A Homological Definition for the Tate--Shafarevich Group of a Pell Conic
弗朗兹·勒默迈耶以前的工作奠定了描述佩尔二次曲线算术的框架，佩尔二次曲线类似于椭圆曲线。他描述了一组法律的二次曲线和abstitures存在一个类似的泰特-Shafarevich组与秩序平方理想的狭窄类组。本文给出了Tate-Shafarevich群的上同调定义，并证明了它的阶为Lemmermeyer阶.
2018-01-04 math.NT
Structure of Tate-Shafarevich groups of elliptic curves over global function fields
确定了整体函数域上一类椭圆曲线的Tate-Shafarevich群的结构.从专著[1]中已知这些是有限的阿贝尔群，因此它们是有限的循环群的直和，其中这些循环分量的阶是Tate-Shafarevich群的不变量。这种分解的泰特-Shafarevich群直接和有限循环群取决于行为的Drinfeld-Heegner点对这些椭圆曲线。这些点类似于有理数上椭圆曲线上的Heegner点。
2016-02-09 math.NT
The Shafarevich-Tate group in cyclotomic Z_p-extensions at supersingular primes
本文研究了Shafarevich-Tate群的p-准素分支在任意奇素数的超超奇约化化下在分圆方向上的渐近增长性，推广了Kobayashi的工作.这就解释了栗原，Perrin-Riou和Nasybullin在修改的Selmer群的岩泽不变量方面获得的公式。
2011-06-10 math.NT
Abelian fiber spaces and their Tate-Shafarevich twists with sections
本文研究如何从阿贝尔纤维空间出发，构造一个具有有理截面的Tate-Shafarevich扭曲。
2025-04-30 math.AG math.NT
Tate-Shafarevich groups and K3 surfaces
下面（和详细说明）的方法洛根和范Luijk，我们展示了明确的亏格-2曲线的雅可比矩阵有非平凡的2-挠在他们的泰特-Shafarevich群。
2007-11-28 math.AG math.NT
On Tate-Shafarevich groups of some elliptic curves
这是ANT-0166的更新版本。推广Stroeker和Top的结果，我们证明了椭圆曲线$y^2 = (x+k)(x^2+k^2)$的Tate-Shafarevich群的2-秩可以变得任意大.我们还提出了一个猜想的秩Selmer群附加到有理2-等距的椭圆曲线。
1999-03-18 math.NT
Tate-Shafarevich groups of elliptic curves with nontrivial 2-torsion subgroups
对任意数域，证明了存在定义在其上的椭圆曲线，使得其Shafarevich-Tate群具有非平凡的2-挠子群.
2022-05-11 math.AG math.NT
Congruent Elliptic Curves with Non-trivial Shafarevich-Tate Groups
研究了一类全等椭圆曲线$E^{(n)}: y^2=x^3-n^2x$，其中$n$是全等于$1\pmod 8$且素因子全等于$1\pmod 4$的正整数.我们刻画了这样的$E^{(n)}$与Mordell-Weil秩零和$2$ -主要部分的Shafarevich-Tate群同构的$\big(\mathbb Z/2\mathbb Z \big)^2$。我们还讨论了一类具有Shafarevich-Tate群的2-准素部分的$E^{(n)}$同构于具有$k\ge2$的$\big(\mathbb Z/2\mathbb Z \big)^{2k}$.
