Fine-Grained Complexity and Conditional Hardness for Sparse Graphs
我们考虑稀疏图问题的细粒度复杂性，目前有$\tilde{O}(mn)$时间算法，其中m是边的数量和n是在输入图中的顶点的数量。这个类包括有向图和无向图上的几个重要的路径问题，包括APSP，MWC（最小权圈）和偏心率，这是计算的问题，对于图中的每个顶点，最长的最短路径的长度从该顶点开始。我们引入了一个稀疏减少的概念，它保留了稀疏的图形，我们提出了近线性时间稀疏减少之间的各种对图的问题在$\tilde{O}(mn)$类。令人惊讶的是，在$\tilde{O}(mn)$类中的问题之间的已知非平凡约简很少是稀疏约简。在有向的情况下，我们的结果给出了一个大的集合的问题在$\tilde{O}(mn)$类（以及一些等价）的偏序。在无向情况下，我们给出了两个非平凡的稀疏约简：从MWC到APSP，以及从未加权ANSC（所有节点最短圈）到APSP。后一个约简也给出了ANSC（稠密图）的改进算法。我们提出了MWC猜想，一个新的条件硬度猜想，在一个有向图中的最小重量循环的重量不能计算在时间多项式小于mn。我们的稀疏减少有向路径问题的$\tilde{O}(mn)$类建立，在这个类中的几个问题，包括2-SiSP（第二简单最短路径），半径，偏心率，是MWCC硬。我们还确定偏心率作为$\tilde{O}(mn)$类中的一个关键问题，该类同时是MWCC-硬，SETH-硬和k-DSH-硬，其中SETH是强指数时间假设，…
2017-10-19 cs.CC cs.DS
Hardness of Ruling Out Short Proofs of Kolmogorov Randomness
一个元复杂性假设，可行的Chaitin不完备性（FCI），断言排除长度$t$证明字符串$x$是Kolmogorov随机的困难（例如$x{\in}R$），通过类比Chaitin的结果，证明$x{\in}R$通常是不可能的。通过断言，有效地排除短证明要求排除任何证明，这是不可能的。FCI具有很强的含义：（i）随机选择的$x$通常对于任何给定的证明系统以高概率产生重言式困难，密集地证明其非最优性;（ii）证明$x{\in}R$的平均情况不可能性意味着证明重言式和Feige假设的平均情况困难;以及（iii）自然语言是$\textbf{NP}$ -中间-“$x{\in}R$缺少长度$t$证明”的稀疏补（其中$R$的补数是稀疏的）--并且尽管不在$\textbf{P}$中，但具有$\textbf{P/poly}$电路。FCI及其变体有力地断言：（1）不可计算性事实转化为困难性假设;（2）许多开放的复杂性问题都有预期的答案（例如，$\textbf{PH}$的非崩溃），因此一个总体猜想包含了许多问题;（3）某些不可证明和难以证明的句子之间的隐式映射是同构。进一步的研究可以将FCI与其他开放问题和困难假设联系起来;考虑$R$是否会挫败条件程序逻辑，从而暗示FCI;并考虑扩展同构是否将任何真正的不可证明句子映射到难以证明的句子。
2023-03-16 cs.CC math.LO
Average-Case Hardness of Proving Tautologies and Theorems
我们巩固了两个广泛认为的重言式-没有最佳的证明系统存在，大多数需要超多项式大小的证明在任何系统-到一个$p$ -同构不变的条件满足所有paddable $\textbf{coNP}$ -完整的语言或没有。条件是：对于接受该语言的任何图灵机（TM）$M$，存在需要$M$的超多项式时间的$\textbf{P}$ -均匀输入族（等价于第一个猜想），并且在输入族的枚举中以正的上密度出现（暗示第二个猜想）。在这种情况下，没有这样的语言是容易的平均（在$\textbf{AvgP}$）的分布应用不可忽略的权重的硬家庭。证明重言式和定理的困难可能与此有关。基于这样一个事实，即编码“字符串$x$是Kolmogorov随机的”的算术语句是真的，但在一个公理化的理论$\mathcal{T}$中不可证明具有正密度（Calude和J{ü}rgensen），我们猜想，任何命题证明系统都需要对重言式编码的$\textbf{P}$ -均匀族的稠密集进行超多项式大小证明。不存在大小$\leq t$的$\mathcal{T}$证明，其示出串$x$是Kolmogorov随机的”。这意味着上述条件。这个猜想表明，不存在最优的证明系统，因为不可判定的理论有助于证明重言式，并且随着公理的增加，证明效率会更高，而构造硬重言式似乎很困难，因为不可能构造柯尔莫哥洛夫随机串。类似的计算盲点是不可计算性的表现的观点将解决其他悬而未决的…
2022-07-20 cs.CC math.LO
A New Conjecture on Hardness of Low-Degree 2-CSP's with Implications to Hardness of Densest $k$-Subgraph and Other Problems
我们提出了一个关于低次$2$ -CSP's的硬度的新猜想，并证明了Denmark $k$ -Subgraph和其他几个问题，包括图划分问题和图交叉数问题的一个变体的逼近结果的新硬度都来自这个猜想.该猜想可以被视为占据了$d$到$1$猜想和$2$ -CSP的硬度结果之间的中间地带，该硬度结果可以通过标准技术获得，例如与用于3SAT问题的标准$2$ -证明器协议相结合的并行重复.我们希望这项工作将激励进一步探索的硬度$2$ -CSP的制度所产生的猜想。我们相信，一个积极的解决方案的猜想将提供一个很好的起点，进一步的硬度近似证明。我们工作的另一个贡献是证明我们考虑的问题从近似的角度来看是大致等价的。这些问题中的一些出现在以前的工作中，从那里看来，它们可能是相互关联的。我们在这项工作中正式确立了这种关系。
2022-11-10 cs.CC cs.DS
