Max-Min Bilinear Completely Positive Programs: A Semidefinite Relaxation with Tightness Guarantees
Lee Kong Chian School of Business, Singapore Management University（新加坡管理大学李光前商学院）；Department of Mathematics, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学数学系）；Institute for Research and Continuing Education, Hong Kong Baptist University（香港浸会大学持续教育学院）；Department of Applied Mathematics, The Hong Kong Polytechnic University（香港理工大学应用数学系）
本文提出了一种针对最大-最小双线性完全正规划问题的半定松弛方法，通过紧性保证解决混合二进制二次最大-最小问题，并应用于循环Colonel Blotto游戏。
2026-02-16 math.OC
Certifying Global Optimality of Graph Cuts via Semidefinite Relaxation: A Performance Guarantee for Spectral Clustering
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）；University of California at Davis（加州大学戴维斯分校）
谱聚类已经成为一种最广泛使用的聚类技术，当单个聚类的结构是非凸的或高度各向异性的。然而，尽管它的巨大的普及，存在相当少的理论性能保证谱聚类。这个问题部分是由于谱聚类通常涉及两个步骤，这使得其理论分析变得复杂：首先，使用关联图Laplacian的特征向量来嵌入数据集，其次，将k-means聚类算法应用于嵌入的数据集以获得标签。本文介绍了谱聚类和图割的理论基础。我们考虑一个凸松弛的图割，即比率割和归一化割，这使得通常的两步谱聚类方法过时，并在同一时间产生了严格的理论分析图割和谱聚类。我们通过一个谱邻近条件，自然地依赖于每个集群的代数连接和集群间的连接，成功的谱聚类的确定性界限。此外，我们通过一些流行的例子证明，我们的界限可以达到近最优。我们的研究结果也是核k-means的理论理解的基础。数值模拟证实并补充了我们的分析。
2019-04-14 cs.IT cs.LG math.IT
Towards Understanding The Semidefinite Relaxations of Truncated Least-Squares in Robust Rotation Search
Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
旋转搜索问题旨在找到最佳对齐给定数量的点对的3D旋转。为了诱导旋转搜索对离群值的鲁棒性，先前的工作考虑截断最小二乘（TLS），这是一个非凸优化问题，其半定松弛（SDR）作为一个易处理的替代方案。在噪声、异常值或两者同时存在的情况下，该SDR理论上是否是紧的，在很大程度上尚未探索。我们推导出的条件，该SDR的紧密性的特征，表明紧密性取决于噪声水平，TLS的截断参数，和离群值分布（随机或集群）。特别是，我们给出了一个简短的证明，在无噪声和离群值的情况下的紧密性，而不是以前的工作的冗长的分析。
2022-07-20 cs.CV math.OC
Radial-type error bounds for semidefinite feasibility problems without strict feasibility: qualitative estimates and asymptotic tightness
Keio University（庆应义塾大学）；University of New South Wales（新南威尔士大学）；The Institute of Statistical Mathematics（统计数学研究所）
本文针对无严格可行性的半定可行性问题，构建了推导径向型Hölder误差界的系统框架，补充了Sturm的经典结果，还将其应用于半定规划最优性系统并验证了渐近紧性。
2026-08-31 math.OC