2016-06-11 math.NT
Orders of Tate-Shafarevich groups for the cubic twists of $X_0(27)$
本文继续了作者以前关于给定椭圆曲线的二次扭和Neumann-Setzer型椭圆曲线族的Tate-Shafarevich群的阶的研究.在这里，我们提出了我们的搜索结果的（解析）阶的Tate-Shafarevich群的三次扭曲的$X_0(27)$。我们的计算推广了Zagier和Kramarz \cite{ZK}以及Watkins \cite{Wat}给出的结果。我们的主要意见关注的渐近公式的阶Tate-Shafarevich群。在最后一节中，我们给出了实二次域类数的一个类似的渐近公式。
2018-03-15 math.NT
On the Tate-Shafarevich group of Abelian schemes over higher dimensional bases over finite fields
我们研究了有限域上高维基上处处好约化化的Abel格式的Tate-Shafarevich群的类似物。
2016-05-25 math.AG math.NT
Relating Tate-Shafarevich group of an elliptic curve with class group
给出了${\mathbb Q}$上的椭圆曲线$E$的Tate-Shafarevich群与${\mathbb Z}/p$上的$Gal({\mathbb Q}(E[p]/{\mathbb Q}) = GL_2({\mathbb Z}/p)$在其上按标准二维表示运算的${\mathbb Q}(E[p])$的类群的商之间的精确关系.我们在大多数情况下都建立了这样的关系。
2019-12-30 math.NT
Large Shafarevich-Tate groups over quadratic number fields
设$E$是有理域$\mathbf{Q}$上的椭圆曲线.设$K$是$\mathbf{Q}$上的二次扩张.设$\mathrm{ST}(E/K)$表示$K$上的$E$的Shafarevich-Tate群。我们证明了（在$E$上的温和条件下）对于每个$r>0$，存在无穷多个$E/\mathbf{Q}$的二次扭曲$E^d/\mathbf{Q}$，使得$\mathrm{dim}_{\mathbf{F}_2}(\mathrm{ST}(E^d/K)[2]) > r$
2018-01-31 math.NT
Computing Tate-Shafarevich groups of multinorm one tori of Kummer type
整体域$k$上的交换代数$L$的多环环面是Kummer型的，如果$L$的每个因子都是循环Kummer扩张。本文基于Bayer-Fluckiger，T.- Y.李和帕里马拉，和T。嗯~李你我们还实现了一个有效的算法，使用SAGE计算Tate-Shafarevich群时，每个因素的$L$是包含在一个固定的具体的双循环扩展的$k$。
2022-11-21 math.NT
Brauer groups and Tate-Shafarevich groups, II
这篇论文已被撤回，任何版本都不会发表。
2009-07-18 math.AG math.NT
Congruent Elliptic Curves with Non-trivial Shafarevich-Tate Groups: Distribution Part
研究了一类子类全等椭圆曲线$E^{(n)}: y^2=x^3-n^2x$的分布，其中$n$全等于$1\pmod 8$且素因子全等于$1\pmod 4$ .我们证明了剩余符号性质的独立性。因此，我们得到了秩为零的分布，如$E^{(n)}$与$2$ -主要部分的Shafarevich-Tate群同构的$\big(\mathbb Z /2\mathbb Z\big)^2$。我们还得到了秩为零的$E^{(n)}$和同构于$\big(\mathbb Z /2\mathbb Z\big)^{4}$的Shafarevich-Tate群的$2$ -准素部分的个数的一个下界.
2015-11-12 math.NT
Visible 2-torsion in the Tate-Shafarevich group of an elliptic curve
University of Cambridge（剑桥大学）
本文证明椭圆曲线的Tate-Shafarevich群中任意两个2-挠元可在同一阿贝尔曲面中可见，推广了先前仅知单个2-挠元的结果，并解释了Cremona和Mazur论文中的一些原始观察。
2026-05-29 math.NT
On the second Tate-Shafarevich group of a 1-motive
我们证明有限性结果泰特-Shafarevich组在2度与1-动机，依靠他们的Leopoldt猜想，并提出了一个例子，一个半阿贝尔品种的无限泰特-Shafarevich组在2度。我们还建立了一个算术对偶定理1-动机数域，补充了Harari和Szamuely在这个方向上的早期结果。
2011-10-24 math.AG math.NT
