A generalization of Sturm's comparison theorem
G. A. Grigorian
利用Riccati方程方法建立了两个一阶线性常微分方程组的一个新的比较定理。这个结果是基于一个所谓的“空类”的概念，是Sturm比较定理的推广。
The Riccati equation method is used to establish a new comparison theorem for systems of two linear first order ordinary differential equation. This result is based on a, so called, concept of "null-classes", and is a generalization of Sturm's comparison theorem.
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继续探索
A symmetric generalization of Sturm-Liouville problems in $q$-difference spaces
将$q$ -差分变量的经典Sturm-Liouville问题推广到对称离散函数，使得相应的解保持正交性.在这个意义上给出了一些说明性的例子。
A Generalization of Classical Symmetric Orthogonal Functions Using a Symmetric Generalization of Sturm-Liouville Problems
本文将通常的Sturm-Liouville问题推广到对称函数，使其解保持正交性。两个基本的例子，这是一个广义Sturm-Liouville问题的特殊情况下，然后介绍。第一个例子概括了相关的勒让德函数在物理学中具有广泛的应用，第二个例子介绍了一个通用的微分方程与各种子情况下，有正交的解决方案。例如，该一般方程具有包含对称正交多项式的基本解的对称微分方程。
On a converse of Sturm's comparison theorem
我们表明，斯特姆的经典比较定理（SCT）的交织的零对真正的二阶两项常微分方程的解决方案，一定会失败，如果通常的斯特姆型条件的系数被违反。我们还表明，系数的条件，在某种意义上，最好的可能。我们给出了SCT失效的一个充要条件，并指出其逆定理是错误的，而且比较定理在对系数作很小的假设时仍然成立。
Comparison Criteria for Discrete Fractional Sturm-Liouville Equations
本文给出了分数阶Sturm-Liouville（DFSL）方程在Riemann-Liouville和Grünwald-Letnikov意义下的施图姆比较定理. Sturm-Liouville方程的出现始于量子力学中的一维薛定谔方程，其最重要的结果之一是施图姆比较定理[27]。这些定理给出了具有不同位势的两个方程的零点的性质。
On singular Sturm theorems
本文综述了关于Sturm比较定理和分离定理的一个奇异形式的一些进展，其中系数或定义区间可能是无界的。
A new kind of uniqueness theorems for inverse Sturm-Liouville problems
证明了Sturm-Liouville逆问题的Marchenko型唯一性定理。此外，我们还证明了Ambarzumyans定理的一个推广。
Sign-Changing Points of Solutions of Homogeneous Sturm-Liouville Equations with Measure-Valued Coefficients
本文研究了$-d(du/dα)+udβ=0$型齐次Sturm-Liouville微分方程的非平凡实值解的变号点，其中$dα$是$(a,b)$上处处支持的正Borel测度，$dβ$是$(a,b)$上的局部有限实Borel测度.由于这类方程的解是局部有界变差的函数，变号点是零的自然推广。我们证明了每个非平凡实值解的变号点在$(a,b)$中是孤立的。我们还证明了两个非平凡线性无关解的Sturm型分离定理，并通过证明两个具有不同位势的微分方程的Sturm型比较定理来结束本文。
Non-self adjoint Sturm-Liouville problem with spectral and physical parameters in boundary conditions
本文给出了以下两点边值问题$$(p(x)f')'-(q(x)-λr(x))f=0\;, \;\; 0<x<L \quad ; \quad f'(0)=(α_{1} λ+ α_{2}) f(0) \quad ; \quad f'(L)=(β_{1}λ-β_{2})f(L), $$的谱和本征函数的完整描述，其中$λ$和$α_{i}, β_{i}$是谱参数和物理参数.我们的研究主要集中在$α_{1}>0$和$β_{1}<0$的情形，在这两种情形中，希尔伯特空间上的自伴算子定理和Sturm的比较结果都不能直接使用.我们描述的频谱和振荡的结果，从几何方法的特征函数，使用一个函数有关的普吕弗角。利用经典的二阶微分方程工具证明了特征值的渐近性和特征函数的分离定理。最后，利用该方程谱的结果，研究了一个简单模型的线性不稳定性，该模型描述了驱油过程中的指进现象。
On a generalization of the three spectral inverse problem
本文考虑了三谱反问题的一个推广，即对于给定的Dirichlet-狄利克雷问题的谱（两端具有Dirichlet条件的Sturm-Liouville问题），$[0,a/2]$上Dirichlet-Neumann和Dirichlet-Dirichlet问题的部分谱，$[a/2,a]$上Dirichlet-Newman和Dirichlet-Dirichlet问题的部分谱，我们找到了Sturm-Liouville方程的势能。
Complete systems of recursive integrals and Taylor series for solutions of Sturm-Liouville equations