Certifying solutions of degenerate semidefinite programs
针对半定规划可行性认证问题，提出无需有理可行解假设的混合符号-数值方法，通过构造多项式方程组保证孤立正确解，实验表明优于纯符号方法。
2025-04-25 cs.SC math.AG math.OC
Tightness and Equivalence of Semidefinite Relaxations for MIMO Detection
多输入多输出（MIMO）检测问题是现代数字通信中的一个基本问题，它是从衰落MIMO信道的噪声输出中检测出发送符号的向量。最大似然检测器可以用公式表示为离散变量的复杂最小二乘问题，这在一般情况下是NP难的。文献中提出了各种半定松弛（SDR）方法来解决这个问题，由于其多项式时间的最坏情况下的复杂度和良好的检测差错率性能。在本文中，我们考虑两个流行的类SDR为基础的检测器和研究的条件下，SDR是紧和不同的SDR模型之间的关系。对于Lu等人最近提出的增强型复和实SDR，我们改进了他们的分析，得到了复SDR紧的充要条件和实SDR紧的必要条件。与此相反，我们还证明了Mobasher等人提出的另一个SDR在温和的条件下不是紧的。此外，我们建立了一个一般性的定理，表明两个子集之间的等价性正半定矩阵在不同的维度，利用一个特殊的“可分”结构的约束。我们的定理恢复了两个现有的等价性结果的SDR定义在不同的设置，并有可能找到其他的应用程序，由于其一般性。
2021-02-09 cs.IT eess.SP math.IT
On Semidefinite Relaxations for Matrix-Weighted State-Estimation Problems in Robotics
University of Toronto（多伦多大学）；University of Toronto Robotics Institute（多伦多大学机器人研究所）；Inria（法国国家信息与自动化研究所）；École Normale Supérieure（巴黎高等师范学院）；PSL University（巴黎文理大学）
本文研究机器人矩阵加权状态估计的半定松弛紧致性，揭示矩阵权重导致松弛失去紧致性，提出用冗余约束恢复，并给出替代SLAM表述。
2025-01-20 cs.RO math.OC
Certifying Convergence of Lasserre's Hierarchy via Flat Truncation
本文研究求解多元多项式优化问题的Lasserre半定规划松弛族的收敛性证明。为此，我们建议将平面截断作为一般证书。假设全局极小点集非空且有限。我们的主要结果是：i）Putinar型Lasserre族有有限收敛当且仅当平坦截断成立，在某些一般假设下，这对Schmudgen型族也成立; ii）在阿基米德条件下，Putinar型Lasserre族渐近满足平坦截断，Schmudgen型族也是如此; iii）对于Jacobian SDP松弛族，平坦截断总是满足.无约束多项式优化的情况下进行了讨论。
2012-08-06 math.OC
Efficient Global Robustness Certification of Neural Networks via Interleaving Twin-Network Encoding
Northwestern University（西北大学）；University of Liverpool（利物浦大学）
深度神经网络的鲁棒性最近受到了极大的关注，特别是当被部署在安全关键系统中时，因为分析模型输出在输入扰动下的敏感程度是很重要的。虽然大多数以前的工作集中在输入样本周围的局部鲁棒性，全局鲁棒性的研究，限制在整个输入空间的扰动下的最大输出变化，仍然缺乏。在这项工作中，我们将具有ReLU激活函数的神经网络的全局鲁棒性认证公式化为混合整数线性规划（MILP）问题，并提出了一种有效的方法来解决它。我们的方法包括一种新的交织双网络编码方案，其中神经网络的两个副本并排编码，并在它们之间添加额外的交织依赖关系，以及利用松弛和细化技术来降低复杂度的过近似算法。实验证明了我们的工作的时间效率相比，以前的全球鲁棒性认证方法和我们的过近似的紧密性。闭环控制安全验证的案例研究进行，并证明了我们的方法的重要性和实用性，在安全关键系统中的神经网络的全局鲁棒性。
2022-03-26 cs.LG cs.RO cs.SY
