs.DM cs.IT math.IT
Function-Based Minimal Linear Codes over Galois Rings $\mathrm{GR}(p^{n}, \ell)$: Minimality Criteria and Infinite Constructions
NIT Jamshedpur（印度技术学院贾姆谢德布尔分校）；University of Paris VIII（巴黎第八大学）；Indian Institute of Technology Madras（印度马德拉斯理工学院）；Visva-Bharati（维斯瓦-巴拉蒂大学）
本文扩展了 Galois 环上线性码为最小码的必要充分条件，并建立了 m 维最小线性码长度的新界。通过 Frobenius 对偶性和 Galois 环的链结构，推导出确保函数 over GR(p^n, ℓ) 上线性码为最小码的条件，并构造了若干无限族最小线性码。
2026-03-27 cs.IT math.IT
Bases of the Galois Ring $GR(p^r,m)$ over the Integer Ring $Z_{p^r}$
具有特征$p^r$和基数$p^{rm}$的伽罗瓦环$GR(p^r,m)$，其中$p$是素数，$r,m \ge 1$是整数，是剩余类环$Z_{p^r}$通过$Z_{p^r}$上的一元基本不可约多项式$m$的根$ω$的伽罗瓦扩张。$GR(p^r,m)$的每个元素都可以唯一地表示为$ω$中的多项式，其系数在$Z_{p^r}$中，次数小于或等于$m-1$，因此$GR(p^r,m)$是$Z_{p^r}$上秩$m$的自由模，其基为$\{1,ω, ω^2,..., ω^{m-1} \}$。环$Z_{p^r}$满足不变维数性质，因此$GR(p^r,m)$的任何其他基，如果存在，将具有基数$m$。本文的动机是码理论问题，寻找关于任何基的$GR(p^r,m)$上的线性分组码的$p^r$ -图像上的齐次界。考虑$GR(p^r,m)$的对偶基和正规基将是有趣的。利用$GR(p^r,m)$上的Vandermonde矩阵，借助于广义Frobenius自同构，构造性地证明了$GR(p^r,m)$的每一个基都有唯一的对偶基.正规基的概念也是从伽罗瓦域的经典情况推广而来的。
2014-10-01 cs.IT math.IT
On the construction of Cauchy MDS matrices over Galois rings via nilpotent elements and Frobenius maps
Aligarh Muslim University（阿利加尔穆斯林大学）；University College Cork（科克大学学院）
本文提出通过 nilpotent 元素和 Frobenius 映射在 Galois 环上构造 Cauchy MDS 矩阵的新方法，并利用 Frobenius 自动同构生成保持 MDS 属性的函数。
2025-12-22 cs.IT math.IT
Low-Rank Parity-Check Codes over Galois Rings
低秩奇偶检验（LRPC）是有限域上的秩度量码，其已经由Gaborit等人（2013）提出用于密码学应用。受Kamche等人（2019）最近将Gabidulin码改编为某些有限环的启发，我们定义并研究了Galois环上的LRPC码-一类广泛的有限交换环。我们给出了一个类似于Gaborit等人的译码算法。的解码器，基于简单的线性代数运算。我们推导出的解码器，这是显着更多的参与比有限域的情况下的故障概率的上限。边界仅取决于错误的秩，即，独立于其自由秩。此外，我们分析了解码器的复杂度。我们得到，有一类的LRPC码的伽罗瓦环，可以解码大致相同数量的错误作为Gabidulin码具有相同的代码参数，但比目前最好的解码器Gabidulin码。然而，需要付出的代价是一个小的失败概率，我们可以从上面绑定。
2020-12-04 cs.IT math.IT
An explicit expression for Euclidean self-dual cyclic codes of length $2^k$ over Galois ring ${\rm GR}(4,m)$
对于任何正整数$m$和$k$，现有文献仅确定了Galois环${\rm GR}(4,m)$上所有长度为$2^k$的欧几里德自对偶循环码的个数，例如在[Des.密码（2012）63：105 - 112]。利用特定类型矩阵的Kronecker积和列向量的性质，给出了一种简单有效的方法来精确构造所有这些自对偶循环码.在此基础上，我们给出了一个明确的表达式，以准确地表示所有不同的欧氏自对偶循环码的长度$2^k$在${\rm GR}(4,m)$，使用组合数。作为应用，我们对$k=4,5,6$明确列出了长度为$2^k$的${\rm GR}(4,m)$上所有不同的欧氏自对偶循环码.
