The Metric $k$-median problem over a metric space $(\mathcal{X}, d)$ is defined as follows: given a set $L \subseteq \mathcal{X}$ of facility locations and a set $C \subseteq \mathcal{X}$ of clients, open a set $F \subseteq L$ of $k$ facilities such that the total service cost, defined as $Φ(F, C) \equiv \sum_{x \in C} \min_{f \in F} d(x, f)$, is minimised. The metric $k$-means problem is defined similarly using squared distances. In many applications there are additional constraints that any solution needs to satisfy. This gives rise to different constrained versions of the problem such as $r$-gather, fault-tolerant, outlier $k$-means/$k$-median problem. Surprisingly, for many of these constrained problems, no constant-approximation algorithm is known. We give FPT algorithms with constant approximation guarantee for a range of constrained $k$-median/means problems. For some of the constrained problems, ours is the first constant factor approximation algorithm whereas for others, we improve or match the approximation guarantee of previous works. We work within the unified framework of Ding and Xu that allows us to simultaneously obtain algorithms for a range of constrained problems. In particular, we obtain a $(3+\varepsilon)$-approximation and $(9+\varepsilon)$-approximation for the constrained versions of the $k$-median and $k$-means problem respectively in FPT time. In many practical settings of the $k$-median/means problem, one is allowed to open a facility at any client location, i.e., $C \subseteq L$. For this special case, our algorithm gives a $(2+\varepsilon)$-approximation and $(4+\varepsilon)$-approximation for the constrained versions of $k$-median and $k$-means problem respectively in FPT time. Since our algorithm is based on simple sampling technique, it can also be converted to a constant-pass log-space streaming algorithm.
Streaming algorithms for computing coresets and $k$-median clustering in the Hamming space
CNRS & DIENS, École normale supérieure de Paris, PSL Research University（法国国家科学研究中心与信息与电子工程研究所，巴黎高等师范学院，巴黎文理研究大学）；Department of Mathematics and Computer Science (IMADA), University of Southern Denmark（南丹麦大学数学与计算机科学系（IMADA））
Polynomial Time Approximation Schemes for Clustering in Low Highway Dimension Graphs
我们研究聚类问题，如k-Median，k-Means，和设施位置的低维公路图，这是一个图形参数建模的交通网络。之前已经证明了这些问题的近似方案存在，它们可以在准多项式时间内运行（假设高速公路维度恒定）[Feldmann et al. SICOMP 2018]，也可以在FPT时间内运行（通过聚类数$k$、高速公路维度和近似因子进行参数化）[Becker et al. ESA~2018，Braverman et al. 2020]。在本文中，我们表明，多项式时间近似方案（PTAS）存在（假设恒定的公路尺寸）。我们还表明，所考虑的问题是NP-困难的公路维数为1的图。
A Generalized Approximation Framework for Fractional Network Flow and Packing Problems
本文将Garg和Koenemann的分式包装框架推广到多面体锥上的线性分式包装问题。更确切地说，我们提供了近似算法的问题的形式$\max\{c^T x : Ax \leq b, x \in C \}$，其中矩阵$A$不包含负的条目和$C$是一个锥，是由一个有限的集$S$的非负向量。虽然锥可以要求指数大小的表示，但我们假设可以通过三种类型的预言机之一来访问它。对于这些预言，我们提出了积极的结果，包装问题的近似性。与其他框架相比，所提出的框架允许使用任意线性目标函数，并可以应用于一个大类的包装问题，没有太多的努力。特别是，我们的框架立即允许导出快速和简单的完全多项式时间近似算法（FPTAS）的一个大的网络流问题，如传统的网络流，多商品流，或广义流量的约束版本。其中一些FPTAS代表了同类中的第一个，而另一些则与现有结果相匹配，但提供了更简单的证明。
Tight Running Time Lower Bounds for Strong Inapproximability of Maximum $k$-Coverage, Unique Set Cover and Related Problems (via $t$-Wise Agreement Testing Theorem)
Constant-Factor Approximations for Doubly Constrained Fair k-Center, k-Median and k-Means
Department of Informatics, University of Cologne, Germany（科隆大学信息学院，德国）；Heinrich Heine University Düsseldorf, Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Germany（杜伊斯堡-艾森大学数学与自然科学学院，德国）；Department of Informatics, University of Bonn, Germany（波恩大学信息学院，德国）
Exact Algorithms and Lower Bounds for Forming Coalitions of Constrained Maximum Size
Department of Theoretical Computer Science, Faculty of Information Technology（理论计算机科学系）；Université Clermont Auvergne, CNRS, Clermont Auvergne INP, Mines Saint-Étienne, LIMOS（克莱蒙特-奥弗涅大学）；G-SCOP, Grenoble-INP（格勒诺布尔INP）；Computer Science Institute, Faculty of Mathematics and Physics（数学与物理系计算机科学研究所）
Parameterized Approximation for Robust Clustering in Discrete Geometric Spaces
University of Wrocław（弗罗茨瓦夫大学）；IDSIA（IDSIA研究所）；USI-SUPSI（瑞士意大利语区大学与瑞士应用科技大学联合机构）；Aalto University（阿尔托大学）；Bar-Ilan University（巴伊兰大学）；University of Regina（里贾纳大学）；CISPA Helmholtz Center for Information Security（CISPA亥姆霍兹信息安全中心）；University of Bergen（卑尔根大学）；University of Liverpool（利物浦大学）
Clustering under Constraints: Efficient Parameterized Approximation Schemes
Indian Institute of Technology Bombay（孟买印度理工学院）；CISPA Helmholtz Center for Information Security（CISPA赫尔姆霍兹信息安全中心）；Indian Institute of Technology Jodhpur（焦特普尔印度理工学院）
On Coresets for Fair Clustering in Metric and Euclidean Spaces and Their Applications
University of Bergen（卑尔根大学）
公平聚类是聚类的一种受约束的变体，其目标是划分一组彩色点，使得每个聚类中任何颜色的点的分数或多或少等于数据集中该颜色的点的分数。这种变体最近由Chierichetti等人[NeurIPS，2017]在一项开创性的工作中引入，并在聚类文献中广泛流行。在本文中，我们提出了一种新的构造的核心集的公平聚类的基础上随机抽样。新的结构使我们能够获得第一个coreset公平聚类一般度量空间。对于欧氏空间，我们得到了第一个其大小不指数依赖于维数的coreset。我们的coreset结果解决了Schmidt et al. [WAOA，2019]和Huang et al. [NeurIPS，2019]提出的开放问题。新的coreset结构有助于设计几个新的近似和流算法。特别地，我们得到了第一个度量公平聚类的真常数-近似算法，其运行时间是固定参数可处理的（FPT）。在欧几里德的情况下，我们推导出第一个$(1+ε)$ -近似算法的公平聚类的时间复杂度是近线性的，并不依赖于空间的维数指数。此外，我们的核心集建设计划是相当普遍的，并产生了广泛的约束聚类问题的核心集。这导致这些问题在一般度量和近线性时间$(1+ε)$ -近似的欧几里德度量的改进常数近似。