Safety Verification and Robustness Analysis of Neural Networks via Quadratic Constraints and Semidefinite Programming
University of Pennsylvania（宾夕法尼亚大学）
证明神经网络对输入不确定性和对抗性攻击的安全性或鲁棒性是安全机器学习和控制领域的一个新兴挑战。为了提供这样的保证，当神经网络的输入在有界集内变化时，必须能够限制神经网络的输出。在本文中，我们提出了一个半定规划（SDP）框架来解决这个问题的前馈神经网络与一般的激活函数和输入不确定性集。我们的主要思想是抽象激活函数的各种属性（例如，单调性、有界斜率、有界值和跨层重复）与二次约束的形式主义。然后，我们分析了抽象网络的安全性通过S-过程和半定规划。我们的框架跨越保守性和计算效率之间的权衡，并适用于安全验证以外的问题。我们通过各种大小的数值问题实例来评估我们的方法的性能。
2021-09-15 cs.LG math.OC
On the tightness of SDP relaxations of QCQPs
二次约束二次规划（QCQP）是一类基本的最优化问题，通常被认为是NP难的。在本文中，我们研究的条件下，标准半定规划（SDP）松弛的QCQP是紧的。我们首先概述了一个一般的框架，证明这样的充分条件。然后使用这个框架，我们表明，SDP松弛是紧的，每当二次特征值的多重性，参数捕获量的对称性存在于一个给定的问题，是足够大的。我们提出了类似的充分条件，在此条件下，SDP的投影上图给出了原QCQP上图的凸包。我们的结果也意味着新的充分条件的紧密性（以及凸包精确性）的二阶锥规划松弛的同时可对角化QCQP。
2020-11-13 math.OC
LinSyn: Synthesizing Tight Linear Bounds for Arbitrary Neural Network Activation Functions
University of Southern California（南加利福尼亚大学）
验证神经网络鲁棒性的最可扩展方法取决于计算网络激活函数的合理线性上下界。目前的方法是有限的，因为线性边界必须由专家手工制作，并且可能是次优的，特别是当网络的架构使用例如LSTM中的乘法和最近流行的Swish激活来组成操作时。对专家的依赖阻止了鲁棒性认证应用于激活函数的最新发展，此外，缺乏紧密性保证可能会给人一种关于特定模型的不安全感。据我们所知，我们是第一个考虑自动计算任意n维激活函数的紧线性界的问题。我们提出了LinSyn，第一种方法，实现了任何任意激活函数的严格界限，同时只利用激活函数本身的数学定义。我们的方法利用一个有效的启发式方法来合成的界限是紧密的，通常声音，然后验证的合理性（并调整边界，如果必要的话）使用高度优化的分支和边界SMT求解器，dReal。尽管我们的方法依赖于SMT求解器，但我们表明，在实践中运行时间是合理的，并且与最先进的方法相比，我们的方法通常可以实现2- 5倍的最终输出边界和超过四倍的认证鲁棒性。
2022-01-31 cs.LG cs.LO cs.NA
Certifying polynomial nonnegativity via hyperbolic optimization
通过求解一类推广半定规划的凸优化问题--双曲优化问题，给出了一种证明多元多项式全局非负性的新方法。我们展示了如何从任何双曲多项式中产生非负多项式（我们称之为非负双曲证书）。我们调查的对$(n,d)$，其中有一个双曲多项式的程度$d$在$n$变量，使相关的双曲证书的非负性不是平方和。如果是$d\geq 4$，我们证明了每当$n\geq 4$。在三度的情况下，我们发现一个明确的双曲立方$43$变量，给出双曲证书，不是平方和。作为推论，我们得到了第一个已知的双曲三次函数，它的幂没有确定的行列式表示。我们的方法还允许我们表明，给定一个立方$p$，和一个方向$e$，决策问题“是$p$双曲线相对于$e$？“是co-NP难的。
2019-10-04 math.AG math.OC
Tight Semidefinite Relaxations for Verifying Robustness of Neural Networks
本文研究用于验证单层神经网络安全性的DeepSDP半定松弛的紧性条件，针对单神经元、椭球输入集和矩形输入集三种情形给出精确解条件，并将矩形输入集情形归结为单神经元情形。
2025-04-14 math.OC
On the tightness of an SDP relaxation for homogeneous QCQP with three real or four complex homogeneous constraints