2020-07-19 cs.IT math.IT
Some Repeated-Root Constacyclic Codes over Galois Rings
Galois环上的码在过去的三十年里得到了广泛的研究。对$GR(2^a,m)$上长度为$2^s$的负循环码进行了刻划：环$\mathcal{R}_2(a,m,-1)= \frac{GR(2^a,m)[x]}{\langle x^{2^s}+1\rangle}$是链环.进一步地，这些结果被推广到$λ$ -常循环码，对于任何形式为$4z-1$，$z\in GR(2^a, m)$的单元$λ$。在本文中，我们研究更一般的情况下，并调查所有的情况下，$\mathcal{R}_p(a,m,γ)= \frac{GR(p^a,m)[x]}{\langle x^{p^s}-γ\rangle}$是一个链环。特别地，得到了环$\mathcal{R}_p(a,m,γ)$为链环的充分必要条件.此外，当$\mathcal{R}_p(a,m,γ)$为链环时，利用此结构我们研究了$GR(p^a,m)$上所有的$γ$ -常循环码.给出了自正交和自对偶$γ$ -常循环码存在的充要条件。其中，对于任何素数$p$，$\mathcal{R}_p(a,m,γ)=\frac{GR(p^a,m)[x]}{\langle x^{p^s}-γ\rangle}$的结构被用于建立$γ$ -常循环码的汉明距离和齐次距离。
2017-08-15 cs.IT math.IT
Construction of mutually unbiased maximally entangled bases in $\mathbb{C}^{2^s}\otimes\mathbb{C}^{2^s}$ by using Galois rings
互无偏基在量子力学和量子信息处理中起着核心作用。作为一类重要的互无偏基，二体系统中的互无偏最大纠缠基（MUMEBs）近年来引起了人们的广泛关注。与\cite{xu2}中使用有限域的工作不同，本文尝试用Galois环来构造$\mathbb{C}^{2^s} \otimes \mathbb{C}^{2^s}$中的MUMEB.作为应用，我们在$\mathbb{C}^{2^s}\otimes\mathbb{C}^{2^s}$中得到了几种新的MUMEB类型，并证明了$M(2^s,2^s)\geq 3(2^s-1)$，从而提高了\cite{xu}中给出的$M(2^s,2^s)$的下界.
2019-12-28 cs.IT math.IT quant-ph
Generalized Rank Weight and Extended Generalized Poset Weight Defined For Codes Over Rings: A Galois Connection Approach
Fudan University（复旦大学）；National and Local Joint Laboratory of Cyberspace Security Technology（网络空间安全技术国家地方联合工程实验室）；Yiwu Research Institute of Fudan University（复旦大学义乌研究院）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文通过Galois连接方法研究环上码的广义秩重和扩展广义偏序重，统一并推广了相关对偶定理与界。
2026-10-09 cs.IT math.IT
Galois hulls of constacyclic codes over affine algebra rings
该研究针对仿射代数环上的λ-常循环码，定义了k-Galois内积，推导了其k-Galois对偶码、包络的生成元形式与包络维数公式，给出k-Galois LCD码的判定条件，并展示了其在纠缠辅助量子纠错码构造中的应用。
2024-12-11 cs.IT math.IT
Quasi-recursive MDS Matrices over Galois Rings
Aligarh Muslim University（阿利加穆斯林大学）；Universitas Gadjah Mada（加查马达大学）；Indian Institute of Information Technology Vadodara（瓦多达拉印度信息工程学院）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文提出了一种在Galois环上构造准递归MDS矩阵的方法，扩展了非交换环境下的构造，并应用于密码学中的高效扩散层。
2025-12-19 cs.IT math.IT
Coded Distributed (Batch) Matrix Multiplication over Galois Ring via RMFE
针对小型伽罗瓦域和整数剩余环上CDMM效率低的问题，本文在伽罗瓦环上构建高效CDMM，提出基于RMFE的批量框架（阈值降为1/n）、优化EP码的单CDMM（性能接近大伽罗瓦域方案）并完成实验分析。
2024-12-02 cs.DC cs.IT math.IT