Constructing non-trivial elements of the Shafarevich-Tate group of an Abelian Variety over a Number Field
Birch and Swinnerton-Dyer（BSD）猜想的第二部分根据曲线的其他可计算不变量给出了椭圆曲线的Shafarevich-Tate群的阶的猜想公式。Cremona和Mazur提出了一个理论，该理论通常可以用来验证BSD猜想，通过构造一条椭圆曲线的Shafarevich-Tate群的非平凡元素，借助于一条环境曲线的Mordell-Weil群。本文推广了Cremona和Mazur的工作，给出了数域上阿贝尔簇的Shafarevich-Tate群可构造的精确条件.然后，我们给出了我们的一般结果的一个扩展，提供了新的理论证据的BSD猜想。
2012-04-02 math.NT
Examples of non-simple abelian surfaces over the rationals with non-square order Tate-Shafarevich group
设A是定数域上的阿贝尔曲面.如果A是主极化的，则已知A的泰特-沙法列维奇群的阶如果是有限的，则必须是平方或平方的两倍。A的情况主要不是两极分化的仍然不清楚。对于{1，2，3，5，6，7，10，13}中的每个k，我们在其Tate-Shafarevich群的阶为k乘平方的有理数上构造一个非简单的非主极化阿贝尔曲面。为了得到这个结果，我们探讨了Birch和Swinnerton-Dyer猜想在等距条件下的不变性。
2014-02-24 math.NT
The p-part of Tate-Shafarevich groups of elliptic curves can be arbitrarily large
本文证明了对任意素数p>5，E/K的Tate-Shafarevich群的p-挠的维数可以任意大，这里E是数域K上的椭圆曲线，[K：Q]的界为仅依赖于p的常数.由此我们推出A/Q的Tate-Shafarevich群的p-挠的维数可以任意大，这里A是阿贝尔簇，dim A的界为仅依赖于p的常数.
2003-05-12 math.NT
Tate-Shafarevich Groups and Frobenius Fields of Reductions of Elliptic Curves
设$\E/\Q$是$\Q$上的固定椭圆曲线，它不具有复乘。在广义黎曼假设下，A. C. Cojocaru和W. Duke等得到了素数$p\le x$个数的渐近公式，使得$\E$模p的约化有平凡的Tate-Shafarevich群. A.最近的研究结果C. Cojocaru和C.大卫导致一个更好的错误项。我们在证明方案中引入了一个新的论点，使证明方案得到了进一步的改进。
2007-11-29 math.NT
Algebraic families of nonzero elements of Shafarevich-Tate groups
我们表明，存在非平凡的家庭的代数簇，所有的纤维以上的有理点（或甚至以上的点的奇数度）是torsors的阿贝尔簇代表非零元素的Shafarevich-Tate群。
1999-01-09 math.AG math.NT
The Tate-Shafarevich groups of multinorm-one tori
设k是整体域，L是k上的有限维代数.本文假设L是k的循环扩张的乘积。令T_{L/k}是由多项式方程：N_{L/k}（t）= 1定义的多项式一环面。设X_c是由方程N_{L/k}（t）= c定义的簇，对k* 中的某个c.本文计算了T_{L/k}的特征标群的Tate-Shafarevich群和代数Tate-Shafarevich群。这些群度量了对X_c的局部-整体存在有理点原理的阻碍和对弱逼近的阻碍。
2021-07-13 math.NT
Congruences of modular forms and modularity of Tate-Shafarevich classes
本文在适当假设下证明了有理数上椭圆曲线的$p$-挠Tate-Shafarevich类在模曲线Jacobi商群中的可见性，验证了Jetchev-Stein猜想，其核心方法是利用Bertolini-Darmon二部Kolyvagin系统的非平凡性来推导Selmer群模$p$的基。
2024-02-11 math.NT
Brauer groups and Tate-Shafarevich groups
设X_K是整体域K上的一条正常的、光滑的、几何连通的曲线.本文推广了Milne关于X_K的Jacobian的Tate-Shafarevich群的阶与X_K的正则模型的Brauer群的阶之间关系的一个公式。因此，我们部分地回答了格罗滕迪克的一个问题。
2001-04-24 math.AG math.NT
Visibility of Shafarevich-Tate group of abelian varieties over number field extensions