本文研究具有三个实数或四个复数齐次约束的齐次QCQP问题，提出了一个基于SDP松弛及其对偶最优解对的充分必要检测条件，用于验证SDP松弛的紧性，并据此在多项式时间内求得全局最优解，同时推广了S-lemma和Yuan's lemma。
2023-04-09 math.OC
Regularization vs. Relaxation: A conic optimization perspective of statistical variable selection
Department of Mathematics, Washington State University（数学系，华盛顿州立大学）；Department of Statistics, University of Connecticut（统计系，康涅狄格大学）；Department of Industrial and Systems Engineering, University of Wisconsin-Madison（工业与系统工程系，威斯康星大学麦迪逊分校）
本文从锥优化视角探讨变量选择问题，证明MCP和反Huber惩罚函数可视为视角松弛的特例，并通过半定松弛解决，结合Goemans-Williamson方法获得近似解。
2015-10-20 cs.LG cs.NA math.NA
Solving Orthogonal Group Synchronization via Convex and Low-Rank Optimization: Tightness and Landscape Analysis
群同步的目的是从它们的噪声成对测量中恢复群元素。它在社区检测、时钟同步和联合对准问题中有着广泛的应用。本文主要研究了低温电磁学和计算机视觉中常用的正交群同步方法。然而，通过寻找最小二乘估计来检索组元素通常是NP困难的。本文首先研究了正交群同步的半定规划松弛及其紧性，即，SDP估计器完全等于最小二乘估计器。此外，我们调查的性能的Burer-Monteiro分解在解决SDP松弛通过分析其相应的优化景观。我们提供了确定性的充分条件，保证：（i）SDP松弛的紧密性;（ii）由Burer-Monteiro方法产生的优化景观是良性的，即，全局最优值恰好是最小二乘估计器，并且不存在其它伪局部最优值。我们的结果提供了一个坚实的理论证明，为什么Burer-Monteiro方法是非常有效的，有效的解决大规模的SDPs所产生的正交群同步。我们进行数值实验，以补充我们的理论分析，这为未来的研究方向提供了见解。
2020-06-01 cs.IT math.IT math.OC
Operator Splitting Performance Estimation: Tight contraction factors and optimal parameter selection
我们提出了一种方法，通过半定规划研究常见的分裂方法的性能。我们证明了紧密的方法，并展示其价值，提出两个应用it. First，我们使用的方法作为一种工具，计算机辅助证明，以证明严格的分析收缩因子道格拉斯-Rachford分裂，可能太复杂了，一个人找到赤手空拳。其次，我们使用的方法作为一种算法工具，计算选择最佳的分裂方法的参数，通过解决一系列的半定方案。
2020-04-30 math.OC
A Method for Quickly Bounding the Optimal Objective Value of an OPF Problem using a Semidefinite Relaxation and a Local Solution
最优潮流是电力系统运行中的一个重要问题。由于最优潮流问题的非凸性，可能存在多个局部最优解。证明获得整体解对于OPF问题的某些应用是重要的。许多全局优化技术计算最优性间隙，该最优性间隙将对应于来自局部解算法的可行点的可实现目标值与来自凸松弛技术的目标值界限进行比较。而不是传统的做法，完全分离的局部解和凸松弛计算，本文提出了一种方法，利用局部解的信息，使用半定规划（SDP）松弛的目标值界的计算速度。计算易处理性的改善伴随着所得客观值界的紧密性降低的权衡。数值实验说明了这种权衡，与所提出的方法是更快，但比SDP松弛和更慢，但更紧比二阶锥规划（SOCP）和二次凸（QC）松弛许多大型测试用例。
2019-06-14 math.OC