考虑定义在有限段$[a,b]\subset \mathbb{R}$上的任意复值、二次连续可微、非零函数$ϕ$。让我们介绍一个无限系统的功能，建立在以下方式。每个后续函数都是前一个函数的基元，交替地乘以或除以$ϕ$。所得到的函数系是幂系${(x-x_{0}%)^{k}}_{k=0}^{\infty}$的推广。我们研究了它的完备性以及它的子集在不同函数空间中的完备性。这一系统的递归积分的结果是密切相关的所谓的$L$ -基地所产生的理论嬗变运营商的线性常微分方程。除了结果的完整性系统的递归积分，我们显示了一个深刻的类比之间的展开的递归积分和泰勒展开。我们证明了一个推广的泰勒定理与拉格朗日形式的余项，并找到一个明确的公式转换的广义泰勒展开的函数的递归积分到一个通常的泰勒展开。作为公式的直接推论，我们得到了关于Sturm-Liouville方程解的下列新结果。给定方程$y^{\prime\prime}+q(x)y=0$的正则非零复值解$y_{0}$，$x\in(a,b)$，假定它在一点$x_{0}% \in\lbrack a,b]$是$n$次可微的.我们提出了明确的公式计算的第一$n$衍生物在$x_{0}$方程$u^{\prime\prime}+q(x)u=λu$的任何解决方案。即，构造将$y_{0}$的泰勒展开变换为$u$的泰勒展开的显式映射。
Sturm theory with applications in geometry and classical mechanics
经典的Sturm非振动性定理和比较定理以及二阶微分方程解的Sturm零点定理具有自然的辛形式，因为它们描述了方程相平面中直线的旋转。在这些定理的高维辛形式中，直线被拉格朗日子空间所取代，与给定直线的交点被具有一个著名拉格朗日子空间的非横截性瞬时所取代。因此辛Sturm定理描述了Maslov指标的一些性质。从Arnol'd关于光学哈密顿量的辛Sturm理论的著名论文出发，我们将他的结果推广到一般的哈密顿量。最后，我们将这些结果应用于半黎曼流形上共轭点和焦点分布的几何信息，以及天体力学中奇异拉格朗日系统解空间的几何性质的研究。
On a generalization of a theorem of S. Bernstein
本文给出了一类二阶边值问题的解，其形式为$\frac{d}{dt}Φ'(\dot{u})=f(t,u,\dot{u}),\ t\in[0,1],\ u\colon\mathbb{R} \to\mathbb{R}$，具有Dirichlet和Sturm-Liouville边界条件，其中$Φ\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是严格凸的可微函数，$f\colon[0,1]\times\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$是连续的且满足适当的增长条件.我们的结果是基于先验界的解决方案和同伦不变性的勒雷-绍德尔度。
On completely integrable polynomial PDEs arising from Sturm-Liouville differential equation using evolutionary vessels. KdV Hierarchy
在这项工作中，我们提出了一个计划的建设解决方案的发展偏微分方程的一些多项式类型q '_t = P（q，q'_x，...），其中P是有限个变量的多项式。该方案是一个推广的现有技术的解决方案的完全可积偏微分方程使用逆散射的Sturm-Liouville微分方程。KdV方程q 't = - 3/2 q 'x + 1/4 q' xxx是一个特例，对应于第一类发展方程.本文给出了0型完全解，并给出了对应于无穷多个多项式发展方程的KdV族，其形式为β= 1/2 \int_0^x q（y，t）dy而不是q（x，t）本身，其中b_0 = -1/4 β“'_{xxx} + 3/2（β'_x）^2对应于KdV方程，4（b_{n+1}）β”'_x = -i（b_n）_{xxx}"' +4 i（β '_xb_n）β“'_x。孤立子解决方案（即只涉及纯指数），提出了每个这样的演化方程，展示了“简单”的解决方案建设。
Weakly Nonlocal Boundary Value Problems with Application to Geology
在许多情况下，地下水在潜水含水层中的流动可以简化为一维Sturm-Liouville模型的形式：\begin{equation*} x''(t)+λx(t)=h(t)+\varepsilon f(x(t)),\hspace{.1in}t\in(0,π) \end{equation*}服从非局部边界条件\begin{equation*} x(0)=h_1+\varepsilonη_1(x)\text{ and } x(π)=h_2+\varepsilonη_2(x). \end{equation*}在本文中，我们研究了上述Sturm-Liouville问题的解的存在性假设下，$\varepsilon$是一个小参数。我们的方法将是分析性的，利用隐函数定理及其推广。
A class of symmetric $q$-orthogonal polynomials with four free parameters
利用Sturm-Liouville问题在$q$ -差分空间中的推广，引入了一类具有四个自由参数的对称$q$ -正交多项式.给出了这些多项式的标准性质，如二阶$q$ -差分方程，多项式的基本超几何级数的显式，三项递推关系和一般正交关系.然后详细研究了一些特定的例子。
Relative Oscillation Theory, Weighted Zeros of the Wronskian, and the Spectral Shift Function
我们开发了一个模拟的经典振荡理论的Sturm-Liouville运营商，而不是测量一个单一的运营商的频谱，测量两个不同的运营商的频谱之间的差异。这是通过将一个算子的解的零点替换为两个不同算子的解的朗斯基函数的加权零点来完成的。特别是，我们表明，斯特姆型比较定理仍然在这种情况下，并演示了如何可以用来调查本质谱间隙的本征值的有限性。此外，还建立了与Krein谱移函数的联系.