给定数域K上的一个阿贝尔簇J和J的一个阿贝尔子簇A，研究了在K的一定个数的域扩张M上A关于J的Shafarevich-Tate群的可见元. Mazur在阿贝尔簇的Shafarevich-Tate群中引入了可见元的概念。本文研究了A在K上的Galois上同调到A在M上的Galois上同调的自然限制映射下A关于J的可见元的象。特别地，对于固定的奇素数p，我们研究了在K的二次扩张或p次扩张M上产生p阶可见元的条件。
2016-06-26 math.NT
Tate's conjecture and the Tate-Shafarevich group over global function fields
设$\mathcal X$是一个正则簇，在有限域上的一条完备正则曲线上是平坦的和真的，使得一般纤维$X$是光滑的和几何连通的。我们证明了$\mathcal X$的Brauer群是有限的当且仅当Tate关于$X$上因子的猜想成立，并且$X$的Albanese簇的Tate-Shafarevich群是有限的，推广了Artin和Grothendieck关于任意相对维数曲面的一个定理.我们还给出了一个公式有关的命令组的假设下，他们是有限的，推广的公式给出了一个表面。
2018-08-04 math.AG math.NT
Congruence Relations Connecting Tate-Shafarevich Groups with Bernoulli-Hurwitz Numbers by Elliptic Gauss Sums in Eisenstein Case
虚二次域的类数与Bernoulli数或欧拉数之间存在经典的同余关系。在BSD猜想下，Onishi得到了这些同余的一个椭圆推广，它给出了某些具有CM的椭圆曲线的Tate-Shafarevich群在高斯整数环上的阶与Mordell-Weil秩0之间的同余，以及与高斯整数环相关联的椭圆函数的幂级数展开系数。本文给出了Eisenstein整数情形下的Onishi型同余。
2022-04-09 math.NT
On Shafarevich-Tate groups and the arithmetic of Fermat Curves
本文推广了第一作者关于素数阶费马曲线商的雅可比行列式的Shafarevich-Tate群中的非平凡元素的结果，并利用第二作者的方法导出了19阶费马曲线上二次点的一个结果。
2002-10-31 math.AG math.NT
On the asymptotic growth of Bloch-Kato-Shafarevich-Tate groups of modular forms over cyclotomic extensions
研究了Q的分圆Zp-扩张上的模形式f的Bloch-Kato-Shafarevich-Tate群的渐近行为，并假设f在p处是非平凡的.特别地，我们给出了这些群的上界，它们是用p-adic Hodge理论定义的Selmer群的岩泽不变量.这些界与Kobayashi，Kurihara和Sprung关于超奇椭圆曲线的公式具有相同的形式.
2016-09-29 math.NT
On the $p$-torsion of the Tate-Shafarevich group of abelian varieties over higher dimensional bases over finite fields
证明了有限域上整正规真簇上有限平坦群格式的第一平坦上同调群的有限性定理。因此，我们可以证明的有限性的Tate-Shafarevich群的阿贝尔计划在高维基的同构和变更下的有限性的$p$ -部分。一路上，我们推广了以前的结果在这种情况下的Tate-Shafarevich群。
2022-03-11 math.AG math.NT
Visualizing elements of order four in the Shafarevich-Tate group of an elliptic curve
设E是定义在数域K上的椭圆曲线。设h是E的Shafarevich-Tate群中的一个4阶元素.我们证明了h在无穷多个阿贝尔曲面中直到同构都是可见的。这就是说，存在无穷多个阿贝尔曲面J，使得E \hookrightarrow J和h位于自然映射H^1（K，E）\rightarrow H^1（K，J）的核中。
2011-03-01 math.NT
On the structure of Selmer and Shafarevich-Tate groups of higher weight modular forms
在Heegner点无挠的假设下，Kolyvagin的结果描述了椭圆曲线的Shafarevich-Tate群的结构.本文证明了虚二次域上的（$p$ -准素）Shafarevich-Tate群与高权模形式相关的类似结果，并满足Heegner假设.更确切地说，我们表明，结构的Shafarevich泰特集团的上同调类建立了Nekovásness的Heegner周期Kuga-Sato品种。作为主要定理的一个应用，我们改进了Besser关于这类群的阶的一个界的结果。作为第二个贡献，我们证明了一个结果的结构（$p$ -准）Selmer群的模形式的意义上的Bloch-Kato。
2017-05-01 math.AG math.NT
