The Uniformity Conjecture in Additive Combinatorics
Ilya D. Shkredov, Jozsef Solymosi
在本文中，我们显示的应用程序的例子Bjueri-Lang猜想在加法组合，给出的平方和集合的基数和整数的高次幂的界限。使用类似的方法，我们给出了边界上的和产品的匹配问题。
In this paper we show examples for applications of the Bombieri-Lang conjecture in additive combinatorics, giving bounds on the cardinality of sumsets of squares and higher powers of integers. Using similar methods we give bounds on the sum-product problem for matchings.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Control and its applications in additive combinatorics
该研究针对加性组合学中自然出现的$L^3$“控制”假设下集合的加性结构问题，推导得到新的定量界，并将其应用于改进和积问题、Balog-Szemerédi-Gowers定理及凸集加性增长的已知界。
Some Additive Combinatorics Problems in Matrix Rings
研究了有限域上矩阵环中奇异和幺模矩阵在和集中的分布。应用这些结果，我们估计了整数上矩阵环和集中行列式的最大素除子。
Additive Combinatorics in Groups and Geometric Combinatorics on Spheres
我们开始了一次旅行，带我们通过四个密切相关的主题：对偶概念的独立性和跨越有限的阿贝尔群和类似的对偶概念的设计和距离集领域。我们回顾了每个领域的一些主要已知结果，提到了几个开放的问题，并讨论了这四个有趣的主题之间的一些联系。
Additive Combinatorics: A Menu of Research Problems
本书包含了超过三百个关于各种主题的具体开放式问题，在添加剂组合学，每个放置在审查所有相关结果的背景下。虽然主要目的是为学生研究提供充足的问题，但希望它对更广泛的受众也有用。这是作者的意图，以保持当前的材料，因此所有的反馈和更新，非常感谢。
Equivalence of polynomial conjectures in additive combinatorics
本文研究了加法组合学中的两个代数。第一个是多项式Freiman-Ruzsa猜想，它涉及具有小加倍的集合的结构。第二个是$U^3$的逆Gowers猜想，它涉及到局部看起来像二次函数的函数。在这两种情况下，一个弱的形式，与指数衰减的参数是已知的，和一个强的形式，只有一个多项式损失的参数被证明。我们的主要结果是，这两个图实际上是等价的。
Finite field models in additive combinatorics
研究加法组合学中的许多问题，如Szemerédi关于等差数列的定理，可以通过首先研究F_p^n中对于某些固定的小素数p的问题的模型来变得容易。我们给出了这种类型的有限域模型的一些例子，这使我们能够相对干净地介绍加法组合学中的一些中心思想。我们也给出了一个指示如何从有限域模型的研究中获得的直觉可以帮助解决原来的问题。
Carries, group theory, and additive combinatorics
给定群G和正规子群H，研究了具有较少进位的陪集代表的选择问题。
Some new problems in additive combinatorics
本文研究了可加组合学中的一些新问题。我们的问题主要涉及排列（或循环排列）$n$不同数（或加性阿贝尔群的元素）$a_1,\ldots,a_n$与相邻和$a_i+a_{i+1}$（或差$a_i-a_{i+1}$）两两不同。对于具有$q\not=25$的奇素数幂$q=2n+1>13$，证明了存在$S=\{a^2:\ a\in\mathbb F_q\setminus\{0\}\}$的元素的循环置换$(a_1,\ldots,a_n)$，使得$\{a_1+a_2,\ldots,a_{n-1}+a_n,a_n+a_1\}=S$，其中$\mathbb F_q$表示阶为$q$的域.对具有$|A|=n>3$的加性无挠阿贝尔群$G$的任意有限子集$A$，证明了存在$A$的元素的编号$a_1,\ldots,a_n$，使得$$a_1+2a_2,\ a_2+2a_3,\ \ldots,\ a_{n-1}+2a_n,\ a_n+2a_1$$是两两不同的.我们还提出了30个开放的模型供进一步研究。
On Quasi-Energy-Spectra, Pair Correlations of Sequences and Additive Combinatorics
序列的对相关统计的研究最初是由量子系统的准能谱问题引起的。然而，这个问题已经远远超出了它在数学物理中的根源，许多具有挑战性的数论问题的分布对相关的某些序列仍然是开放的。我们给一个简短的介绍到这个问题，回顾一些已知的结果和开放的问题，特别是解释最近建立的连接分布对相关序列的环面和某些概念添加剂组合。进一步改进了Jean Bourgain最近给出的一个结果.
