低维格中的长最短向量
Long shortest vectors in low dimensional lattices
摘要：
对于互质整数$N,a,b,c$，与$0<a<b<c<N$，我们定义了一组$$ \{ (na \! \! \! \! \pmod{N}, nb \! \! \! \! \pmod{N}, nc \! \! \! \! \pmod{N}) : 0 \leq n < N\}. $$我们研究哪些参数$N,a,b,c$生成点集与长的最短距离之间的一组依赖于$N$，并涉及到这样的一组格的特定形式。作为一个主要结果，我们提出了一个无限的家庭这样的格的性质，每个格的最短向量的归一化范数收敛到Hermite常数$γ_3$的平方根。我们得到了类似的结果，我们的建设推广到$4$和$5$尺寸。
英文摘要：
For coprime integers $N,a,b,c$, with $0<a<b<c<N$, we define the set $$ \{ (na \! \! \! \! \pmod{N}, nb \! \! \! \! \pmod{N}, nc \! \! \! \! \pmod{N}) : 0 \leq n < N\}. $$ We study which parameters $N,a,b,c$ generate point sets with long shortest distances between the points of the set in dependence of $N$ and relate such sets to lattices of a particular form. As a main result, we present an infinite family of such lattices with the property that the normalised norm of the shortest vector of each lattice converges to the square root of the Hermite constant $γ_3$. We obtain a similar result for the generalisation of our construction to $4$ and $5$ dimensions.
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