Asymptotic formula for Tate-Shafarevich groups of $p$-supersingular elliptic curves over anticyclotomic extensions
本文在广义Heegner假设下，研究了p-超奇异椭圆曲线在反圆塔Z_p-扩张中数域上的Tate-Shafarevich群的p-准素子群，并给出了其渐近公式。
2023-09-18 math.NT
On Tate--Shafarevich groups of one-dimensional families of commutative group schemes over number fields
给定域$k$上的光滑几何连通曲线$C$和$C$的函数域$K$上的有限型光滑交换群概型$G$，研究了由$H^1(K,G)$的元素在$K$的与$C$的闭点相关联的完备化上局部平凡所给出的Tate-Shafarevich群.当$G$来自$k$ -群方案且$k$是数域（或$k$是一个非生成域且$C$有一个$k$ -点）时，我们证明了Tate-Shafarevich群是有限的，推广了Saïdi和Tamagawa关于阿贝尔簇的一个结果.在$G$是环面的情况下，我们也给出了非平凡Tate-Shafarevich群的例子，并证明了其他相关的陈述。
2022-05-17 math.AG math.NT
Behaviour of the order of Tate-Shafarevich groups for the quadratic twists of elliptic curves
本文给出了关于椭圆曲线二次扭转的Tate-Shafarevich群的阶的研究结果。给出了一个一般猜想，对$\Bbb Q$上的固定椭圆曲线$E$和正整数$k$，在有限群$E_d(\Bbb Q)$和$|\Sha(E_d(\Bbb Q))| = k^2$的情况下，给出了小于$X$的二次扭曲数$E_d$，$d$的渐近公式.本文继续了作者以前关于Tate-Shafarevich群在曲线$X_0(49)$的二次扭中的阶的研究。在第8节中，我们展示了具有$|\Sha(E)| > 63408^2$的秩为零的椭圆曲线的$88$示例，这是之前已知的任何显式曲线的最大值。我们的记录是一个椭圆曲线$E$与$|\Sha(E)| = 1029212^2$。
2016-11-23 math.NT
An Asymptotic formula for Tate-Shafarevich groups of CM elliptic curves at supersingular primes
本文在Kobayashi符号Selmer群的附加假设下，对具有复乘的椭圆曲线在反圆$\mathbb{Z}_p$-扩张中间层上的Tate-Shafarevich群证明了渐近公式。
2025-04-08 math.NT
Comparing the Brauer group and the Tate Shafarevich group
给出了一个将有限域上曲线上纤维化曲面的Brauer群的阶与一般纤维的Jacobian的Tate-Shafarevich群的阶联系起来的公式。这个公式意味着有限域上光滑真曲面的Brauer群是平方群，如果它是有限的。
2018-06-04 math.AG math.NT
A classical family of elliptic curves having rank one and the $2$-primary part of their Tate-Shafarevich group non-trivial
本文研究$x^3+y^3=2p$和$x^3+y^3=2p^2$形式的椭圆曲线，其中$p$是满足$p\equiv 2\bmod 9$或$p\equiv 5\bmod 9$的奇素数.我们首先表明，$3$ -部分的Birch-Swinnerton-Dyer猜想持有这些曲线。然后我们将它们的$2$ -Selmer群与$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{p})$的理想类群的$2$ -秩联系起来，得到了秩为1的椭圆曲线的一些例子和Tate-Shafarevich群的非平凡$2$ -部分.
2021-03-11 math.NT
Mod-p reducibility, the torsion subgroup, and the Shafarevich-Tate group
设$E$是素导体$N$的$\Q$上的最优椭圆曲线.我们表明，如果对于一个奇素数$p$，模$p$表示相关联的$E$是可约的（特别是，如果$p$划分的阶的扭转子群的$E(\Q)$），那么$p$ -主要成分的Shafarevich-Tate群的$E$是平凡的。我们还指出了一个相关的结果，更一般的交换子品种的$J_0(N)$，并提到什么期望，如果$N$不是素数。
2009-05-26 math.AG math.NT
Weil-Châtelet divisible elements in Tate-Shafarevich groups II: On a question of Cassels
对于数域k上的阿贝尔簇A，讨论了子群Sha（A/k）的元素在H^1（k，A）中的整除性.对于Q上的椭圆曲线，所得结果是最完备的.
