Kurdyka-Lojasiewicz-Simon inequality for gradient flows in metric spaces
本文致力于在熵和度量意义下研究度量空间中梯度流的平衡趋势，建立梯度流的衰减率和有限灭绝时间，以及刻画Lyapunov稳定平衡点，提供新的工具和方法.此外，我们概述了著名的熵熵生产不等式中使用的动力学理论是小于一个整体Kurdyka-Lojasiewicz-Simon不等式。这将两个不同的领域，即代数几何与动力学理论。作为本文中开发的工具的应用，我们得到了以下结果：-新的上界的消亡时的梯度流与总变流。- 如果度量空间是p-Wasserstein空间，则新的HWI-，Talagrand-，和对数Sobolev不等式得到与非线性扩散问题建模漂移，潜在的和相互作用现象的泛函。- 结果表明，这些不等式等价于Kurdyka-Lojasiewicz-Simon不等式，因此，它们意味着具有衰减率或在有限时间内到达的梯度流趋于平衡.
2019-01-24 math.AP
On the uniqueness of nondegenerate blowups for the motion by curvature of networks
本文证明了平面网络曲率运动的非退化紧爆破的唯一性。证明遵循“Lojasiewicz-Simon不等式极小网络：稳定性和收敛性”中关于长度泛函的临界点的稳定性研究的思想，并基于Lojasiewicz-Simon梯度不等式的应用.
2022-12-06 math.AP math.DG
Lojasiewicz inequalities for almost harmonic maps near simple bubble trees
本文针对正亏格曲面到一般解析目标流形、接近简单气泡树的调和映射，证明了Lojasiewicz不等式，并据此获得调和映射流收敛性与小能量调和映射能谱的新结果。
2025-07-07 math.AP math.DG
Lojasiewicz inequalities for maps of the 2-sphere
University of Wisconsin, Madison（威斯康星大学麦迪逊分校）
本文证明了二维球面映射的 Lojasiewicz-Simon 不等式，并由此得到调和映射流弱解在远离奇异集处的多项式收敛性，关键工具是 Topping 排斥估计与气泡树归纳给出的能量密度多项式下界。
2026-10-12 math.AP math.DG
Lojasiewicz inequalities and applications
在实代数几何中，Lojasiewicz定理断言，任何具有聚点的解析函数的梯度流的积分曲线都有唯一的极限。Lojasiewicz证明了这一结果在20世纪60年代初的后果，他的梯度不等式。变分学中的许多问题都是关于无穷维泛函的临界点或梯度流线的问题。也许令人惊讶的是，甚至许多非线性偏微分方程在奇点处的爆破，在某种意义上，可以被认为是解析泛函的无穷维梯度流的极限。因此，爆破的唯一性问题可以作为Lojasiewicz定理的无限维版本来处理。爆破的唯一性问题也许是关于奇点的最基本的问题。这种方法的独特性是开创了莱昂西蒙30年前的面积功能和许多相关的功能使用一个精心减少到一个有限的维度设置Lojasiewicz的论点适用。最近，作者证明了两个新的无限维Lojasiewicz不等式在非紧奇点，这是众所周知的，减少Lojasiewicz的参数是不可能的，而是需要全新的技术。因此，作者解决了一个主要的长期悬而未决的问题的唯一性爆破的中曲率流在所有一般的奇点和平均凸中曲率流在所有奇点。利用这一点，作者得到了具有一般奇点的MCF时空奇异集的一个比较完整的描述。特别地，$\bf{R}^{n+1}$中的MCF的奇异集只具有一般奇异性，并且包含在维数至多为$n-1$的多个紧致Lipschitz子流形中，以及维数至多为$n-2$的一个集合中。
2015-02-25 math.AG math.AP math.DG
Topping's conjecture for solutions of harmonic map flow with isolated bubbles
本文通过建立加权Lojasiewicz-Simon不等式，证明了调和映射流在仅形成孤立气泡的有限时间奇点情形下的体映射连续性的Topping猜想。
2026-10-12 math.AP math.DG
The volume-preserving Willmore flow
我们考虑$\mathbb{R}^3$中的闭曲面在保体积Willmore流的作用下演化，并证明了光滑解存在时间的一个下界.对于Willmore能量低于$8π$的球面初始曲面，通过适当的blow-up和证明一个约束Lojasiewicz-Simon不等式，我们证明了该曲面的长时间存在性和收敛性.