Higher moments of convolutions
研究了集合的特征函数的卷积的高阶矩，推广了经典的可加能量概念。这样的数量出现在许多问题的加法组合以及在数论。在我们的研究中，我们使用不同的方法，包括基本组合学，傅里叶分析和本征值的方法来建立更高的能量的基本性质。我们还提供了一个序列的应用程序更高的能量添加剂组合。
Finite field models in arithmetic combinatorics -- twenty years on
本文是为2024年英国组合数学会议报告撰写的综述，梳理了Green首篇有限域加法组合学综述发表二十年来、尤其Wolf后续综述发布后十年间该领域在有限域与整数场景下的核心进展，并指明未来方向。
Topology of Cayley Graphs Applied to Inverse Additive Problems
我们提出了基本的等容结构理论的证明，得到了一些新的简化证明。作为应用，我们用$|kS|\le k|S|-k+1$或$|kS-rS|- (k+r)|S|,$得到了阿贝尔群的子集$S$的简单描述，其中$1\le r \le k.$.这些结果可应用于组合学和加法组合学中的几个问题（Frobenius问题，有限域中的Waring问题和大直径Cayley图.）.
Additive combinatorics with a view towards computer science and cryptography: An exposition
近年来，加法组合学已发展成为数学科学中一个充满活力的领域。但这似乎是一个很难定义的领域-也许是因为混合的想法和技术，从几个看似无关的背景下使用。有人可能会说，加法组合学是数学的一个分支，研究代数对象的组合性质，例如，阿贝尔群，环或域。这个新兴领域在过去几年中取得了巨大的进步，最近成为数学家和计算机科学家关注的焦点。这个迷人的领域已经丰富了其强大的联系组合学，数论，调和分析，遍历论，和其他一些分支;所有深深交叉施肥对方，持有伟大的希望，为所有这些！在这篇文章中，我们试图概述这一领域的一些突破，以及数学和其他一些学科的许多开创性应用，重点是计算机科学和密码学。
Information Inequalities via Ideas from Additive Combinatorics
本文在 Ruzsa 等价定理之外，建立了新的加性组合学不等式族与熵不等式族之间的形式等价，并给出了放大比率的信息论刻画，为后续研究奠定基础。
Submodular functions in additive combinatorics problems for group actions and representations
该研究建立了加法组合经典问题与结果在群作用、群表示语境下的对应结论，引入幂集上的左不变子模函数作为证明核心工具，并推出了完全重排的新版本。
A categorical approach to additive combinatorics
本文以Freiman同态为动机，用范畴论语言表述加法组合学基本概念，证明加法集与Freiman同态构成范畴并研究其极限构造，关联相关范畴且揭示泛环境群存在性结果为伴随函子实例。
Some new inequalities in additive combinatorics
本文给出了涉及阿贝尔群中某个子集$A$的移位的交$A\cap (A-x)$的新的不等式.应用这些不等式，得到了乘法子群和凸集的可加能量的新的上界，以及可加能量与卷积高阶矩之间关系的一系列结果.此外，我们还证明了乘法子群的一些新的定理，包括乘法子群的倍化常数的下界，乘法子群及其子列的和集的势的精确下界等。
Uniformity norms, their weaker versions, and applications
我们表明，在一些温和的假设下，Gowers一致性规范（无论是在添加剂和超图设置）基本上是等价的某些较弱的规范，更容易理解。我们提出了两个应用程序的等价性：一个变种的Koopman-冯诺依曼分解，并证明了相对逆定理的Gowers $U^s[N]$ -范数使用的范数型伪随机性条件。
A new shift operator-based polynomial method in additive combinatorics
本文提出基于移位算子的新多项式方法，统一并简化了Alon组合零点定理与Croot-Lev-Pach方法等结果，并展望了未来应用方向。
Limitations of the slice rank method in additive combinatorics
本文证明对于k≥4，仅在k项等差数列或k向日葵关系上非零的张量在任何域上具有最大切片秩，从而排除了切片秩方法在这些情形中的指数节省。
Additive Combinatorics Using Equivariant Cohomology