ECLipsE-Gen-Local: Efficient Compositional Local Lipschitz Estimates for Deep Neural Networks
本文提出ECLipsE-Gen-Local框架，通过局部信息提升深度神经网络的Lipschitz估计精度与效率，结合灵活的SDP方法和线性复杂度算法，实现快速且紧致的Lipschitz界。
2026-04-07 cs.LG
Order-2 Tightness of Block-Sparse SOS Relaxations for One-Layer ReLU Network Verification with a Matching Input-Sharing Graph
研究单层ReLU网络验证问题，通过输入共享图表示未确定ReLU的共享模式，在图为匹配且边满足正则秩一条件时，导出二阶块稀疏SOS松弛紧性的充分条件，扩展了无边情况的紧稀疏松弛结果。
2026-07-23 math.OC
Achieving SDP Tightness Through SOCP Relaxation with Cycle-Based SDP Feasibility Constraints for AC OPF
在本文中，我们表明，标准的半定规划（SDP）松弛变电流最优潮流（AC OPF）可以等效地重新制定为二阶锥规划（SOCP）松弛最大团和循环为基础的SDP可行性约束。该公式是基于半正定（PSD）矩阵完成定理，该定理指出，如果弦图中对应于最大团的所有子矩阵都是PSD，则与弦图相关的部分矩阵可以被完成为完整的PSD矩阵。文献[1]中已有的方法首先通过Cholesky分解构造弦图。在本文中，我们首先确定最大团和最小弦圈。强制执行与最大团和循环PSD相关的子矩阵将保证PSD全矩阵。此外，我们进行弦松弛的最小无弦周期，通过添加虚拟线和分解每个无弦周期的3节点周期。因此，整个图由树、最大团和3节点圈组成。与最大团和3节点圈相关的子矩阵被强制为PSD以实现完整的PSD矩阵。由于大多数电网的最大团的大小限制在4个节点，这种图分解方法的结果是一个低秩的全PSD矩阵。该方法大大减少了交流最优潮流的SDP松弛计算时间，可以处理数千个节点的电力系统。
2018-10-06 math.OC
Towards Optimal Branching of Linear and Semidefinite Relaxations for Neural Network Robustness Certification
Department of Mechanical Engineering, University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校机械工程系）；Department of Electrical Engineering and Computer Sciences, University of California, Berkeley（加州大学伯克利分校电气工程与计算机科学系）
针对 ReLU 网络 LP/SDP 鲁棒性认证的松弛误差，提出输入集分支划分方法及闭式最坏情况误差最小化方案，并通过实验验证其认证率与深度网络可扩展性。
2025-05-10 cs.LG math.OC
Denoising modulo samples: k-NN regression and tightness of SDP relaxation
许多现代应用涉及获取函数$f$的噪声模样本，其目标是恢复$f$的原始样本的估计。对于Lipschitz函数$f:[0,1]^d \to \mathbb{R}$，假设给定样本$y_i = (f(x_i) + η_i)\bmod 1; \quad i=1,\dots,n$，其中$η_i$表示噪声。假设$η_i$是零均值i.i.d高斯的，和$x_i$的形成一个均匀的网格，我们推导出一个两阶段的算法，恢复估计的样本$f(x_i)$与一个统一的错误率$O((\frac{\log n}{n})^{\frac{1}{d+2}})$保持高概率。第一阶段包括将点嵌入到单位复圆上，并通过$k$ NN（最近邻）估计器获得$f(x_i)\bmod 1$的去噪估计。第二阶段涉及一个顺序的解包过程，该过程将来自第一阶段的去噪模$1$估计解包。样本$f(x_i)$的估计随后可用于构造具有前述均匀误差率的函数$f$的估计。最近，Cucuringu和Tyagi提出了一种对模$1$数据进行去噪的替代方法，该方法与它们在单位复圆上的表示一起工作。他们制定了一个光滑正则化最小二乘问题的产品流形上的单位圆，其中的光滑度是衡量相对于拉普拉斯算子的接近图$G$涉及的$x_i$的。这是一个非凸二次约束二次规划（QCQP），因此他们提出了基于松弛的半定规划（SDP）求解。我们得到了充分的条件下，SDP是一个紧松弛的QCQP。因此，…