2013-08-21 math.NT
Elements of given order in Tate-Shafarevich groups of abelian varieties in quadratic twist families
设$A$是数域$F$上的阿贝尔簇，$p$是素数. Cohen-Lenstra-Delaunay型代数预言，$A_s$的Tate-Shafarevich群应该包含一个$p$阶元素，因为$A$的二次扭曲$A_s$的比例为正。我们通过利用$A$的独立同构给出了证明该猜想实例的一般方法。对于每一个素数$p$，有一大类椭圆曲线，我们的方法表明，正比例的二次扭曲有非平凡的$p$ -扭转在他们的Tate-Shafarevich群。特别地，当模曲线$X_0(3p)$具有无穷多个$F$ -有理数点时，该方法适用于具有循环$3p$ -等距的“最”椭圆曲线$E$。当$X_0(3p)$只有1000个点时，它也适用于某些情况。例如，我们发现一个椭圆曲线上的$\mathbb{Q}$，其中正比例的二次扭曲有一个元素的$5$阶在他们的泰特-Shafarevich群。该方法适用于任意维数的阿贝尔簇，至少在原则上。作为一个概念的证明，我们给，对于每个总理$p \equiv 1 \pmod 9$，CM阿贝尔三倍的正比例的二次扭曲有元素的顺序$p$在他们的泰特-Shafarevich群的例子。
2019-03-29 math.NT
Elliptic curves with large Tate-Shafarevich groups over $\mathbb{F}_q(t)$
设$\mathbb{F}_q$是具有奇特征$p$的有限域.我们展示了有理函数域$K = \mathbb{F}_q(t)$上的椭圆曲线，其Tate-Shafarevich群是大的。更精确地说，我们考虑某些无限序列的显式椭圆曲线$E$，我们证明了他们的Tate-Shafarevich群$\mathrm{III}(E)$是有限的，并满足$|\mathrm{III}(E)| = H(E)^{1+o(1)}$作为$H(E)\to\infty$，其中$H(E)$表示指数微分高度的$E$。这些序列中的椭圆曲线两两之间既不是同构的，也不是几何同构的。进一步证明了Tate-Shafarevich群的$p$ -准素部分是平凡的.证明涉及明确计算这些椭圆曲线的$L$ -函数，证明BSD猜想，并获得估计的$L$ -函数的中心值的大小。
2019-07-30 math.AG math.NT
Rank Jumps and Growth of Shafarevich--Tate Groups for Elliptic Curves in $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$-Extensions
该研究利用岩泽理论探究素数阶循环扩张中椭圆曲线的秩跳跃，以及$p$-主素Selmer群和Shafarevich–Tate群的增长，改进了相关已有结果。
2023-04-20 math.NT
Nontrivial torsion in the Tate--Shafarevich group of elliptic curves via visibility and twists
Tohoku University（东北大学）
本文研究了椭圆曲线在ℓ处加法减少时的可见性定理，推导出合适二次扭变下Sha群中存在非平凡ℓ-torsion，并以ℓ=3为例，展示具有相同BSD不变量等特征的非同构椭圆曲线对，其Tate-Shafarevich群同构且有非平凡3-primary部分。
2026-11-10 math.NT
Horizontal variation of Tate--Shafarevich groups
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。设$p$是奇素数，$ι: \overline{\mathbb{Q}}\hookrightarrow \mathbb{C}_p$是嵌入.设$K$为虚二次域，$H_{K}$为相应的Hilbert类域.对于$K$上的类群字符$χ$，令$\mathbb{Q}(χ)$是由$χ$的图像生成的域，并且$\mathfrak{p}_χ$是通过$ι_p$确定的$p$之上的$\mathbb{Q}(χ)$的素数。在温和的假设下，我们表明，类组字符$χ$的数量，使$χ$ -同型泰特-Shafarevich组的$E$在$H_{K}$是有限的平凡的$\mathfrak{p}_χ$ -部分增加的判别式的绝对值$K$。
2017-12-31 math.NT
Finiteness of the Tate-Shafarevich Groups for Elliptic Curves over the Field of Rational Numbers