本文引入等变上同调这一几何方法研究加性组合问题，重新证明并改进了Dias da Silva-Hamidoune定理与Erdős-Heilbronn猜想线性扩展，推广了Grashopper问题，并证明了二者的带符号版本。
An additive combinatorics approach to the log-rank conjecture in communication complexity
对于$\{0,1\}$值矩阵$M$，令$\rm{CC}(M)$表示与$M$相关联的布尔函数的确定性通信复杂性. Lovász和Saks [FOCS 1988]的对数秩猜想指出，对于某个绝对常数$c$，$\rm{CC}(M) \leq \log^c(\rm{rank}(M))$，其中$\rm{rank}(M)$表示$M$在实数域上的秩。我们表明，$\rm{CC}(M)\leq c \cdot \rm{rank}(M)/\log \rm{rank}(M)$的一些绝对常数$c$，假设一个著名的猜想添加剂组合被称为多项式Freiman-Ruzsa（PFR）猜想。我们的证明是基于对“近似对偶猜想”的研究，该猜想最近由Ben-Sasson和Zewi [STOC 2011]提出，并与PFR猜想相关。首先，我们改进了近似对偶的界假设PFR猜想。然后，我们使用近似对偶猜想（具有改进的边界）来获得低秩矩阵的通信复杂性的上界，其中这一部分使用Nisan和Wigderson [Combinatorica 1995]提出的方法。
Additive combinatorics methods in associative algebras
我们适应的方法，从添加剂组合学的群体的研究线性跨度结合酉代数。特别是，我们建立了这些代数类似物的Diderrich-Kneser的和Hamidoune的定理和陶的定理集的小倍。同时，我们还对有限域上的有限维代数进行了分类。这些代数在我们的线性版本的狄德里奇-克内瑟定理中起着至关重要的作用。我们还解释了如何原来的定理群，我们线性化可以很容易地推导出我们的结果适用于群代数。最后，利用有限幺半群中两个子集的相应幺半群代数，给出了有限幺半群中两个子集的Minkowski积的下界。
Large values in time series and additive combinatorics
本文利用加性组合学和离散傅里叶分析，通过傅里叶比率和推广的张量引理，揭示时间序列中大值可由少量系数生成的结构特性，并通过实际数据验证了这一理论。
The geometry of intersecting codes and applications to additive combinatorics and factorization theory
本文通过建立非退化相交码与射影空间中点集的几何对应，改进其长度界并构造短相交码，进而利用编码理论与Davenport常数的联系，给出加权2-wise Davenport常数的新渐近界，并应用于代数整数环的因子分解问题。
Three Convolution Inequalities on the Real Line with Connections to Additive Combinatorics
我们讨论三个卷积不等式，连接到加法组合。Cloninger和第二作者表明，对于非负$f \in L^1(-1/4, 1/4)$，$$ \max_{-1/2 \leq t \leq 1/2} \int_{\mathbb{R}}{f(t-x) f(x) dx} \geq 1.28 \left( \int_{-1/4}^{1/4}{f(x) dx}\right)^2$$与$g-$ Sidon集相关（1.28不能被1.52取代）。我们证明了一个双重的声明，有关的差异基地，并表明，对于$f \in L^1(\mathbb{R})$，$$ \min_{0 \leq t \leq 1}\int_{\mathbb{R}}{f(x) f(x+t) dx} \leq 0.42 \|f\|_{L^1}^2,$$的常数1/2是平凡的，0.42不能被替换为0.37。这就提出了一个关于$g-$差分基的渐近结构的自然猜想。最后，我们显示了所有函数$f \in L^1(\mathbb{R}) \cap L^2(\mathbb{R})$、$$ \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{ \int_{\mathbb{R}}{f(x) f(x+t) dx}dt} \leq 0.91 \|f\|_{L^1}\|f\|_{L^2}$$
Finitely additive measures on $\mathbb Z$ and additive combinatorics
该研究以$\text{ba}(\boldsymbol{\text{Z}})$为工具，将超滤子理论方法拓展至测度论场景，证明满足测度阈值的整数子集为$\text{IP}_n$集，还给出示例并讨论开放问题。
Normal covering numbers for $S_n$ and $A_n$ and additive combinatorics
