Ensuring 'well-balanced' shallow water flows via a discontinuous Galerkin finite element method: issues at lowest order
由Rhebergen等人（2008）开发的间断Galerkin有限元法（DGFEM）为求解非保守双曲型偏微分方程组提供了一种稳健的方法，但正如我们在这里所展示的，不能令人满意地处理浅水流动中最低阶（所谓的DG 0，或等效有限体积）的地形。特别是，数值解的空间DG 0离散一维浅水方程在不同的地形是不是真正的“平衡良好”。一个数值计划是平衡的，如果平凡的稳定状态满足数值解;在浅水方程的情况下，初始化的静止流应保持静止的所有时间。虽然自由表面高度和动量分别保持恒定和零，表明该方案确实平衡良好，但流体深度和地形随时间演变。这是不期望的和非物理的，导致流体深度的不正确的数值解，因此从预测建模的角度来看是一个问题。我们暴露这个令人不满的问题，无论是分析和数值，并指出一个解决方案，结合了DGFEM制定的非保守产品的快速和稳定的平衡有限体积法。这种组合方案绕过了令人不快的问题，并成功地集成了非保守的双曲浅水型模式，在最低阶的地形变化。我们简要讨论了一个平衡计划的定义的影响，并强调应用程序时，高阶计划可能不需要，这给我们的发现超出其曝光单独的进一步价值。
2020-06-05 cs.NA math.NA physics.comp-ph
A numerical method for two-dimensional Boussinesq-Full Dispersion systems modelling internal wave propagation
University of Valladolid（巴利亚多利德大学）
本文提出一种基于谱Fourier-Galerkin方法和隐式中点规则的数值方法，用于求解二维内波传播的Boussinesq-全频散模型，并分析其收敛性与性能。
2026-09-09 cs.NA math.NA
Boussinesq systems in two space dimensions over a variable bottom for the generation and propagation of tsunami waves
Institute of Applied and Computational Mathematics, FO.R.T.H.（计算与应用数学研究所，希腊科学院）
本文推导并数值求解了变海底地形上的简化Boussinesq系统，通过Galerkin有限元方法模拟海啸波的产生与传播，并与线性Euler方程解析解及浅水波方程数值解进行了对比。
2009-09-15 cs.NA math.NA physics.flu-dyn
Notes on the Boussinesq-Full dispersion systems for internal waves: Numerical solution and solitary waves
本文研究了Boussinesq/全色散系统的一些理论和数值问题。这是一个三参数系统的偏微分方程的模型沿界面的两个流体层的刚性盖条件的上层，并在Boussinesq制度的上层和一个完整的色散制度的下层的内波的传播。我们首先在空间中离散的周期初值问题的傅里叶-伽辽金谱方法和证明误差估计的参数值的几个范围。模型系统的孤波，然后在几个方面进行了数值研究。数值生成分析通过近似的ode系统与周期边界条件的孤波轮廓的傅立叶谱方案，实施配置的形式，和迭代求解相应的代数系统在傅立叶空间中的Petviashvili方法加速与极小多项式外推技术。在数值结果的启发下，证明了一个新的孤波存在的结果。本文最后对这些孤波的动力学进行了计算研究。为此，将空间上的Fourier-Galerkin离散化得到的半离散系统用四阶Runge-Kutta合成法在时间上进行了数值积分。完全离散的计划是用来探索数值的稳定性孤波，他们的碰撞，并解决其他初始条件成孤波。
2022-01-11 cs.NA math.AP math.NA
Spectral Jacobi approximations for Boussinesq systems
针对三参数Bona-Smith系统的Dirichlet初边值问题，提出基于Jacobi多项式的谱Galerkin半离散与全离散逼近，证明适定性、数值解存在性及加权Sobolev误差估计。
2023-12-09 cs.NA math.NA
Existence and numerical approximation of a one-dimensional Boussinesq system with variable coefficients on a finite interval
本文研究了不规则底部地形下有限长浅水通道中变系数非线性色散模型的适定性，利用作者开发的数值求解器进行有限区间解的逼近，并初步探索了基于优化问题从最终时刻测量数据重建初始波面高程和流体速度的逆问题。
2025-10-12 cs.NA math.AP math.NA
Galerkin finite element methods for the Shallow Water equations over variable bottom
本文研究变底地形下的一维浅水方程，提出包含透明边界条件的初边值问题，采用标准Galerkin有限元方法进行空间离散并证明L^2误差估计，结合四阶显式Runge-Kutta时间步进进行数值实验，验证了格式的良好平衡性。