Beyond Natural Proofs: Hardness Magnification and Locality
硬度放大减少了主要的复杂性分离（如$\mathsf{\mathsf{EXP}} \nsubseteq \mathsf{NC}^1$），以证明一些自然问题的下限$Q$对弱电路模型。最近的一些工作[OS 18，MMW 19，CT 19，OPS 19，CMMW 19，Oli19，CJW 19a]已经建立了这种形式的结果。在最有趣的情况下，对于那些似乎比$Q$容易得多的问题，所需的下限是已知的，而$Q$本身对下限敏感，但这些下限还不足以放大。在这项工作中，我们提供了更多的例子，这种现象，并探讨使用这种方法证明新的下界的前景。特别是，我们认为与硬度放大程序相关的以下基本问题：硬度放大是否避免了Razborov和Rudich [RR 97]的自然证据障碍？我们能否采用已知的下限技术来建立$Q$的理想下限？
2019-11-19 cs.CC cs.DM math.CO
Hardness of Bounded Distance Decoding on Lattices in $\ell_p$ Norms
$ \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\eps}{\varepsilon} \newcommand{\cc}[1]{\mathsf{#1}} \newcommand{\NP}{\cc{NP}} \newcommand{\problem}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\BDD}{\problem{BDD}} $有界距离解码$\BDD_{p,α}$是在$\ell_{p}$范数中，当目标点被保证在格的最小距离的$α$因子内时解码格的问题。我们证明了$\BDD_{p, α}$是$\NP$ -硬随机减少$α\to 1/2$作为$p \to \infty$（和$α=1/2$时$p=\infty$），从而显示出硬度的解码距离接近唯一的解码半径大$p$。我们还显示了$\BDD_{p,α}$的细晶硬度。例如，我们证明，对于所有的$p \in [1,\infty) \setminus 2\Z$和常数$C > 1, \eps > 0$，有没有$2^{(1-\eps)n/C}$ -时间算法$\BDD_{p,α}$为一些常数$α$（接近$1/2$为$p \to \infty$），假设随机强指数时间假设（SETH）。此外，基本上我们所有的结果也持有（在类似的非均匀假设下）$\BDD$与预处理，其中无界预计算可以应用到格之前的目标是可用的…
2020-03-17 cs.CC cs.DS
New Unconditional Hardness Results for Dynamic and Online Problems
有一个复苏的兴趣在下界的真理依赖于已知的计算问题的约束的硬度。由于证明强无条件下界的进展非常缓慢，这些条件下界变得重要和流行。然而，长期目标是用无条件的边界取代这些条件边界。在本文中，我们在这个方向上取得进展，通过研究细胞探针复杂性的两个被证明是硬问题的特别重要的：矩阵向量乘法和一个版本的动态集不相交被称为帕特拉斯库的多相问题。我们改进了这些问题的无条件下界，以及引入新的证明技术的独立利益。其中包括一种能够证明以下形式的强阈值下限的技术：如果我们坚持要有一个非常快的查询时间，那么更新时间必须足够慢，以计算一个查找表，每个可能的查询的答案。这是第一次证明这种类型的下界。
2015-04-08 cs.CC cs.DS cs.IT
On Fine-Grained Exact Computation in Regular Graphs
我们表明，没有次指数时间算法计算的最大独立集问题的d-正则图的精确解，除非ETH失败。我们扩大我们的方法，以表明它有助于提供下界的其他覆盖问题，如顶点覆盖和集团。利用该结构证明了MIS在5-正则平面图上的NP-困难性，从而封闭了MIS在正则平面图上的精确复杂性状态。
2021-03-24 cs.CC cs.DS
Deterministic 3SUM-Hardness
本文提出一套去随机化工具包，成功对几乎所有已知的基于加法哈希的 3SUM 困难性归约进行去随机化，并证明了 3SUM 的确定性全域归约，从而推动确定性 3SUM 困难性理论的发展。
2023-11-28 cs.CC cs.DS
On the Fine-grained Complexity of One-Dimensional Dynamic Programming
在本文中，我们调查的复杂性一维动态规划，或更具体地说，最小权重子序列（LWS）的问题：给定一个序列的$n$数据项连同每对项目的权重，任务是确定一个子序列$S$最小化的总重量对相邻的$S$。大量的自然问题可以表述为LWS问题，产生明显的$O(n^2)$时间解。在许多有趣的实例中，可以简洁地表示$O(n^2)$ -many权重。然而，除了一些特定的特殊情况下的近线性时间算法，很少有人知道什么时候LWS实例化承认一个次二次时间算法，当它不。特别是，没有下限的LWS实例已经知道之前。为了纠正这种情况，我们提供了一个通用的方法来研究LWS问题的简洁实例的细粒度的复杂性。特别是，给定一个LWS实例，我们确定了一个高度并行的核心问题，是次二次等价的。这要么为问题的明显困难提供了解释，要么根据具体情况提供了寻找改进算法的途径。更具体地说，我们证明次二次等价以下对（LWS实例化和相应的核心问题）的问题：低秩版本的LWS和最小内积，找到最长链的嵌套盒和向量支配，硬币变化的问题，这是密切相关的背包问题和（min，+）-卷积。使用这些等价关系和已知的一些核心问题的赛斯硬度的结果，我们推导出相应的LWS实例紧的条件下界。我们还建立了背包问题的（min，+）-卷积硬度。
2017-03-02 cs.CC cs.DS
