代数超群的Jacobson-Morozov引理
Jacobson-Morozov Lemma for Algebraic Supergroups
AI总结：
本文通过半简化理论定义了超群的对称单向量functor，并证明了代数超群的Jacobson-Morozov引理的类比，给出了奇nilpotent元素的嵌入条件。
摘要：
给定一个拟可约的代数超群G，我们利用对称单向量范畴的半简化理论，定义了一个与任一元素x∈Lie(G)_{\ar 1}相关的对称单向量 functor Φ_x: Rep(G)→Rep(OSp(1|2))。对于 nilpotent 元素x，我们展示该functor Φ_x 可以利用与x相关的Deligne滤波来定义。我们使用这种方法证明了对于代数超群的Jacobson-Morozov引理的类比。即，我们给出了一个关于奇 nilpotent 元素x∈Lie(G)_{\ar 1}的必要且充分条件，使得x定义了一个超群嵌入OSp(1|2)→G，使得x位于对应的李代数同态的像中。
英文摘要：
Given a quasi-reductive algebraic supergroup $G$, we use the theory of semisimplifications of symmetric monoidal categories to define a symmetric monoidal functor $Φ_x: Rep(G) \to Rep(OSp(1|2))$ associated to any given element $x \in \mathrm{Lie}(G)_{\bar 1}$. For nilpotent elements $x$, we show that the functor $Φ_x$ can be defined using the Deligne filtration associated to $x$. We use this approach to prove an analogue of the Jacobson-Morozov Lemma for algebraic supergroups. Namely, we give a necessary and sufficient condition on odd nilpotent elements $x\in \mathrm{Lie}(G)_{\bar 1}$ which define an embedding of supergroups $OSp(1|2)\to G$ so that $x$ lies in the image of the corresponding Lie algebra homomorphism.
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