2019-01-14 cs.NA math.NA
Implementation and Evaluation of Breaking Detection Criteria for a Hybrid Boussinesq Model
本工作的目的是开发一个模型，能够代表波在近岸地区的传播和转换。重点是波浪破碎、变浅和爬高现象。这些不同的现象表示通过耦合的非线性浅水方程与扩展Boussinesq方程的Madsen和Sorensen的混合方法。新颖之处在于两个建模方程之间的切换工具：临界自由面Froude准则。这是基于一种有物理意义的新方法来检测波浪破碎，这对应于波浪的波峰变陡，变成了一个滚子。为了使这两种类型的方程适当的离散化，我们考虑了一种有限元迎风彼得罗夫伽辽金方法与一种新的极限策略，保证了光滑波的保存以及存在的不连续性的结果的单调性。我们提供了一个新提出的检测方法的实施，以及其他两个众所周知的标准，用于比较的详细讨论。一个广泛的基准上的几个问题，涉及不同的波现象和破碎条件允许显示的鲁棒性的数值方法提出，以及评估的优点和局限性的不同的检测方法。
2019-11-06 cs.NA math.NA
Boussinesq modeling of surface waves due to underwater landslides
考虑到水下滑坡的影响，在一个浅体的流体表面的波。控制滑坡体重心演化的运动方程包括底摩擦、内能耗散和粘性阻力等各种耗散效应。表面波的研究在Boussinesq缩放，随时间变化的测深。介绍了一种能够处理随时间变化的海底地形的Boussinesq方程的数值模型，并同时求解了滑坡和表面波的运动方程。Boussinesq方程的数值求解器也可以被限制为实现浅水求解器，浅水和Boussinesq配置进行了比较。一个特定的水深被选择来说明的一般方法，它被发现，Boussinesq系统预测较大的波浪爬高比浅水理论在本文中处理的例子。研究还发现，有限流体区域对波浪爬高的行为有显著的影响。
2013-04-11 cs.NA math.AP math.NA
Well-balanced finite volume evolution Galerkin methods for the shallow water equations
University of Technology Hamburg（汉堡工业大学）；RWTH Aachen（亚琛工业大学）
本文提出了一种新的平衡有限体积方法，用于浅水方程中的底拓扑和科里奥利力源项建模，证明了FVEG方案在静稳态和旋转框架下稳态喷射的平衡性。
2015-01-15 cs.NA math.NA
Notes on numerical analysis and solitary wave solutions of Boussinesq/Boussinesq systems for internal waves
本文研究一类三参数Boussinesq系统。该系统已被提出作为模型的传播长内波沿界面的两层系统的流体与刚性盖条件的上层和下的Boussinesq制度的流动在两层。我们首先给出了系统的适定性、守恒律和Hamilton结构的一些理论性质。然后用谱Fourier Galerkin方法将相应的周期初值问题在空间离散化，并证明了半离散近似的误差估计.本文的其余部分是关于孤立波解的存在性研究和对某些动力学问题的数值模拟。利用标准理论导出了经典和广义孤波存在的几个结果，这些结果取决于模型的参数。一个数值程序是用来产生数值近似的孤波。这些被视为初始条件中的孤波，经典和广义的动力学的计算研究。为此，谱半离散的周期性初值问题的系统的数值积分的四阶龙格-库塔合成方法的基础上的隐式中点规则。然后，全离散格式被用来近似计算的孤波轮廓的扰动的演变，并计算研究的孤波的碰撞以及初始数据的分辨率成列的孤波。
2020-12-14 cs.NA math.AP math.NA
General boundary conditions for a Boussinesq model with varying bathymetry
本文针对带地形的Boussinesq-Abbott系统，提出将初边值问题转化为带非局部通量的守恒律系统，并设计两种混合格式，数值验证边界条件渐近稳定性以支持仅凭边界数据重建波场。
2024-02-06 cs.NA math-ph math.AP
Finite Volume Evolution Galerkin Methods for the Shallow Water Equations with Dry Beds
IGPM, RWTH Aachen（亚琛工业大学）；Department of Mathematics, University of Technology Hamburg（汉堡工业大学）
本文提出一种新的有限体积演化伽辽金方法，用于求解包含底地形作为源项的浅水方程，通过保持水深非负性及处理干边界，改进了声波稀疏波的再现。
2015-01-15 cs.NA math.NA
A well-balanced positivity-preserving discontinuous Galerkin method for shallow water models with variable density