Fine-Grained Hardness of Approximating Dynamic Time Warping
The University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）
本文在GBD和OVH假设下，证明了近似动态时间规整（DTW）的细粒度下界，匹配了近似与运行时间的权衡，并扩展到多符号度量及游程编码字符串。
2026-10-08 cs.CC cs.DS
Tree-Residue Vertex-Breaking: a new tool for proving hardness
在本文中，我们引入了一个新的问题，称为树剩余顶点断裂（TRVB）：给定一个多重图$G$，其中一些顶点被标记为“可断裂”，是否有可能转换$G$到树通过一系列的“顶点断裂”操作（更换度- $k$可断裂的顶点为$k$度-$k$，断开$k$事件的边缘）？我们的计算复杂性的TRVB与以下附加约束的任何组合的特征：$G$必须是平面的，$G$必须是一个简单的图，每个可破顶点的程度必须属于一个允许的列表$B$，和每个不可破顶点的程度必须属于一个允许的列表$U$。我们期望最普遍适用的两个结果是：（1）当可断点的度被限制为至多为$3$时，TRVB是多项式可解的;（2）对于任何$k \ge 4$，当给定的多重图被限制为平面的且完全由度为$k$的可断点组成时，TRVB是NP-完全的。为了证明TRVB的使用，我们给出了一个简单的证明，已知的结果，最大程度的$3$方格图的哈密尔顿性是NP-困难的。我们还演示了TRVB和超图生成树问题之间的连接。这种连接使我们能够证明，在$k$ -均匀$2$ -正则超图的超图生成树问题是NP-完全的任何$k \ge 4$，即使当超图的关联图是平面的。
2018-05-03 cs.CC cs.CG
Finding Small Satisfying Assignments Faster Than Brute Force: A Fine-grained Perspective into Boolean Constraint Satisfaction
为了研究在何种情况下小的解决方案可以找到更快的速度比穷举搜索（以及多少）的问题，我们研究了细粒度的复杂性的布尔约束满足与大小约束正好$k$。更确切地说，我们的目标是确定，对于任何有限的约束家庭，最佳的运行时间$f(k)n^{g(k)}$需要找到满意的分配，设置精确的$k$的$n$变量$1$。在关于图和3-一致超图的团检测的中心硬度假设下，我们给出了$g(k)$的四个几乎严格的刻画：（1）蛮力本质上是最佳可能的，即，$g(k) = (1\pm o(1))k$，（2）最好的算法与当前的$k$ -团算法一样快，即，$g(k)=(ω/3\pm o(1))k$，（3）指数对具有$g(k) \in [Ω(\sqrt[3]{k}), O(\sqrt{k})]$的$k$具有次线性依赖性，或者（4）问题是固定参数易处理的，即，$g(k) = O(1)$。这产生了比先前FPT/W[1]-硬度二分法更细粒度的观点（Marx，Computational Complexity 2005）。我们最有趣的技术贡献是一个$f(k)n^{4\sqrt{k}}$ -时间算法SubsetSum的优先约束参数化的目标$k$ -特别是该方法，基于推广的Frobenius硬币问题的设置与优先约束的约束，可能是独立的利益。
2020-05-23 cs.CC cs.DS
From average case complexity to improper learning complexity
The Hebrew University（希伯来大学）
计算学习理论的PAC模型的基本问题是确定哪些假设类是可有效学习的。目前缺乏显示学习困难的结果。此外，现有的下限达不到最知名的算法。证明复杂性结果的最大挑战是确定{ \em不正确学习}的难度（也称为证明不适当学习的下限的困难在于，来自$\mathbf{NP}$困难问题的标准归约似乎不适用于这种情况。基本上只有一种已知的方法来证明不正确学习的下限。它是在（Kearns和Valiant 89）中发起的，并依赖于加密假设。我们介绍了一种新的技术，证明硬度不适当的学习，减少的基础上，平均困难的问题。我们提出了一个（相当强的）推广Feige的假设（Feige 02）的复杂性反驳随机约束满足问题。将这一假设与我们的新技术相结合，产生了深远的影响。特别地，1.学习$\mathrm{DNF}$的很难。2.不可知地学习具有常数近似比的半空间是困难的。3.学习$ω(1)$半空间的交集很难。
2014-03-09 cs.CC cs.LG
On the Fine-Grained Hardness of Inverting Generative Models
New York University（纽约大学）
本文研究了生成模型反演的计算硬度，在SETH和ETH假设下，通过归约从k-SAT、CVP等问题，为精确和近似反演建立了新的指数级复杂度下界。
2023-09-11 cs.CC cs.LG stat.ML
Hardness Results for Weaver's Discrepancy Problem
马库斯、斯皮尔曼和斯利瓦斯塔瓦（数学年鉴2014）通过证明韦弗猜想的强形式解决了Kadison-Singer问题：他们表明对于所有$α> 0$和所有至多$\sqrtα$的范数向量列表，其外积和为恒等式，存在一个算子范数至多为$\sqrt{8 α} + 2 α.$的外积的符号和，我们证明了它是NP-对于某个绝对常数$κ> 0.$，很难区分这样一个向量列表，其中存在等于零矩阵的符号和，以及其中每个符号和具有至少$κ\sqrtα$的算子范数。因此，构造一个比保证存在的常数因子更好的符号是NP困难的。对于$α= 1/4$，我们证明了区分是否存在等于零矩阵的符号和每个符号和至少有$1/4$的算子范数的情况是NP-困难的.