A Metric Sturm-Liouville theory in Two Dimensions
Sturm-Liouville理论的一个中心结果（也称为Sturm-Hurwitz定理）指出，如果$ϕ_k$是区间$I \subset \mathbb{R}$上的二阶微分算子的特征函数序列，则任何线性组合满足根$$ \# \left\{x \in I:\sum_{k \geq n}{ a_k ϕ_k(x)} = 0 \right\} \geq n-1.$$上的一致界。（直到对数因子）推广到两个维度：设$(M,g)$是一个紧致的二维流形（有边界或无边界），用$(ϕ_k)$表示一致椭圆算子$-\mbox{div}(a(\cdot) \nabla)$（具有Dirichlet或Neumann边界条件）的特征函数序列.然后，对于高于某个指数$n$，$$ f = \sum_{k \geq n}{a_k ϕ_k} ~ \mbox{we have} \quad \mathcal{H}^1 \left\{ x: f(x) = 0\right\} \gtrsim_{} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\log{n}}} \log \left(n \frac{\|f\|_{L^2(M)}}{\|f\|_{L^1(M)}} \right)^{-1/2} \frac{\|f\|_{L^1(M)}}{\| f \|_{L^{\infty}(M)}} .$$的本征函数的任何线性组合，关于$M=\ma…
$L^1$-Uniqueness of the Fokker-Planck equation on a Riemannian manifold
本文得到了Sturm-Liouville算子$a(x)\frac{d^2}{dx^2} + b(x) \frac d{dx} -V$在$\rr$的开区间上$L^{\infty}$ -唯一性的一个充要条件，它等价于相应的Fokker-Planck方程的$L^1$ -唯一性.对于黎曼流形上的一般椭圆算子$\LL^V:=Δ+b \cdot\nabla -V$，通过与一维Sturm-Liouville算子的比较，得到了与$\LL^V$相关联的Fokker-Planck方程的$L^1$ -唯一性的尖锐的充分条件.此外，作为$\LL^V$的$L^\infty$ -唯一性的直接结果，导出了$L^1$ -Liouville性质.
Affine Scaling of Jacobi Zeros: Sharp Orderings Beyond Gautschi's Conjectures
该文解决了Gautschi关于雅可比多项式零点对次数依赖性的两个猜想，通过Liouville变换和Sturm比较确定了特定参数下的零点仿射序关系及有限次界，所得分类精确且无法扩大。
Comparison Theorems for the Profile Curve Equation of Rotationally Symmetric Self-Shrinkers
通过分析旋转对称自收缩子的轮廓曲线，利用Sturm型比较定理证明水平点轨迹的单调性，为Angenent环面的唯一性问题提供新方法。
Qualitative analysis of phase--portrait for a class of planar vector fields via the comparison method
研究了二阶微分方程$$\ddot x+\sum_{l=0}^nf_l(x) \dot x^l=0 ,$$的相图。给出了关于极限环存在性、不存在性和唯一性的一些结果。其中，推广了经典的Massera唯一性结果.
Comparison of some solution concepts for linear first-order hyperbolic differential equations with non-smooth coefficients
讨论正则系数低于Lipschitz连续的线性双曲型方程的解的概念。因此，我们的重点是理论的基础上，无论是概括的方法的特征或有关能源估计的技术完善。我们提供了一系列的例子，既作为简单的说明所涉及的概念和条件，但也显示概念之间的逻辑独立性。
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