Chongqing University（重庆大学）；College of Mathematics and Statistics, Chongqing University（重庆大学数学与统计学院）；School of arts and sciences, Chengdu College of University of Electronic Science and Technology of China（电子科技大学成都学院文理学院）；Sichuan International Studies University（四川外国语大学）
本文提出一种用于变地形浅水流与溶质输运耦合系统的数值方法，通过引入辅助变量保持平衡性质，并采用不连续伽辽金方法保证正性，通过数值实验验证方法的准确性和有效性。
2026-03-16 cs.NA math.NA
Extended water wave systems of Boussinesq equations on a finite interval: Theory and numerical analysis
考虑一类Nwogu型Boussinesq系统.这样的系统描述了非线性和色散的水波的重要利益，如孤立波和海啸波的传播。本文从理论和数值两方面研究了这类方程组在有限区间上的初边值问题。首先，通过统一的Fokas变换，解析地解决了一类广义Nwogu系统的线性化问题。相应的分析揭示了两种类型的允许边界条件，从而建议适当的边界条件的非线性Nwogu系统在有限的时间间隔。然后，适定性的建立，无论是在弱的和在经典意义上，为正规化Nwogu系统的背景下，描述的水在一个盆地中的波动与壁边界条件的动力学的初边值问题。此外，一个新的修改Galerkin方法建议的数值离散的正则化系统的时间，其收敛性和最佳误差估计一起证明。最后，数值实验说明了边界条件对孤波反射的垂直墙的效果也提供。
2022-10-07 cs.NA math.AP math.NA
Boussinesq Systems of Bona-Smith Type on Plane Domains: Theory and Numerical Analysis
University of Athens（雅典大学）；Institute of Applied and Computational Mathematics FO.R.T.H.（应用与计算数学研究所）；Université de Paris-Sud（巴黎南大学）
研究二维Bona-Smith型Boussinesq系统在有界平面域上的局部适定性，并针对反射边界条件提出一种修正Galerkin方法，证明其在L²范数下达到最优收敛速率，数值实验模拟了复杂平面域中的二维表面波并比较了不同系统解。
2009-07-28 cs.NA math.AP math.NA
A high-order well-balanced positivity-preserving moving mesh DG method for the shallow water equations with non-flat bottom topography
提出了一种用于非平底浅水波方程数值解的重分区型自适应移动网格间断Galerkin方法。平衡性对于模拟静止湖上的扰动波（如湖上的波或深海中的海啸波）至关重要。为了保证算法的良好平衡性和保正性，讨论了斜率限制、保正性限制和网格间数据传递的策略。特别地，建议使用DG插值方案将流动变量和底部地形从旧网格插值到新网格，并且在每次应用对水深的正性保持限制之后，根据水深的修改对底部地形的近似进行高阶校正。此外，网格自适应的基础上的平衡变量和水深显示出更理想的结果比常用的熵函数的基础上。在一个和两个空间维度的数值例子来证明良好的平衡和正性保持的方法和它的能力，以捕捉小扰动的湖在静止的稳定状态。
2020-06-26 cs.CE cs.NA math.NA
A high-order velocity-based discontinuous Galerkin scheme for the shallow water equations: local conservation, entropy stability, well-balanced property, and positivity preservation
提出了一类新的局部守恒、熵稳定和平衡的间断Galerkin（DG）方法，用于求解具有非平底地形的非线性浅水波方程。本文的主要创新之处在于将速度场作为DG格式中的独立未知解，这与Tadmor [22]在1986年提出的守恒律组的熵稳定格式的熵变量方法密切相关，其中速度是浅水方程熵变量的一部分。由于使用速度作为一个独立的解决方案未知，没有特定的数值求积规则需要实现我们的计划在一般的非结构网格在二维的熵稳定性。然后将所提出的DG半离散化与经典的显式强稳定性保持Runge-Kutta（SSP-RK）时间积分器[13]仔细结合，以产生局部保守、平衡良好且保持正性的全离散方案。在这里，积极性保存属性是在一个简单的缩放限制器的帮助下实施的。在全离散格式中，我们重新引入流量作为辅助未知变量。在这样做时，标准的坡度限制程序可以应用于保守变量（水位和流量），而不违反当地的保护属性。在这里，我们在龙格-库塔时间步进的每个内部阶段使用Fu-Shu问题单元指示器[10]对保守变量应用特征方面的TVB限制器[5]，以抑制数值振荡。
2022-01-31 cs.NA math.NA
An posteriori error estimator for discontinuous Galerkin discretisations of convection-diffusion problems with application to Earth's mantle convection simulations