2022-05-03 cs.CC cs.DS
Exponential improvements to the average-case hardness of BosonSampling
本研究证明BosonSampling输出概率加性误差估计的#P难结果较此前指数级提升，规避PGC证明障碍，并在反集中猜想下首次得到其平均情况经典采样难度的指数级改进结果，引入可容忍归约指数损失的新技术。
2025-09-04 cs.CC quant-ph
On the Fine-Grained Complexity of Empirical Risk Minimization: Kernel Methods and Neural Networks
MIT（麻省理工学院）
经验风险最小化（ERM）在机器学习中无处不在，并且是大多数监督学习方法的基础。虽然已经有大量的工作，各种ERM问题的算法，确切的计算复杂性的ERM仍然没有被理解。我们解决这个问题的多个流行的ERM问题，包括内核支持向量机，内核岭回归，并训练神经网络的最后一层。特别是，我们给这些问题的复杂性理论假设的基础上，如强指数时间假设的条件硬度结果。在这些假设下，我们表明，有没有算法，解决上述ERM问题的高精度次二次时间。我们也给出了类似的硬度结果计算梯度的经验损失，这是主要的计算负担，在许多非凸学习任务。
2017-04-10 cs.CC cs.DS cs.LG
On the Fine-Grained Complexity of the Unbounded SubsetSum and the Frobenius Problem
考虑方程$a_0 x_0 + \ldots + a_n x_n = t$的正整数解$x \in \mathbb{Z}^{n+1}$。在所谓的无界子集和问题中，目标是确定是否存在这样的解，而在Frobenius问题中，目标是计算最大的$t$，使得不存在这样的解。本文研究了无界子集和、Frobenius问题及其推广的算法复杂性。更准确地说，我们研究的伪多项式时间算法的运行时间取决于最小的数字$a_0$或分别最大的数字$a_n$。对于参数$a_0$，我们表明，所有考虑的问题是次二次等价于$(min,+)$ -卷积，一个基本的算法问题，从该地区的细粒度的复杂性。通过这种等价性，我们得到了所考虑的问题的硬度结果（基于假设，$(min,+)$ -卷积的次二次运行时间的算法不存在），以及具有改进的运行时间的算法。等价性的证明利用了解的结构性质，这是一种在整数规划领域开发的技术。针对$a_n$参数化问题的复杂性，提出了改进算法。例如，我们给出了一个拟线性时间算法的Frobenius问题，以及硬度的基础上的强指数时间假设的结果。
2021-08-12 cs.CC cs.DS
Raising a Hardness Result
Università di Roma “La Sapienza”（罗马第一大学）
本文介绍了一种技术证明问题的多项式层次或PSPACE的类很难。这种技术的基本原理是，一些问题的限制能够模拟存在或全称量词。如果是这种情况，从量化布尔公式（QBF）到这些限制的约简可以被转换为从在前面具有多个量词的QBF的约简。这意味着在多项式层次中的n级的问题的硬度的证明可以被分成n个单独的证明，这可能比直接示出从一类QBF到所考虑的问题的简化的证明更简单。
2007-08-30 cs.AI cs.CC cs.LO
Spurious Valleys, NP-hardness, and Tractability of Sparse Matrix Factorization With Fixed Support
用稀疏因子的乘积逼近稠密矩阵的问题是许多信号处理和机器学习任务的基本问题。它可以分解为两个子问题：找到非零系数在稀疏因子中的位置，并确定它们的值。虽然第一步通常被视为最具挑战性的一个，由于其组合性质，本文重点介绍了第二步，称为稀疏矩阵近似与固定的支持。首先，我们展示了它的NP-硬度，同时也提出了一个非平凡的家庭的支持，使问题实际上易于处理的专用算法。然后，我们研究了其自然优化公式的景观，证明了虚假的局部谷和虚假的局部极小值，其存在可能会阻止局部优化方法实现全局最优。所提出的算法的优势，国家的最先进的一阶优化方法进行了讨论。
2022-11-22 cs.CC
Fine-grained quantum supremacy based on Orthogonal Vectors, 3-SUM and All-Pairs Shortest Paths
细粒度量子霸权（Fine-grained quantum supremacy）是一项研究，在“细粒度复杂性”假设下证明量子计算经典模拟的（接近）紧时间下限。我们证明了在正交向量（OV）、3-和、所有对最短路径（APSP）及其变体的假设下，量子计算的强和弱经典模拟在一定的量子比特数指数时间内是不可能的.这些结构被广泛应用于经典的细粒度复杂性理论中，其中多项式时间硬度被证明。之前所有关于细粒度量子霸权的结果都是基于ETH、SETH或它们的变体，这些变体是SAT的模型，其中指数时间硬度被证明是正确的。首先通过考虑基于量子随机存取存储器（QRAM）的量子计算模型，然后通过考虑非QRAM模型的量子计算，证明了存在量子线路，该量子电路不能在相对于量子比特数的一定指数时间内被经典模拟.在QRAM模型的情况下，量子线路的大小相对于量子比特的数量是线性的，并且在非QRAM模型的情况下，量子线路的大小相对于量子比特的数量是指数的，但是结果仍然是非平凡的。
2019-11-07 cs.CC quant-ph
Hardness and Tractability of T_{h+1}-Free Edge Deletion
Indian Institute of Science Education and Research（印度科学教育研究所）
研究T_{h+1}-自由边删除问题的难度与可处理性，证明其在不同参数化下的固定参数可处理性及复杂性结果。
2026-02-03 cs.CC cs.DS
Matching Triangles and Triangle Collection: Hardness based on a Weak Quantum Conjecture
经典上，对于许多计算问题，人们可以根据一个或多个关键问题的难度得出时间下限：k-SAT，3SUM和APSP。最近，类似的结果已经在量子设置条件下的硬度k-SAT和3SUM。这是使用细粒度约简来完成的，其中方法是（1）选择关键问题$X$，对于某些函数$T$，对于任何常数$ε> 0$（在固定的计算模型中），任何$O(T(n)^{1-ε})$时间算法都不能解决该关键问题，以及（2）以细粒度的方式将$X$约简到这些计算问题，从而为它们给出（大多数）严格的条件时间下限。有趣的是，对于Delta匹配三角形和三角形集合，经典的硬度结果是根据所有三个提到的关键问题的硬度得出的。更准确地说，它被证明是一个$n^{3-ε}$时间经典算法这两个图的问题将意味着更快的经典算法的k-SAT，3SUM和APSP，这使得三角形匹配和三角形集合值得研究。在本文中，我们表明，这两个图形问题的$n^{1.5-ε}$时间量子算法将意味着更快的量子算法的k-SAT，3SUM，和APSP。我们首先制定了一个量子硬度猜想APSP，然后提出量子约化从k-SAT，3SUM，和APSP三角形和三角形集合。此外，基于量子APSP猜想，我们还能够证明一个矩阵问题和许多图问题的量子下界。匹配的上界遵循平凡的大部分，除了三角形匹配三角形和三角形集合，我们提出的量子算法，需要小心使用数据结构和Ambainis的可变时间搜索。