本研究针对对称群$S_n$与交错群$A_n$的正规覆盖数展开，结合$n$的算术结构给出估计，确定相关比值的上下极限，揭示其与加性组合问题的关联，解决了Kourovka Notebook中的大部分相关问题。
On Additive Combinatorics of Permutations of \mathbb{Z}_n
令$\mathbb{Z}_n$表示模$n$的整数环。本文考虑了$\mathbb{Z}_n$中置换的两个极值问题，即使得集合中任意两个不同置换之和又是置换的置换集合的最大尺寸，以及使得集合中任意两个不同置换之和不是置换的置换集合的最大尺寸.令大小分别由$s(n)$和$t(n)$表示。在$s(n)=1$和$t(n)=n!$这两种情况下，$n$为偶数的情况都是微不足道的。对于$n$奇数，我们证明了$s(n)\geq (nϕ(n))/2^k$，其中$k$是$n$的不同素因子的个数.当$n$是奇素数时，我们证明了$s(n)\leq \frac{e^2}π n ((n-1)/e)^\frac{n-1}{2}$ .对于第二个问题，我们证明了当$n$是奇数时，$2^{(n-1)/2}.(\frac{n-1}{2})!\leq t(n)\leq 2^k.(n-1)!/ϕ(n)$。
The Elekes-Szabó Problem and the Uniformity Conjecture
本文对有理数上的Elekes-Szabó问题在一致性猜想的假设下作了一个条件改进。我们的主要结果指出，对于属于一个特定的家庭的多项式$F\in \mathbb{Q}[x,y,z]$，和任何有限集$A, B, C \subset \mathbb Q$与$|A|=|B|=|C|=n$，我们有\[ |Z(F) \cap (A\times B \times C)| \ll n^{2-\frac{1}{s}}. \]的整数$s$的值是依赖于多项式$F$，但始终有界的$s \leq 5$，因此，即使在最坏的适用情况下，这给出了一个定量改善的限制拉兹，Sharir和德Zeeuw（arXiv：1504.05012）。我们给出了几个应用程序的问题，在离散几何和算术组合。例如，对任意集合$P \subset \mathbb Q^2$和任意两点$p_1,p_2 \in \mathbb Q^2$，证明了至少有一个$p_i$满足\[ | \{ \| p_i - p \| : p \in P \}| \gg |P|^{3/5}, \]的界，其中$\| \cdot \|$表示欧氏距离.这给出了对Sharir和Solymosi（arXiv：1308.0814）的结果的条件改进。
Freiman's theorem in finite fields via extremal set theory
利用极值集合论中的各种结果（用加法组合学的语言解释），我们证明了F_2 ^n中Freiman定理的一个渐近尖锐的版本：如果F_2 ^n中的A是一个集合，|A + A| <= K |A|则A包含在大小为2^{2K + O（\sqrt{K} \log K）} |A|的子空间中;除了O（\sqrt{K} \log K）错误，这是最好的可能。如果我们另外假设A是一个下集，那么我们也可以通过O（K^{46}）个大小至多为|A|的坐标子空间的平移来覆盖A，从而在这种情况下验证了所谓的多项式Freiman-Ruzsa猜想。争论中的一个共同主题是压缩技术的使用。这些在极值集合论中早已熟悉，但在加法组合学文献中很少使用。
A structural approach to subset-sum problems
本文讨论了加法组合学中子集和问题的一种结构化方法。这种方法的核心是Freiman型结构定理，其中许多将通过本文介绍。这些结果在数论、组合学和数学物理等许多领域都有应用。
Exponential Mixing Via Additive Combinatorics
本文利用加法组合学方法构造各向异性Banach空间并证明本质谱隙，从而建立负曲率几何有限局部对称空间上测地流关于Bowen-Margulis-Sullivan测度的指数混合性，同时给出相关函数Laplace变换的亚纯延拓结果。
Extensions of Autocorrelation Inequalities with Applications to Additive Combinatorics
