Decoding up to 4 errors in Hyperbolic-like Abelian Codes by the Sakata Algorithm

关于两个连续整数生成的半群和改进的Hermitian码

On Semigroups Generated by Two Consecutive Integers and Improved Hermitian Codes

通过对一点码的Berlekamp-Massey-Sakata译码算法的分析，提出了两种提高码速率的方法。Feng和Rao提出的一种方法是删除奇偶检验，而这些校验可以通过他们的多数表决算法恢复。第二种方法是将代码设计为仅校正给定权重的几何通用的那些误差向量。在这项工作中，公式给出的厄米特码的冗余优化这些标准以及公式的顺序上的最小距离的限制。结果从分析两个连续整数生成的数值半群。最优厄米特码的冗余度公式纠正了给定数量的错误，回答了Pellikaan和Torres在1999年提出的一个开放性问题。

Golden codes: quantum LDPC codes built from regular tessellations of hyperbolic 4-manifolds

We adapt a construction of Guth and Lubotzky [arXiv:1310.5555] to obtain a family of quantum LDPC codes with non-vanishing rate and minimum distance scaling like $n^{0.1}$ where $n$ is the number of physical qubits. Similarly as in [arXiv:1310.5555], our homological code family stems from hyperbolic 4-manifolds equipped with tessellations. The main novelty of this work is that we consider a regular tessellation consisting of hypercubes. We exploit this strong local structure to design and analyze an efficient decoding algorithm.

构造差错控制码的序域的泛在性

The Ubiquity of Order Domains for the Construction of Error Control Codes

序域是一类由Høholdt、van Lint和Pellikaan引入的交换环，用于简化差错控制码的理论，并使用代数几何的思想。该定义主要是由Berlekamp-Massey-Sakata（BMS）解码算法中使用的结构激发的，其中Feng-Rao多数投票用于未知的伴随式，应用于从曲线构造的单点几何Goppa码。然而，序域是更一般的，和O 'Sullivan已经表明，BMS算法可以适用于解码所有的代码构造从序域的一个适当的推广戈帕的程序曲线。本文首先讨论有限域上函数域的序域与赋值之间的关系。在适当的条件下，我们将看到有限域上的一般射影簇具有射影模型，可以用来构造序域和Goppa型码，BMS算法适用于Goppa型码.然后，我们将给出一个稍微不同的解释盖尔和Pellikaan的外在表征秩序域通过理论的Gröbner基地，并表明他们的结果是有关的存在环面变形的品种。为了说明这些意见的潜在用途，我们提出了一系列新的明确的例子，序域与品种有许多有理点在有限域：埃尔米特超曲面，格拉斯曼，旗品种。

球面与双曲环面拓扑基于图嵌入的Ising MRF模型编码：经典与量子拓扑机器学习

Spherical and Hyperbolic Toric Topology-Based Codes On Graph Embedding for Ising MRF Models: Classical and Quantum Topology Machine Learning

本文利用信息几何和纠错码（如LDPC码）的奇偶校验矩阵，在环面和球面拓扑上描述Ising模型基态，建立机器学习与编码的联系，并揭示DNN架构与LDPC码的等价性及QAOA与置信传播的类比，推动多领域发展。

Toward a Union-Find decoder for quantum LDPC codes

Quantum LDPC codes are a promising direction for low overhead quantum computing. In this paper, we propose a generalization of the Union-Find decoder as adecoder for quantum LDPC codes. We prove that this decoder corrects all errors with weight up to An^α for some A, α > 0 for different classes of quantum LDPC codes such as toric codes and hyperbolic codes in any dimension D \geq 3 and quantum expander codes. To prove this result, we introduce a notion of covering radius which measures the spread of an error from its syndrome. We believe this notion could find application beyond the decoding p…