本文针对强对流主导的对流-扩散问题提出基于指数拟合和椭圆重构的新后验误差估计，降低了对Gronwall型指数的依赖，并在地球地幔对流模拟中结合ASPECT验证了其在网格自适应中的优越效果。
2025-04-11 cs.NA math.NA
A conservative fully-discrete numerical method for the regularised shallow water wave equations
本文提出了一种新的，保守的全离散格式的数值解的正则化浅水Boussinesq方程组的周期性和反射边界条件的情况下。该系统是最近导出的一类方程之一，可用于实际模拟，以描述弱非线性和弱色散长水波的传播，如海啸。小振幅长波的研究通常需要长时间的模拟，以调查的情况下，如超车碰撞的两个孤波或跨洋海啸的传播。对于非耗散波（如孤波）的长时间模拟，通过数值方法保持总能量对于近似的质量至关重要。新的保守全离散方法包括空间半离散的Galerkin有限元法和时间积分的显式松弛Runge-Kutta格式。Galerkin方法在混合有限元法的框架中表达和实现。本文对新的数值方法的精度和收敛性进行了扩展实验研究。实验表明，一个新的收敛模式相比，标准的Galerkin方法。
2021-01-13 cs.NA math.NA
Postprocessing Galerkin method applied to a data assimilation algorithm: a uniform in time error estimate
Texas A&M University（德克萨斯农工大学）；Texas A&M University at Qatar（卡塔尔德克萨斯农工大学）
本文将后处理伽辽金方法应用于连续数据同化算法，通过合适条件下的松弛参数、粗网格分辨率和数值方案分辨率，获得时间一致的误差估计，适用于二维纳维-斯托克斯方程及其他演化方程。
2016-12-21 cs.NA math.AP math.NA
A well-balanced moving mesh discontinuous Galerkin method for the Ripa model on triangular meshes
针对考虑水温效应的 Ripa 模型，提出结合 MMPDE 动网格、DG 插值、正性保持限制器和特殊稳态处理的均衡保结构高阶方法，一维与二维算例验证了其精度、正性及小扰动捕捉能力。
2022-05-29 cs.NA math.NA
Bona-Smith-type systems in bounded domains with slip-wall boundary conditions: Theoretical justification and a conservative numerical scheme
本文研究有界二维域中带滑壁边界条件的Bona-Smith型Boussinesq系统，证明了初边值问题局部时间唯一解及质量、涡度与能量守恒，并基于混合有限元与松弛Runge-Kutta方法设计了保守的全离散数值格式。
2024-11-15 cs.NA math.AP math.NA
A potential energy conserving finite element method for turbulent variable density flow: application to glacier-fjord circulation
本研究提出一种带重力项修正和对称张量粘性算子的连续Galerkin有限元方法，可同时守恒势能与角动量，在冰川-峡湾环流模拟中比标准模型湍流分辨率更高、人工扩散更低。
2024-12-13 cs.NA math.NA
A regularized shallow-water waves system with slip-wall boundary conditions in a basin: Theory and numerical analysis
在有界区域中模拟长的非线性色散波通常需要使用滑移壁边界条件。文献中出现的Boussinesq系统在施加这样的边界条件时通常不是适定的，或者如果它们是适定的，则在数值逼近中实现边界条件是非常麻烦的。本文提出了一种新的Boussinesq系统，用于研究需要滑动壁边界条件时盆地中的小振幅长波。新的系统推导出使用渐近技术的假设下，小的水深变化，和一个数学证明的适定性的新系统的开发。新的系统也解决了数值使用伽辽金有限元法，其中的边界条件施加的帮助下，Nitsche的方法。分析了该数值方法的收敛性，并给出了精确的误差估计。然后实现该方法，并通过数值实验验证了收敛性。本文还对平面斜坡上的孤波浅滩化进行了数值模拟。将计算结果与实验数据进行了比较，结果吻合良好。
2022-01-04 cs.NA math.AP math.NA
Penalty-scaling effects in nonsymmetric interior-penalty DG discretizations of viscous rotating shallow-water equations
College of Science, National University of Defense Technology（国防科技大学理学院）；College of Meteorology and Oceanography, National University of Defense Technology（国防科技大学气象海洋学院）
