Weierstrass型函数的二分法
A Dichotomy for the Weierstrass-type functions
摘要：
对于实解析周期函数$ϕ:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$、整数$b\ge 2$和$λ\in (1/b,1)$，我们证明了Weierstrass型函数$W(x)=\sum\limits_{n\ge 0}{λ^nϕ(b^nx)}$的如下二分法：要么$W(x)$是实解析的，要么它的图的豪斯多夫维数等于$2+\log_bλ$ .此外，给定$b$和$ϕ$，除非$ϕ$是常数，否则前一种选择仅发生于多个$λ$。
英文摘要：
For a real analytic periodic function $ϕ:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, an integer $b\ge 2$ and $λ\in (1/b,1)$, we prove the following dichotomy for the Weierstrass-type function $W(x)=\sum\limits_{n\ge 0}{λ^nϕ(b^nx)}$: Either $W(x)$ is real analytic, or the Hausdorff dimension of its graph is equal to $2+\log_bλ$. Furthermore, given $b$ and $ϕ$, the former alternative only happens for finitely many $λ$ unless $ϕ$ is constant.
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