One of the main problem in prediction theory of discrete-time second-order stationary processes $X(t)$ is to describe the asymptotic behavior of the best linear mean squared prediction error in predicting $X(0)$ given $ X(t),$ $-n\le t\le-1$, as $n$ goes to infinity. This behavior depends on the regularity (deterministic or non-deterministic) of the process $X(t)$. In his seminal paper {\it "Some purely deterministic processes" (J. of Math. and Mech.,} 6(6), 801-810, 1957), M. Rosenblatt has described the asymptotic behavior of the prediction error for discrete-time deterministic processes in the following two cases: (a) the spectral density $f(λ)$ of $X(t)$ is continuous and vanishes on an interval, (b) the spectral density $f(λ)$ has a very high order contact with zero. He showed that in the case (a) the prediction error variance behaves exponentially, while in the case (b), it behaves hyperbolically as $n\to\infty$. In this paper, using a new approach, we describe extensions of Rosenblatt's results to broader classes of spectral densities. Examples illustrate the obtained results.
On asymptotic behavior of the prediction error for a class of deterministic stationary sequences
平稳过程$X(t)$预测理论中的一个主要问题是描述在给定$ X(t),$ $-n\le t\le-1$的情况下，当$n$趋于无穷大时，预测$X(t)$的最佳线性均方预测误差的渐近行为。此行为取决于进程$X(t)$的规律性（确定性或非确定性）。在他的开创性论文{ \it '一些纯粹的确定性过程'（数学与机械，} { \bf 6}（6），801-810，1957），对于具有与零M的非常高阶接触的特定谱密度。Rosenblatt表明，预测误差表现得像$n\to\f$的幂。在Babayan等人的论文{ \it 'Extensions of Rosenblatt's results on the asymptomatic behavior of the prediction error for deterministic stationary sequences'（J. Time Ser. Anal.} { \bf 42}，622-652，2021），Rosenblatt的结果被扩展到形式为$f=f_dg$的谱密度类，其中$f_d$是具有与零的非常高阶接触的确定性过程的谱密度，而$g$是可以具有多项式型奇点的函数。在本文中，我们描述了新的情况下，上述引用的结果$g$函数可以有{ \it任意幂型奇点}。实例说明了所得结果。
A third-moment theorem and precise asymptotics for variations of stationary Gaussian sequences
在两篇新论文（Bierme等人，2013）和（Nourdin and Peccati，2015），给出了精确的一般定量界以补充著名的Nualart和Peccati的四阶矩定理，通过该定理，固定Wiener混沌中的序列收敛于正规律当且仅当其四阶累积量收敛于$0$ .其界表明，收敛速度与四阶累积量的最大值和三阶矩（累积量）的绝对值是一个数量级。专门的情况下，归一化的中心二次变化的平稳高斯序列，我们表明，第三矩定理成立：收敛发生时，只有当序列的第三时刻趋于$0$。对于具有一般递减协方差的序列，通过使用（Nourdin和Peccati，2015）的结果并找到二次变分的第三和第四累积量收敛到$0$的精确速度来证明这一点。（Nourdin and Peccati，2015）还允许我们对一类对数调制协方差结构的收敛速度进行定量估计，这在研究分数布朗运动的二次变分的收敛性时，将临界Hurst参数的概念放在了正确的位置。我们还研究了收敛速度时的限制是不是高斯，而是一个第二维纳混沌法。使用对数调制类的谱密度，我们恢复Dobrushin-Major/Taqqu的经典结果，其中限制是Rosenblatt法，我们提供了新的收敛速度。在这种情况下的结论是，尽管调制缓慢变化，但为了获得Rosenblatt极限而付出的代价是非常慢的收敛速度，大致与调制相同的阶数。
On the mixing structure of stationary increment and self-similar symmetric α-stable processes
在平稳对称α稳定（SαS）过程的遍历分解中，出现了混合滑动平均过程.它们对应于产生SαS过程的“确定性”流的耗散部分（Rosinski，1995）。沿着这条路线，我们研究平稳增量和自相似SαS过程。由于平稳增量过程类和自相似过程类可以分别通过Masani变换和Lamperti变换嵌入到平稳过程类中，我们用非奇异流和相关的上循环刻画了这两类SαS过程.我们用Surgailis，Rosinski，Mandrekar and Cambanis，1992中引入的自相似混合移动平均SαS过程的各种例子来说明这种方法。
National Institute of Advanced Studies, IISc Campus, Bengaluru 560012, India（印度班加罗尔560012国家高级研究所，IISc校区）；Department of Mathematics, Indian Institute of Science, Bengaluru, 560012 India（印度科学研究院数学系，班加罗尔560012印度）；Cruise, San Francisco, USA（美国旧金山Cruise公司）