2022-07-22 cs.CC quant-ph
The Parameterized Hardness of the k-Center Problem in Transportation Networks
在本文中，我们研究的硬度$k$ -中心问题的输入模型的运输网络。对于该问题，给出了一个具有边长的图$G=(V,E)$和一个整数$k$，需要选择一个中心集$C\subseteq V$使得$|C|\leq k$ .目标是最小化图中任何顶点到最近中心的最大距离。这个问题出现在物流的许多应用中，因此考虑对运输网络进行建模的输入是很自然的。这样的输入通常被假设为平面图，低倍度量，或有界公路维数图。对于这些模型中的每一个，参数化近似算法已经被证明是存在的。我们补充这些结果，证明了$k$ -中心问题是W[1]-困难的常数倍维的平面图，其中的参数是组合的中心数$k$，公路尺寸$h$，和路径宽度$p$。此外，在指数时间假设下，对于任何可计算函数$f$都没有$f(k,p,h)\cdot n^{o(p+\sqrt{k+h})}$时间算法。因此，即使假设输入图同时符合上述所有交通网络模型，也不可能有效地找到$k$ -Center的最优解！此外，我们给出了一个简单的参数化$(1+\varepsilon)$ -近似算法的输入的两倍维$d$与运行时$(k^k/\varepsilon^{O(kd)})\cdot n^{O(1)}$。这推广了先前的结果，其考虑了$D$维$L_q$度量中的输入。
2020-03-02 cs.CC cs.DS
Improved Hardness and Approximations for Cardinality-Based Minimum $s$-$t$ Cuts Problems in Hypergraphs
针对超图中基于基数的最小 $s$-$t$ 割问题，证明了其在已知子模区域外为 NP-hard，并设计了将非子模惩罚投影至子模区域的最优近似策略。
2025-04-07 cs.CC cs.DS
Statistical Algorithms and a Lower Bound for Detecting Planted Clique
我们介绍了一个框架，用于证明计算问题的下限分布对算法，可以使用访问统计查询Oracle。对于这样的算法，对输入分布的访问限于获得对从输入分布随机抽取的样本的任何给定函数的期望的估计，而不是直接访问样本。在理论和实践中最感兴趣的自然算法，例如，基于矩的方法、局部搜索、用于凸优化的标准迭代法、MCMC和模拟退火可以在该框架中实现。我们的框架基于学习理论中的统计查询模型（Kearns，1998）。我们的主要应用程序是一个几乎最优的下界的复杂性的任何统计查询算法检测种植二分团分布（或种植稠密的子图分布）时，种植团的大小$O(n^{1/2-δ})$的任何常数$δ> 0$。这些问题的变体的假设硬度已被用来证明其他几个问题的硬度，并作为密码学应用程序的安全性的保证。我们的下限提供了硬度的具体证据，从而支持这些假设。
2016-08-15 cs.CC cs.DS
Hardness of Interval Scheduling on Unrelated Machines
我们提供了新的（参数化）计算硬度的结果不相关的机器上的区间调度。这是一个经典的调度问题，源于准时制或精益制造，其目标是准确地在最后期限内完成作业。我们被赋予$n$作业和$m$机器。每个作业都有一个最后期限、权重和处理时间，这些在每台机器上可能不同。目标是找到一个时间表，最大化的总重量的工作完全在他们的最后期限完成。请注意，这唯一地定义了每台机器上每个作业的处理时间间隔。不相关机器上的区间排序问题与区间图着色问题密切相关，几十年来人们对区间排序问题进行了深入的研究。然而，正如Mnich和van Bevern [Computers \& Operations Research，2018]所指出的那样，机器数量$m$的参数化复杂度仍然是一个开放的参数。我们解决了这个问题，表明间隔调度不相关的机器是W[1]-硬时，参数的机器数$m$。为此，我们证明了W[1]-硬度关于$m$的特殊情况下，我们有平行机与合格的机器集的工作。这回答了Mnich和van Bevern在调度的参数化复杂性中列出的15个开放问题的开放问题8 [Computers \& Operations Research，2018]。此外，我们解决了计算复杂性的地位，不相关的机器上的区间排序的未加权版本证明它是NP-完全的。这回答了Sung和Vlach的一个开放性问题[Journal of Scheduling，2005]。
2022-06-26 cs.CC cs.DM cs.DS
Hardness of approximation for strip packing
条形包装是一个经典的包装问题，其目标是将一组矩形物体包装成给定宽度的条带，同时最小化包装的总高度。该问题有多种应用，例如在调度和库存切割，并已被广泛研究。当允许对象的维度在总输入大小中为指数时，已知问题不能在比$3/2$更好的因子内近似，除非$\mathrm{P}=\mathrm{NP}$。然而，对于多项式有界的输入数据没有相应的下限。事实上，Nadiradze和Wiese [SODA 2016]最近针对该变体提出了一种$(1.4 + ε)$近似算法，从而表明，与允许输入数据中的指数大值相比，可以更好地近似多项式有界数据的条带填充。他们的结果随后被两个独立的研究小组改进为$(4/3 + ε)$近似值[FSTTCS 2016，arXiv：1610.04430]。这就提出了一个问题是否带包装多项式有界的输入数据承认准多项式时间近似计划，是相关的二维包装问题，如最大独立集的矩形或二维背包的情况。在本文中，我们回答这个问题的否定证明，它是NP-困难的近似带包装内的一个因素优于$12/11$，即使只允许多项式有界的输入数据。特别地，这表明，带包装问题不允许准多项式时间近似方案，除非$\mathrm{NP} \subseteq \mathrm{DTIME}(2^{\mathrm{polylog}(n)})$。
2016-10-25 cs.CC cs.DS
APX-Hardness of Computing Lipschitz Constants for Multi-Parametric Quadratic Programs
Tsinghua University（清华大学）；Beijing National Research Center for Info. Sci. & Tech. (BNRist)（北京信息科学与技术国家研究中心）
本文证明了计算多参数二次规划解映射的Lipschitz常数不仅是NP难的，而且是APX难的，并揭示了当约束或决策变量数量固定时问题可多项式求解，且即使在标量参数情形下NP难和APX难仍然存在。
2026-06-02 cs.CC cs.SY eess.SY
Parameterized Fine-Grained Reductions