2023-01-28 math.AP math.DG
Existence and convergence of the length-preserving elastic flow of clamped curves
本文研究固定长度夹持曲线在弹性能量负$L^2$-梯度流下的演化，证明了解的存在性、抛物光滑化及长时间收敛到临界点。
2024-06-22 math.AP math.DG
The Łojasiewicz-Simon gradient inequality for open elastic curves
本文研究了欧几里得空间中开曲线在固支边界条件下的弹性能量，得到了关于这种能量泛函的Komojasiewicz-Simon梯度不等式.由于这个不等式，我们可以证明，一个（适当重新参数化）的解决方案，以相关的$L^2$梯度流收敛到一个弹性大的时间，即临界点的功能。
2016-04-26 math.AP
Łojasiewicz-Simon inequalities for minimal networks: stability and convergence
本文证明平面三重点网络的Łojasiewicz-Simon梯度不等式，并由此建立极小网络在曲率运动下的稳定性与平滑收敛性，同时构造了收敛到退化网络的实例。
2023-08-29 math.AP math.DG
Stability and convergence for the length-penalized elastic flow of curves with partial free boundary
本文利用 Lojasiewicz–Simon 不等式，证明边界点约束于平面 x 轴的长度惩罚弹性流具有渐近稳定性，并光滑收敛至 elastica。
2025-07-23 math.AP
Global existence and convergence of solutions to gradient systems and applications to Yang-Mills gradient flow
在这本专着中，我们开发的整体存在性和收敛性的解决方案，以抽象的梯度流在巴拿赫空间的势函数，服从Lojasiewicz-Simon梯度不等式。本文证明了任意维闭光滑黎曼流形上的Yang-Mills能量泛函的Lojasiewicz-Simon梯度不等式，并应用得到的框架证明了闭光滑黎曼流形上具有紧Lie结构群的主丛上的Yang-Mills能量泛函的梯度流方程的新结果，包括以下内容.如果初始联络足够接近Yang-Mills能量泛函的一个局部极小值，在范数意义下当基流形为任意维数时，或在能量意义下当基流形为四维时，则Yang-Mills梯度流存在于所有时间，并收敛于Yang-Mills联络.如果允许初始联络具有任意能量，但我们限制在紧致复厄米曲面（但不一定是Kaehler曲面）上厄米向量丛的设置，并且初始联络具有（1，1）型曲率，则杨-米尔斯梯度流始终存在，尽管当时间趋于无穷大时，在极限中可能（并且在某些情况下必须）出现气泡奇点。
2016-10-13 math-ph math.AP math.DG
Stability analysis for the anisotropic curve shortening flow of planar networks
该文研究三曲线平面网络的各向异性曲线缩短流，通过证明各向异性曲率能量满足Łojasiewicz-Simon梯度不等式，得出接近局部能量极小值的初始数据对应流全局存在且收敛于能量极小值的稳定性结论。
2023-10-09 math.AP math.DG
Asymptotic convergence of evolving hypersurfaces
若$ψ:M^n\to \mathbb{R}^{n+1}$是光滑浸入闭超曲面，我们考虑泛函$\mathcal{F}_m(ψ) = \int_M 1 + |\nabla^m ν|^2 \, dμ$，其中$ν$是沿$ψ$的局部单位法向量，$\nabla$是黎曼流形$(M,g)$的Levi-Civita联络，$g$是浸入引起的拉回度量，$μ$是相关的体积测度.我们证明了如果$m>\lfloor n/2 \rfloor$，那么$\mathcal{F}_m$的$L^2$ -梯度流的唯一全局定义的光滑解，对于每个初始超曲面，光滑地渐近收敛到$\mathcal{F}_m$的临界点，直到同构。证明是基于应用Lojasiewicz-Simon梯度不等式的功能$\mathcal{F}_m$。
2021-10-04 math.AP math.DG
Convergence of elastic flows of curves into manifolds