2021-05-02 math.OC math.ST stat.ML
A Unified View of SDP-based Neural Network Verification through Completely Positive Programming
Stanford University（斯坦福大学）；MIT（麻省理工学院）
确保神经网络的输入-输出关系符合规定的操作规范是将这些网络部署在安全关键应用中的关键推动因素。基于半定规划（SDP）的ReLU网络验证方法将这个问题转化为最优化问题，其中任何此类公式的准确性反映了神经网络计算如何表示的保真度水平，以及棘手约束的放松。虽然文献包含了在保持可处理性的同时改进SDP公式的紧密性的许多进展，但相对较少的工作致力于另一个极端，即，如何在SDP松弛之前最准确地捕获原始验证问题。在这项工作中，我们开发了一个精确的，凸的验证公式作为一个完全积极的程序（CPP），并提供分析表明，我们的公式是最小的-任何约束的去除从根本上歪曲了神经网络计算。我们利用我们的配方提供了一个统一的观点，现有的方法，并在某些情况下观察到的大弛豫间隙的来源给予洞察力。
2022-03-06 cs.LG math.OC
On Standard Quadratic Programs with Exact and Inexact Doubly Nonnegative Relaxations
最小化单位单纯形上的（非凸）二次型的问题，称为标准二次规划，承认在计算上难以处理的完全正矩阵的锥上的精确凸二次曲线公式。用双非负矩阵的更大但更易处理的锥来代替这个公式中的难处理的锥，即，半正定和分量非负矩阵的锥，得到所谓的双非负松弛，其最优值产生原问题的下界。我们提出了一个完整的代数表征的标准二次规划的实例，承认一个确切的双非负松弛集。这种特征化产生了构造这样一个实例的算法配方。此外，我们明确确定了三个家庭的情况下，双非负松弛是准确的。我们建立了一个例子的所谓凸性图和双非负松弛的紧性之间的几个关系。我们还提供了一个代数表征的双非负松弛有一个积极的差距，并展示了如何构建这样的一个实例，使用此特性的一组实例。
2020-02-28 math.OC
One Ring to Rule Them All: Certifiably Robust Geometric Perception with Outliers
Laboratory for Information and Decision Systems (LIDS)（信息与决策系统实验室（LIDS））；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
我们提出了第一个通用的和实用的框架来设计可验证的算法，用于在存在大量离群值的情况下进行鲁棒的几何感知。我们调查使用截断最小二乘（TLS）的费用函数，这是已知的离群值是强大的，但会导致硬，非凸，和非光滑最优化的问题。我们的第一个贡献是表明-对于广泛的一类几何感知问题- TLS估计可以重新表述为多项式环上的优化，并且Lasserre的凸矩松弛层次在最小松弛阶处经验上是紧的（即，可证明地获得非凸TLS问题的全局极小值）。我们的第二个贡献是利用结构稀疏的目标和约束多项式和杠杆基减少，显着减少的大小的半定程序（SDP）的时刻放松，而不损害其紧密性。我们的第三个贡献是从平方和（SOS）松弛的角度开发可扩展的对偶最优性证明器，它可以计算次优性差距，并可能证明任何候选解的全局最优性（例如，由快速算法（例如RANSAC或分级非凸性）返回）。我们的双证明器利用Douglas-Rachford分裂来解决凸可行性SDP。不同感知问题的数值实验，包括单次旋转平均，形状对齐，3D点云和网格配准，以及高完整性卫星姿态估计，证明了我们的放松，认证的正确性，以及所提出的双认证器的可扩展性，以解决大问题，超出了当前SDP求解器的范围。
2020-10-19 cs.CV cs.RO math.OC
Local-to-Global Exactness of SDP Relaxations for Sparse QCQPs
Chuo University（中央大学）；Ewha W. University（梨花女子大学）
研究稀疏二次约束二次规划（QCQP）的半定规划（SDP）松弛的精确性，通过弦扩展的团结构建立局部到全局的精确性验证框架。
