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Kummer多项式的平均Bateman--Horn猜想

Average Bateman--Horn for Kummer polynomials

Francesca Balestrieri, Nick Rome

备注：
Final version, to appear in Acta Arithmetica
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AI总结：

本文证明了多项式 $n^r+k$ 在特定范围内的平均素数值分布，并据此推导出二次扩张下相关开簇的 Hasse 原理变体结论，其核心方法是引入了针对精确阶为 $r$ 的 Dirichlet 特征的新大筛法不等式。

摘要：

对于任意 $r \in \mathbb{N}$ 以及几乎所有小于 $x^r$ 的 $k \in \mathbb{N}$，我们证明了当 $n$ 从 1 取到 $x$ 时，多项式 $f(n) = n^r + k$ 取得素数值的次数与预期相符。作为推论，我们得出了关于 Hasse 原理与积分 Hasse 原理变体的结论，这些变体适用于由形如 $N_{K/\mathbb{Q}}(\mathbf{z}) = t^r +k \neq 0$ 的方程所定义的某些开簇，其中 $K/\mathbb{Q}$ 是二次扩张。我们证明中的一个关键要素是针对精确阶为 $r$ 的 Dirichlet 特征提出的一个新大筛法不等式。

英文摘要：

For any $r \in \mathbb{N}$ and almost all $k \in \mathbb{N}$ smaller than $x^r$, we show that the polynomial $f(n) = n^r + k$ takes the expected number of prime values as $n$ ranges from 1 to $x$. As a consequence, we deduce statements concerning variants of the Hasse principle and of the integral Hasse principle for certain open varieties defined by equations of the form $N_{K/\mathbb{Q}}(\mathbf{z}) = t^r +k \neq 0$ where $K/\mathbb{Q}$ is a quadratic extension. A key ingredient in our proof is a new large sieve inequality for Dirichlet characters of exact order $r$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

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