对于一个给定的$p\in[2,+\infty)$，我们定义的$p$ -弹性能量$\mathscr{E}$的封闭曲线$γ:\mathbb{S}^1\to M$沉浸在一个完整的黎曼流形$(M,g)$作为曲线的长度和$L^p$ -范数的曲率（相对于长度测量）。我们感兴趣的是$(L^p,L^{p'})$的收敛--这些能量向临界点的梯度流。通过抛物线估计，通常可以证明流的次收敛，即收敛到重新参数化的临界点，更重要的是，收敛到环境的等距。假设流是次收敛的，我们感兴趣的是证明流的光滑收敛性，即演化流的全极限的存在性。我们首先给出一个概述的一般策略，可以申请证明这样一个声明。关键的一步是Lojasiewicz-Simon梯度不等式的应用，我们提出了一个通用的版本。然后，我们将这种策略应用到流的$\mathscr{E}$的曲线到流形，证明所需的改善的次收敛到全光滑收敛的流的临界点。作为推论，我们得到了$p=2$流在欧氏空间$\mathbb{R}^n$、双曲平面$\mathbb{H}^2$和二维球面$\mathbb{S}^2$中的光滑收敛性.特别地，该结果意味着在任何时间，这种流在$\mathbb{R}^n$或$\mathbb{H}^2$保持在空间的有界区域中。
2021-09-06 math.AP math.DG math.FA
Convergence of Sobolev gradient trajectories to elastica
Tohoku University（东北大学）
本文研究$\n\bbr^n$闭曲线上修正弹性能的$H^2(ds)$梯度流，证明其存在唯一全局时间解，并借助Łojasiewicz–Simon梯度不等式确立了向弹性曲线的完全收敛性。
2023-01-27 math.AP math.DG
Global dynamics of a parabolic type equation arising from the curvature flow
研究一类带非局部项的退化抛物型方程\begin{equation*} \begin{cases} u_t=u^p(u_{xx}+u-\bar{u}) & 0<t<T_{\max},\ 0<x<a, u_x(0,t)=u_x(a,t)=0 & 0<t<T_{\max}, u(x,0)=u_0(x) & 0<x<a, \end{cases} \end{equation*}，其中$p>1$，$a>0$ .本文基于能量泛函和所有非负定态的显式表达式，对有限时间爆破/整体存在现象进行了分类.此外，我们结合Lojasiewicz-Simon不等式和能量估计的应用，得到了任何具有正初值的有界解都收敛到某一稳态的结论，即$t\rightarrow +\infty$ .
2021-06-05 math.AP
Crystalline elastic flow of polygonal curves: long time behaviour and convergence to stationary solutions
本文研究多边形曲线的晶体弹性流，证明其唯一性、可有限次重启以全局演化，并利用Lojasiewicz-Simon不等式证明收敛到稳态解，且给出方形各向异性下稳态解的分类。
2025-06-18 math.AP math.CA
Energy gap for Yang-Mills connections, II: Arbitrary closed Riemannian manifolds
在[arXiv：1412.4114]的这个续篇中，我们证明了主$G$ -丛$P$上的Yang-Mills联络的$L^{d/2}$能隙结果，它是任意的，闭的，黎曼的，维数为$d\geq 2$的光滑流形。我们应用我们的Lojasiewicz-Simon梯度不等式[arXiv：1409.1525，arXiv：1510.03815]以去除先前$L^{d/2}$中的Ricci和黎曼曲率的组合上的正性约束-由于Ger哈特（2010）和之前的$L^\infty$ -能隙结果，由于Bourguignon，Lawson和Simons（1981，1979），以及由于Nakajima的$L^2$ -能隙结果（1987）对于球面上的Yang-Mills联络，$S^d$，但具有任意的黎曼度量。这个版本中的主要更正涉及到将Uhlenbeck（1985）的推论4.3和作者在http://dx.doi.org/10.1016/j.aim.2017.03.023上发表的定理5.1的作用替换为作者在arXiv：1906.03954中的定理1和9的作用。
2019-07-14 math-ph math.AP math.DG
Existence and convergence of the area-constrained elastic flow
Institute for Applied Mathematics, University of Bonn（波恩大学应用数学研究所）
研究平面闭曲线在固定面积下沿弹性能负L2梯度流的演化，证明光滑初值下局部和整体存在性，并利用Łojasiewicz-Simon不等式得到收敛到临界点，同时分析能量轮廓曲线揭示长度发散条件。
2026-06-29 math.AP math.DG
The Willmore flow of Hopf-tori in the $3$-sphere
Technion, Israel Institute of Technology（以色列理工学院）
本文研究了3球面上Hopf环的Willmore流，证明了流线在全局范围内存在并收敛到共形变换的Clifford环。
2023-05-26 math.AP