近年来，细粒度复杂性领域蓬勃发展，产生了大量的结果，对计算机科学社区产生了应用和理论上的影响。该框架的基石是细粒度约简的概念，它与问题的确切复杂性相关联，以便继续改进其运行时间或硬度结果。我们提供了一个参数化的观点，这些减少（PFGR），以进一步分析结构的可改进的问题，并设置一个统一的方法扩展算法的结果的基础。在这种情况下，我们定义了一类问题（FPI），承认固定参数的改进，其运行时间。作为这个框架的应用，我们提出了一个真正的次二次固定参数算法的正交向量问题。最后，我们提供了一个电路表征FPI进一步巩固的概念，改进。
2019-02-14 cs.CC
Explicit Optimal Hardness via Gaussian stability results
Raghavendra（2008）的结果表明，假设Khot的唯一博弈猜想（2002），对于每个约束满足问题，存在一个通用的半定规划，该半定规划实现了最佳逼近因子。这个结果是存在的，因为它没有提供一个明确的最优舍入过程，也不允许精确计算问题的唯一博弈硬度。对于每个具体的近似问题，获得显式的最佳近似方案和相应的近似因子是一个困难的挑战。在MAX-CUT（KKMO 2004）的分析和不变性原理（MOO 2005）的使用中，建立了一种确定精确近似因子和相应最佳舍入的方法。然而，这种方法至关重要地依赖于在高斯空间中明确证明最优分区的结果。直到最近，Borell的结果（Borell 1985）是唯一已知的非平凡高斯划分结果。在本文中，我们使用Isaksson和Mossel（2012）关于高斯划分的新结果导出了第一个显式最佳近似算法和相应的近似因子。这个高斯结果使我们能够准确地确定MAX-3-EQUAL的唯一博弈硬度。特别是，我们的结果表明，该问题的Zwick算法实现了最佳的逼近因子，并证明了该算法所实现的近似是$\approx 0.796$作为Zwick所证明的。我们进一步使用先前已知的最优高斯划分结果来获得MAX-k-CSP的新的唯一游戏硬度因子：使用众所周知的事实，即联合正态两两独立随机变量是完全独立的，我们证明了Max-k-CSP的UGC硬度是$\frac{\lceil (k+1)/2 …
2013-08-08 cs.CC
On the Hardness of Average-case k-SUM
在这项工作中，我们展示了经典的$k$ -SUM问题的第一个最坏情况下的平均情况下减少。$k$ -SUM实例是$m$整数的集合，而$k$ -SUM问题的目标是找到求和为$0$的$k$元素的子集。在平均情况版本中，$m$元素是从某个间隔$[-u,u]$中随机均匀选择的。我们考虑$m$足够大（相对于$u$和$k$）的总设置，以便我们保证（以高概率）解决方案必须存在。$k$ -SUM的大部分吸引力，特别是与计算几何中的问题的连接，扩展到总设置。在平均情况下的总设置中，最著名的算法是由Wagner（遵循Blum-Kalai-Wasserman的方法）提出的，并实现了$u^{O(1/\log k)}$的运行时间。这超过了最坏情况下$k$ -SUM的已知（条件）下限，自然会产生是否可以进一步改进的问题。然而，在这项工作中，我们显示了一个匹配的平均情况下的下限，从最坏情况下的晶格问题，从而引入了一个新的技术家族到该领域的细粒度的复杂性。特别是，我们表明，任何算法解决平均情况下$k$-SUM的$m$元素的时间$u^{o(1/\log k)}$将给出一个超多项式的改进，在复杂的算法格问题。
2020-11-11 cs.CC cs.DS
Hardness of sampling for the anti-ferromagnetic Ising model on random graphs
本文证明大平均度随机图上反铁磁 Ising 模型在 β>1 时不存在接近 Gibbs 测度的稳定采样算法，并通过比较平均能量与重叠的插值方法揭示搜索与采样的可处理性分离。
2024-09-06 cs.CC cs.DS math.PR
Hardness of Median and Center in the Ulam Metric
本文研究Ulam度量下排名聚合的中位数和中心点问题，证明连续设置下中位数计算为NP困难，并完全解决离散设置的细粒度复杂性，证明朴素算法条件最优。
2025-04-23 cs.CC cs.CG cs.DS
Minimum Connected Transversals in Graphs: New Hardness Results and Tractable Cases Using the Price of Connectivity
本文系统地研究了三个相关的横截问题：顶点覆盖、反馈顶点集和奇圈横截的连通变体的计算复杂性。就像它们的原始对应物一样，这些变体对于一般图是NP完全的。一个图$G$对某个图$H$是无$H$的，如果$G$不包含与$H$同构的导出子图.如果$H$包含爪或圈，则即使对于无$H$的图，连通点覆盖也是NP-完全的.我们表明，其他两个连接的变种也保持NP完全，如果$H$包含一个周期或爪。在其余情况下，$H$是线性森林。我们证明了对于每个常数$s\geq 1$，$sP_2$ -free图的连通顶点覆盖，连通反馈顶点集和连通奇循环translation是多项式时间可解的。为了证明这些结果，我们使用已知的顶点覆盖，反馈顶点集，奇循环断面的连通性的价格的结果。这是第一个应用程序的价格连接，导致多项式时间算法。
2017-09-21 cs.CC cs.DM cs.DS
Tight Fine-Grained Bounds for Direct Access on Join Queries
该研究针对连接查询字典序直接访问任务，提出基于分解的通用算法，结合Zero-Clique猜想证明预处理时间下界，证实算法边界的紧性，还拓展了相关枚举难度的证据。
2024-12-12 cs.CC cs.DB
Hardness results for Multimarginal Optimal Transport problems
Laboratory for Information and Decision Systems (LIDS), Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院信息与决策系统实验室）
多边际最优输运（MOT）是边际固定的联合概率分布上的线性规划问题。在许多应用中的一个关键问题是求解MOT的复杂性：线性规划在边缘数k和它们的支持数n方面具有指数大小。最近的一系列工作表明，MOT是聚（n，k）时间可解的某些家庭的成本，有聚（n，k）大小的隐式表示。然而，目前还不清楚这一系列算法研究的成本还包括哪些。为了理解这些基本的局限性，本文开始研究MOT的棘手的结果。我们的主要技术贡献是开发了一个工具包，证明NP-硬度和不可逼近的结果MOT问题。我们证明了这个工具包，使用它来建立一些MOT的问题，在文献中研究，抵制以前的算法努力的棘手性。例如，我们提供的证据表明，排斥成本使MOT棘手的几个这样的问题的利益是NP-难以解决的-甚至近似。
2020-12-10 cs.CC cs.DS cs.LG
Hardness of Approximation of (Multi-)LCS over Small Alphabet
