In this paper we consider the classical problem of computing linear extensions of a given poset which is well known to be a difficult problem. However, in our setting the elements of the poset are multivariate polynomials, and only a small "admissible" subset of these linear extensions, determined implicitly by the evaluation map, are of interest. This seemingly novel problem arises in the study of global dynamics of gene regulatory networks in which case the poset is a Boolean lattice. We provide an algorithm for solving this problem using linear programming for arbitrary partial orders of linear polynomials.
This algorithm exploits this additional algebraic structure inherited from the polynomials to efficiently compute the admissible linear extensions. The biologically relevant problem involves multilinear polynomials and we provide a construction for embedding it into an instance of the linear problem.
Poset topology and homological invariants of algebras arising in algebraic combinatorics
我们提出了一个美丽的组合拓扑和同调代数之间的相互作用的一类幺半群，自然出现在代数组合。我们探索了这种相互作用的几个应用。例如，我们用非交换代数给出了团复形的Leray数的一个新的解释。简历我们提出了一个巨大的相互作用，其中包括组合拓扑和一个在组合代数中具有自然特征的单元类的代数同系物。我们探索这种相互作用的多种应用。同样，我们引入了一种新的Leray d'un déctique nombre的解释，它是关于一个非对易代数的全局维数的。
Set of independencies and Tutte polynomial of matroids over a domain
本文研究整环上的拟阵及其相关的几个经典的组合不变量和代数不变式。我们定义了他们的Grothendieck-Tutte多项式$T_{\mathcal{M}}(x,y)$，扩展了Fink和Moci在2016年给出的定义，并且我们证明了这样的多项式具有经典的删除-压缩性质。此外，我们还研究了整环上可实现拟阵的独立集，推广了第二作者在2017年给出的\emph{poset of torsions} $Gr(\mathcal{M})$的定义。这是一个与（拟）算术拟阵相同的单纯偏序集的并集。新的概念通过域上拟阵的面模块$N_\mathcal{M}$自然地协调。当$Gr(\mathcal{M})$是有限偏序集时，它的面模的希尔伯特级数$N_\mathcal{M}(t)$是Tutte多项式$T_{\mathcal{M}}(x,y)$的特殊化。此外，余维1阿贝尔子变量的椭圆曲线承认复乘的安排，我们扩展了毕比的某些结果，我们提供了一个代数解释的椭圆Tutte多项式。
这是一个简短的调查的一些开放问题的置换模式，重点是没有涵盖的主题，在最近的书由Kitaev，\emph{Patterns in Permutations and words}。我首先调查最近的事态发展的枚举和渐近的模式1324，最后的模式长度为4，其渐近增长是未知的，以及相关的问题，如上界的数量回避任何模式的长度$k$为任何给定的$k$。其他科目的治疗是默比乌斯函数，拓扑性质和其他代数方面的偏序排列，有序的包容性，也研究增长率的排列类，这是包容封闭的子集，这偏序集。
若多项式的指数向量的凸包的每个格点都对应于一个单项式，则该多项式具有饱和牛顿多面体。我们在代数组合学中编译SNP的实例（有些有证明，有些则是抽象的）：斜舒尔多项式;与简化字相关的对称多项式，Redfield-Polya理论，Witt向量和完全非负矩阵;结式;判别式（直到四次）;麦克唐纳多项式;关键多项式; Demazure原子;舒伯特多项式;和Grothendieck多项式，等等。我们的主要建筑是Schubitope。对于[n] x [n]的任意子集，我们用线性不等式来描述它。该广义置换面体的Ehrhart多项式为正。我们猜想它描述了Schubert的牛顿多面体和关键多项式。定义了置换上的支配序，并研究了支配序的偏序集性质。