研究粘性旋转浅水方程非对称内罚 DG 离散化中内罚参数标度的影响，通过局部 Lax--Friedrichs 通量近似双曲项，比较$\beta = 1$和$\beta = 3$，建立相关性质，经测试表明标准标度在精度-成本折衷上表现更好。
2026-07-20 cs.NA math.NA
A stable discontinuous Galerkin method for linear elastodynamics in 3D geometrically complex media using physics based numerical fluxes
高阶精度和显式时稳解非常适合于双曲波传播问题。由于实际几何形状、内部界面和非线性边界及交界条件的复杂性，不连续性和尖锐波前可能成为解的基本特征。因此，在许多应用中，几何灵活和自适应的数值算法是高保真和有效的模拟波动现象的关键。自适应曲线网格有望最大限度地减少表示复杂几何形状或异质材料数据的工作，避免特征保持网格的瓶颈。为了使设计稳定的DG方法的三维空间（3D）曲线元素，我们构造了一个结构保持反对称坐标变换激发的基础物理。利用基于物理的数值惩罚通量，我们发展了一个三维可证明能量稳定的非均匀介质中弹性波动方程的间断Galerkin有限元近似。通过构造，我们的数值通量是逆风的，并产生类似于连续能量估计的离散能量估计。处理符合和不符合曲线元素的能力允许灵活的自适应网格细化策略。数值方案已在ExaHyPE中实现，ExaHyPE是自适应笛卡尔网格上的波动问题的并行动态自适应模拟的模拟引擎。我们提出了三维数值实验的波在非均匀各向同性和各向异性弹性固体的传播证明稳定性和高阶精度。我们证明了我们的方法的潜力，计算地震学在区域波传播的情况下，在地质约束的三维模型，包括几何复杂的自由表面地形的楚格峰，德国。
2021-04-10 cs.DC cs.NA math.NA
A hyperbolic reformulation of the Serre-Green-Naghdi model for general bottom topographies
我们提出了一种新的双曲线重建Serre-Green-Naghdi（SGN）模型的色散水波的描述。与经典的Boussinesq型模型不同，它只包含一阶导数，从而克服了高阶项带来的数值困难和严格的时间步长限制。当人工声速趋于无穷大时，该模型退化为原始SGN模型。此外，它被赋予一个能量守恒律，从该能量守恒律与原始SGN模型相关联的人工声速趋于无穷大时检索。然后借助于高阶ADER间断Galerkin有限元格式求解控制偏微分方程。新模型已成功地验证了对数值和实验结果，无论是平的和非平底。对于海底地形变化较大的情况，本文提出的新模型比最近在“C.埃斯卡兰特湾阿呆和M. J.卡斯特罗色散非静力水波的有效双曲松弛系统及其高阶不连续Galerkin格式的解，计算物理杂志2018”。
2020-03-20 cs.NA math.NA physics.comp-ph
On the Galerkin / finite-element method for the Serre equations
University of California, Merced（加利福尼亚大学默塞德分校）；University College Dublin（都柏林大学学院）；Université de Savoie（萨瓦大学）
本文提出了一种高精度数值方案，用于求解描述完全非线性 regime 中 dispersive 浅水波传播的 Serre 方程组。该方案在空间上使用光滑周期样条的 Galerkin/有限元方法，在时间上使用显式四阶 Runge-Kutta 方法。通过与精确的孤立波和 cnoidal 波解的比较，证明了该方案在空间和时间上的最优精度。此外，利用该数值方案详细研究了孤立波、cnoidal 波和 dispersive 破波，并与经典的 Boussinesq 方程进行了比较。结果显示，Serre 方程组中孤立波的相互作用更为不弹性。通过与渐近结果的比较，证明了该数值方案在模拟 dispersive 破波方面的有效性。这些结果可应用于中间或大振幅浅水波的建模，如近岸区域中的情况。
2013-11-21 cs.NA math.AP math.NA
A discontinuous finite element method for the hydroelastic analysis of submerged structures
Queensland University of Technology（昆士兰科技大学）；Delft University of Technology（代尔夫特理工大学）；University of Newcastle（纽卡斯尔大学）
提出一种连续/不连续伽辽金有限元方法，用于水下弹性板水弹性分析，通过非局部边界条件处理辐射条件，验证了准确性并展示了多种几何形状的模拟。
2026-09-11 cs.NA math.NA
Non-Hydrostatic Model for Simulating Moving Bottom-Generated Waves: A Shallow Water Extension with Quadratic Vertical Pressure Profile
本文提出一种基于浅水方程的非静水压模型，通过推导新的椭圆方程组避免投影法求解不明确性，并利用二次垂直压力分布准确模拟海底地震和滑坡生成的波浪。
2024-10-31 cs.CE cs.NA math.NA