寻找最长公共子序列（LCS）问题是计算机科学中的基本问题之一，在计算生物学、文本处理、信息检索、数据压缩等领域有着广泛的应用。众所周知，寻找任意多个输入序列的LCS的长度问题（多LCS问题）是NP-完全的。Jiang和Li [SICOMP'95]表明，如果Max-Clique难以在$s$的因子内近似，则Multi-LCS也难以在$Θ(s)$的因子内近似。通过Zuckerman [ToC'07]近似Max-Clique问题的NP-困难性，对于任何常数$δ>0$，每个长度为$n$的任意数量的输入序列的LCS的长度不能在多项式时间内在$n^{1-δ}$ -因子内近似，除非{ \tt{P} } $=$ { \NP }。然而，Jiang和Li的简化假设字母表大小为$Ω(n)$。到目前为止，还没有硬度的结果是已知的问题，逼近多LCS的次线性大小的字母表。另一方面，对于字母表为$Σ$的字符串，很容易得到$1/|Σ|$ -因子近似.在本文中，我们取得了显着的进展，证明了小字母表上的近似的硬度，显示了多项式时间减少从研究充分的\emph{densest $k$-subgraph}问题与{ \em完美的完整性}，以近似多LCS的大小$poly(n/k)$的字母表。因此，从已知的dennial $k$ -子图问题的困难结果（例如[Manurangsi，STOC'17]），我们得到，没有多项式时间算法可以…
2020-06-24 cs.CC
Hardness for Triangle Problems under Even More Believable Hypotheses: Reductions from Real APSP, Real 3SUM, and OV
$3$ SUM假说、APSP假说和SETH假说是细粒度复杂性的三个主要假说。到目前为止，在该领域内，前两个假设主要是关于Word RAM计算模型中的整数输入。“实APSP”和“实$3$ SUM”假设断言APSP和$3$ SUM假设在实RAM模型的合理版本中对实值输入成立，甚至比它们的整数对应物更可信。在非常可信的假设下，至少有一个$3$ SUM假设，SENAPSP假设或SETH是真的，Abboud，Vassilevska W。和Yu [STOC 2015]表明，一个名为Triangle Collection的问题需要在$n$节点图上花费$n^{3-o(1)}$时间。我们的主要结果是一个非平凡的下限略推广三角形集合，称为全彩色对三角形集合，在更可信的假设下，至少有一个真正的$3$总和，真正的APSP，和OV假设是真的。结合轻微的修改前减少，我们得到多项式条件下界的问题，如（静态）ST-最大流量问题和动态最大流量，现在在新的较弱的假设。我们的主要结果是建立在以下两条减少线。* 实APSP和实$3$ SUM硬度用于全边稀疏三角形问题。以前的减少只从这些问题的整数变量。* 布尔矩阵乘法问题变体的真实APSP和OV难度。一路上，我们证明了三角形集合等价于问题的一个更简单的限制版本，简化了先前的工作。我们的技术也有其他有趣的影响，如超线性下限的所有数字$3$ SUM的基础上，真正的$3$ SU…
2022-04-14 cs.CC cs.DS
A More Fine-Grained Complexity Analysis of Finding the Most Vital Edges for Undirected Shortest Paths
我们研究了NP难最短路径最重要的边缘问题的背景下，分析网络的鲁棒性。对于一个边长度为正整数的无向图和两个指定的顶点$s$和$t$，目标是删除尽可能少的边，以便尽可能多地增加（新的）最短$st$ -路的长度。从参数化复杂性和近似算法的角度研究了这种情况。我们通过提供精细的计算易处理性以及硬度结果来为这一研究路线做出贡献。我们实现了这一点，通过系统的调查各种问题的具体参数和它们的影响的计算复杂性。图表之间的边界易处理性和棘手性，我们还确定了未来的研究面临的许多挑战。
2018-04-24 cs.CC
Approximation Algorithms and Hardness of the k-Route Cut Problem
本文研究k-路割问题：给定一个无向边权图G=（V，E），一个集合{（s_1，t_1），（s_2，t_2），.，（s_r，t_r）}和整数连通性要求k，目标是找到要移除的边的最小权重子集E'，使得每个对（s_i，t_i）的连通性低于k。具体地，在边缘连通性版本EC-kRC中，要求是在G \E '中存在最多（k-1）条连接s_i到t_i的边缘不相交路径，而在顶点连通性版本NC-kRC中，对于顶点不相交路径也有相同的要求。在我们的工作之前，对于k >= 3的特殊情况，已知多对数近似算法，但是对于任何k>3的值，除了在单源设置中，没有已知的非平凡近似算法。我们给出了一个O（k log^{3/2}r）近似算法，并给出了几个多项式对数双准则近似算法，其中k是一个常数因子.我们通过证明对于某些固定的eps>0，NC-kRC很难近似到k^{eps}的因子内来补充这些上界。然后，我们转向研究一个更简单的版本的NC-kRC，其中只有一个源-汇对。我们给出了一个简单的双标准近似算法，这种情况下，并证明，即使是这个限制版本的问题可能很难近似。例如，我们证明了NC-kRC的单源-汇对版本没有常数因子近似，假设Feige的随机k-AND假设。
2011-12-16 cs.CC cs.DS
Hardness of approximation for ground state problems
Paderborn University（帕德博恩大学）
该研究针对量子CSP近似难解性问题，证明基态连通性问题近似为QCMA完全、基态纠缠估计近似为QCMA难解，还得到k-SAT重构问题近似的NP完全性。
2026-08-11 cs.CC quant-ph
Disordered Systems Insights on Computational Hardness
在这篇评论文章中，我们讨论了无序系统，相变的推理问题，和计算硬度的物理之间的联系。我们介绍了两个模型，尖峰张量模型和广义线性模型的玻璃态系统的行为。我们讨论这些问题的随机（非种植）版本作为原型优化问题，以及种植版本（具有隐藏的解决方案）作为统计推断和学习中的原型问题。基于物理学的思想，这些问题中的许多都有过渡，它们被认为是从简单（在多项式时间内可解）跳到困难（需要指数时间）。我们讨论了理论计算机科学和统计学中的几个新兴思想，这些思想通过证明大类算法在硬约束条件下失败，为硬约束提供了严格的证据。这包括重叠间隙属性，一种特定的聚类或动态聚类破坏的分类，它可以用来表明许多算法是局部的或对输入变化鲁棒的。我们还讨论了平方和层次结构，它对使用低次多项式的证明或算法（如标准谱方法和半定松弛，包括Sherrington-Kirkpatrick模型）进行了限制。在整个手稿中，我们提出了无序系统的物理学和相关的复本对称性破缺属性的连接。
2022-10-18 cond-mat.dis-nn cs.CC math.PR
Algebraic Global Gadgetry for Surjective Constraint Satisfaction
提出了一个代数框架，通过计算全局装置将经典 CSP 归约到满射 CSP，统一证明了包括断开割、无彩虹 3-着色及 2-元素结构在内的多项满射 CSP 难度结果。
2024-04-23 cs.CC
Is Planted Coloring Easier than Planted Clique?