在2019年的一篇论文中，Barnard和Steinerberger表明，对于$f\in L^1(\mathbf{R})$，以下自相关不等式成立：\begin{equation*} \min_{0 \leq t \leq 1} \int_\mathbf{R} f(x) f(x+t)\ \mathrm{d}x \ \leq\ 0.411 ||f||_{L^1}^2, \end{equation*}其中常数$0.411$不能被$0.37$取代。除了有趣和重要的是在他们自己的权利，不平等，如这些应用在加法组合，其中一些问题，如最小差异的基础，可以封装的卷积不等式类似于上述积分。Barnard和Steinerberger建议，未来的研究可能会集中在极值化上述不等式的函数的存在性上（这本身与Brascamp-Lieb型不等式有关）。我们发现，$f$是极值在上述情况下，我们必须有\begin{equation*} \max_{x_1 \in \mathbf{R} }\min_{0 \leq t \leq 1} \left[ f(x_1-t)+f(x_1+t) \right] \ \leq\ \min_{x_2 \in \mathbf{R} } \max_{0 \leq t \leq 1} \left[ f(x_2-t)+f(x_2+t) \right] . \end{equation*}我们的…
Short proofs of some extremal results
我们证明了几个结果，从不同领域的极值组合，提供完整或部分解决方案的一些开放的问题。这些结果，来自领域，如极值图论，拉姆齐理论和添加剂组合，已收集在一起，因为在每种情况下，有关的证明是相当短的。
Spherical higher order Fourier analysis over finite fields II: additive combinatorics for shifted ideals
本文发展了有限域上沿球面的高阶傅里叶分析方法，研究了平移模的加性组合性质，证明了Balog-Gowers-Szemerédi等定理，并揭示了具有大加性能量的映射与近似线性Freiman同态的关系，为后续证明球面Gowers逆定理提供关键输入。
An elementary additive doubling inequality
证明了一个初等加法组合不等式，即如果$A$是阿贝尔群的子集，且在某种强意义下，该子集具有大的加倍，则差集A-A具有大的子集，且该子集具有小的加倍.
Sumsets and monomial projective curves
本文的目的是探索加法组合学与单式射影曲线几何之间的一种新的关系。我们将一个非负整数的有限集$A=\{a_1,\cdots, a_n\}$与一条单项射影曲线$C_A\subset \mathbb P^{n-1}_{k}$相关联，使得$C_A$的Hilbert函数与$sA:=\{a_{i_1}+\cdots+a_{i_s}\mid 1\le i_1\le \cdots \le i_s\le n\}$的基数一致. $C_A$的奇异性决定了$|sA|$的渐近行为，等价于$C_A$的希尔伯特多项式，以及$sA$的渐近结构。我们证明了一些可加法逆问题可以转化为Hilbert多项式的刚性问题，并利用可加性组合学的结果改进了单项射影曲线的Castelnuovo-Mumford正则性的一个上界.
Entropy versions of additive inequalities
在过去的几年里，加法组合学中的不等式与随机变量的熵的类似形式之间的联系已经被广泛地研究。本文扩展了一个设备介绍了鲁扎在他的开创性工作介绍这一对应。这个扩展提供了一个工具箱，用于建立和集不等式及其熵版本之间的等价性。它提供了已知结果的简单证明，并为获得新的结果开辟了道路。
Fibonacci Sumsets and the Gonality of Strip Graphs
本研究以加性组合学为图的除子理论提供新视角，通过计算带状图等外平面图的冈性，结合其斐波那契阶循环雅可比矩阵的性质，推导出斐波那契数的若干加性性质结果。
An Entropic Proof of Chang's Inequality
Chang引理是加法组合学和布尔函数分析中的一个有用工具。在这里我们用熵给出一个初等证明。我们得到的常数是紧的，我们给一个轻微的改进的情况下，变量是高度偏置。
Expanding polynomials for sets with additive structure
本文研究小和集上的二元多项式展开，利用 Solymosi–Zahl 邻近性方法并纳入和集大小，得到新的展开下界及其在加性组合与不同距离问题中的应用。
Covering the large spectrum and generalized Riesz products
Chang引理是加法组合学中一个应用广泛的结果。给出了有限阿贝尔群上概率分布的大谱维数的界。最近，Bloom（2016）提出了张引理的一个强大变体，它产生了关于整数稠密子集中3项等差数列的Roth定理的最强已知定量版本。在这篇文章中，我们展示了如何通过熵最大化从概率测度的近似中导出这样的定理。
Explicit RIP matrices: an update
本文利用加性组合学新成果构造了参数更优的显式RIP矩阵，在给定ε和N范围下实现了k = Ω(n^(1/2+ε/4))的阶数。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。