2026-10-27 math.OC
Convergence Analysis of Nonconvex ADMM for Rigid Registration
我们考虑刚性配准的问题，我们希望通过刚性变换共同注册重点集。这在传感器网络定位、多视图注册和蛋白质结构确定等应用中出现。这个问题的最小二乘估计可以归结为一个秩约束半定规划（REG-SDP）。最近表明，通过正式应用乘子的交替方向法（ADMM），我们可以推导出REG-SDP的迭代求解器（REG-ADMM），其中每个子问题都有一个简单的封闭形式的解决方案。REG-ADMM在多视图配准方面的经验成功已得到证实。然而，它的收敛性并不遵循现有文献的非凸ADMM。在这项工作中，我们研究了REG-ADMM的收敛性，我们的主要发现如下。我们证明了REG-ADMM的任何不动点都是REG-SDP的平稳（KKT）点。此外，对于干净的测量，我们给出了一个明确的公式ADMM参数$ρ$，REG-ADMM是保证收敛到全局最优值（与任意初始化）。如果噪声很低，我们仍然可以证明迭代收敛到全局最优值，只要它们被初始化得足够接近最优值。另一方面，如果噪声是高的，我们解释了为什么REG-ADMM变得不稳定，如果$ρ$是小于一些阈值，不管初始化。我们目前的模拟结果来支持我们的理论预测。我们的分析的新颖之处在于，我们利用凸松弛的紧度的概念来达到我们的收敛结果。
2019-07-17 math.OC
Comparative Evaluation of SDP, SOCP, and QC Convex Relaxations for Large-Scale Market-Based AC Optimal Power Flow
Technical University of Munich（慕尼黑工业大学）
本文比较了SDP、SOCP和QC松弛在大规模市场导向ACOPF中的性能，通过统一框架评估了不同松弛方法的求解质量、运行时间和内存消耗，为选择合适松弛方法提供了指导。
2026-02-15 math.OC
A Tight SDP Relaxation for MIQCQP Problems in Power Systems Based on Disjunctive Programming
考虑交流潮流约束和整数决策变量的最优化问题通常可以归结为一个混合整数二次约束二次规划（MIQCQP）问题。在本文中，首先，一组有效的线性等式，以加强半定规划（SDP）松弛的MIQCQP问题，而不显着增加问题的维数，使增强的混合整数SDP（MISDP）松弛，这是一个混合整数凸问题，得到。然后，增强的MISDP松弛被重新表述为一个析取规划（DP）问题，这是比前一个更紧，因为析取的目的是捕捉的析取性质的秩-1约束的条款的积分变量。然后将DP松弛等价地转化为MISDP问题，其连续松弛的可行集是DP问题可行域的凸包。最后，全局最优解的DP问题，这是最严格的放松MIQCQP的文件中提出的解决所产生的MISDP问题使用分支定界（B&B）算法。B&B算法的计算效率被期望是高的，因为MISDP子问题的连续松弛的可行集是对应DP子问题的可行集的凸包。为了进一步降低MISDP问题的维数，考虑到稀疏性，提出了一个简洁的MISDP问题的计算公式。以高渗透率光伏并网系统中智能光伏逆变器的优化配置问题为例，研究了一个MIQCQP问题。在IEEE配电系统上对所提出的方法进行了测试。结果表明，该方法能有效地提高SDP松弛的严密性和可行性。
2015-09-17 math.OC
A Tight SDP Relaxation for the Cubic-Quartic Regularization Problem
Xiangtan University（湘潭大学）；Academy of Mathematics and Systems Science, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）；University of Chinese Academy of Sciences（中国科学院大学）；University of California San Diego（加州大学圣地亚哥分校）；Hong Kong Baptist University（香港浸会大学）
本文针对三次-四次正则化（CQR）问题提出结构化半定规划（SDP）松弛方法，证明其紧性条件，给出检测紧性与求全局极小解的算法，数值实验表明该方法有效且高效，可在充分条件下多项式时间全局求解CQR问题。
2026-08-21 math.OC