我们研究了两个相关问题的计算复杂性：在$G(n,1/2)$中恢复种植的$q$ -着色，以及找到非$q$ -可着色性的有效可验证的证人（a.k.a.反驳）在$G(n,1/2)$中。我们的主要结果表明，这两个问题的限制，但功能强大的一类算法的基础上计算低次多项式的输入的硬度。恢复种植$q$ -着色的问题等价于恢复覆盖所有顶点的不相交的种植$q$集团--这是一个可能更容易的已被充分研究的种植集团问题的变体。我们的第一个结果表明，这种变体与低次多项式计算模型中的原始种植集团问题一样困难：每个集团需要具有大小$k \gg \sqrt{n}$才能进行有效恢复。对于相关的变种，其中集团覆盖的顶点的$(1-ε)$分数，我们还显示硬度减少种植集团。我们的第二个结果表明，反驳$q$-$G(n,1/2)$的可着色性是很难的低次多项式模型时，$q \gg n^{2/3}$，但很容易时，$q \lesssim n^{1/2}$，我们离开关闭这个差距，为今后的工作。我们的证明是更微妙的种植集团比类似的结果，并涉及到构建一个非标准分布在$q$ -着色图。我们注意到，虽然与几个以前的作品，这是第一个明确制定反驳问题的低次多项式模型的工作。我们的主要结果的证明涉及到一个适当构造的分布对之间的假设检验的硬度低。对于反驳，我们展示了这种方法的完备性：在低度模型中，反驳任务与最难的关联测试问题一样难，即，证明反驳的困难性…
2023-03-01 cs.CC cs.DS
Fine-Grained Complexity for Quantum Problems from Size-Preserving Circuit-to-Hamiltonian Constructions
Rice University（莱斯大学）；Nagoya University（名古屋大学）
本文证明了量子问题的细粒度复杂性下界，展示了经典和量子算法的改进，并提出了一种更高效的量子算法。
2026-08-10 cs.CC cs.DS quant-ph
Separating QMA from QCMA with a classical oracle
Columbia University（哥伦比亚大学）；Saarland University（萨尔兰大学）；Harvard University（哈佛大学）；University of Washington（华盛顿大学）；Stanford University（斯坦福大学）；NTT Research, Inc（NTT研究所）
通过构造经典 oracle，证明 QMA 在相对化设置下严格大于 QCMA，利用玻色子视角压缩问题以证明采样难度。
2026-01-17 cs.CC quant-ph
Quantum Worst-Case to Average-Case Reduction for Matrix-Vector Multiplication
本研究提出一种更高效、更简单的量子最坏情况到平均情况归约方法，用于矩阵向量乘法问题，改善了对成功概率的依赖性，为量子细粒度复杂性研究奠定基础。
2025-10-17 cs.CC cs.DS quant-ph
On the Hardness of Approximation of the Fair k-Center Problem
Department of Computer Science, Aalto University, Finland（计算机科学系，阿alto大学，芬兰）
本文证明了公平k-中心问题在假设P≠NP下无法达到比3因子更好的近似，揭示了该问题的近似难度上限。
2026-02-21 cs.CC cs.DS cs.LG
Counting Small Induced Subgraphs: Hardness of Symmetry-Based Properties
University of Regensburg（雷根斯堡大学）；IT University of Copenhagen（哥本哈根信息技术大学）
本文证明计数无平凡自同构的k顶点诱导子图是#W[1]-难的，通过构造“团脚手架”从k-团问题归约，并推广到任意有限群Q。
2026-09-23 cs.CC
Almost-Polynomial Ratio Almost-ETH-Hardness of Approximating Densest $k$-Subgraph
本研究针对稠密k子图（D$k$S）问题，提出近指数时间假设（Almost-ETH），并基于该假设证明不存在多项式时间算法能以近多项式比近似该问题，且结果具有完美完备性。
2026-10-28 cs.CC
Better Hardness Results for the Minimum Spanning Tree Congestion Problem
本文研究最小生成树拥塞问题的判定版本，通过证明 K-STC 在 K≥5 时 NP-完全，将未决情形缩小至 K=4，并进一步在半径2图及二部图上给出新的困难性与可解性结果。
2023-07-10 cs.CC
Explicit Proofs and The Flip
本文描述了几何复杂性理论（GCT）解决$P$与$NP$及相关问题中的{ \em自指悖论}的形式化策略.这个策略称为{ \em翻转}，就是对这些问题进行{ \em显式证明}。通过显式证明，我们指的是构造易于验证、构造和解码的硬度证明证书的证明。本文的主要结果是：（1）$P$对$NP$猜想的算术蕴涵的任何证明都接近于一个显式证明，在这个意义上，它可以通过证明算术电路恒等式测试可以以黑盒方式去随机化而转化为一个显式证明，（2）这些算术困难和去随机化结构的更强形式一起意味着代数几何中一个令人生畏的显式构造问题的多项式时间算法。这也许可以解释为什么这些表面上看起来如此初级的知识，结果却如此困难。
2010-09-01 cs.CC