设$E$是$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线。设$\underline{III}(E)$是$E$的齐性空间的等价类的一个群，称为它的Tate-Shafarevich群。本文证明了这个群具有有限的基数，并讨论了它在Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想中的作用。特别地，我们的结果暗示奇偶猜想，或Birch和Swinnerton-Dyer猜想模2。它也消除了$\underline{III}(E)$的有限性条件，使强Birch猜想和Swinnerton-Dyer猜想的计算问题成为可能.此外，我们还给出了三次平面曲线的Hasse-Minkowski定理的一个类似定理。
2013-09-29 math.NT
Finitude du groupe de Tate-Shafarevich pour les groupes de type multiplicatif constants sur des corps des fonctions
本文研究了函数域扩张上乘性类型群的Tate-Shafarevich群，证明了在满足两个技术条件时该群有限，并在整数环正则时该群平凡。
2025-04-28 math.NT
On Tate-Shafarevich groups of 1-motives
本文证明了限制映射III^{i}（F，M）-> III^{i}（K，M）^{G}（i=1和2）的核和上核的有限性，其中M是整体域F上的（Deligne）1-motive，K/F是具有伽罗瓦群G的整体域的有限伽罗瓦扩张.
2016-08-06 math.AG math.NT
Variation of Shafarevich-Tate groups in Hida families
Università di Genova（热那亚大学）；Università di Padova（帕多瓦大学）；FernUni Schweiz（瑞士远程大学）
该研究针对希达族，借助通用科利瓦金系统确定了大沙法列维奇-泰特群的伪同构类，并分析了其经典特殊化的沙法列维奇-泰特群结构的变化。
2026-11-13 math.AG math.NT
On Tate-Shafarevich groups of abelian varieties
设$K/F$是数域的有限伽罗瓦扩张，其伽罗瓦群为$G$，$A$是定义在$F$上的阿贝尔簇，${\cyr W}(A_{^{/ K}})$和${\cyr W}(A_{^{/ F}})$分别表示$A$在$K$上和$A$在$F$上的Tate-Shafarevich群.假设这些群是有限的，在对$A$和$K/F$的某些限制下，我们导出了$G$ -不变元的${\cyr W}(A_{^{/ K}})$的子群的阶的公式.作为推论，当$K/F$是二次扩张，$A^χ$是$A$的扭曲，由$G$的非平凡特征元$χ$，我们得到了一个简单的公式，它关系到${\cyr W}(A_{^{/ K}})$，${\cyr W}(A_{^{/ F}})$和${\cyr W}(A_{^{/ F}}^χ)$的阶.
1998-04-26 math.NT
Ideal class groups of number fields and Bloch-Kato's Tate-Shafarevich groups for symmetric powers of elliptic curves
对于$\mathbb{Q}$上的椭圆曲线$E$，把$E$的第$p$ -除域$K=\mathbb{Q}(E[p])$作为奇素数$p$，研究了$K$的理想类群$\mathrm{Cl}_K$作为$\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ -模.更精确地说，对于任何具有$1\leqslant j \leqslant p-2$的$j$，我们给出了一个条件，即$\mathrm{Cl}_K\otimes \mathbb{F}_p$的商$\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ -模具有$E[p]$的对称幂$\mathrm{Sym}^j E[p]$，这是根据$\mathrm{Sym}^j V_p E$的Bloch-Kato Tate-Shafarevich群给出的.这里$V_p E$表示$E$的有理$p$-adic Tate模.这是Prasad和Shekhar关于$j=1$情形的一个结果的部分推广。
2022-04-16 math.NT
The Tate-Shafarevich group for elliptic curves with complex multiplication II
设E是Q上具有复乘的椭圆曲线.本文的目的是加强\cite{CZS}的理论和数值结果。对于每个素数p，设t_{E/Q, p}表示E/Q的Tate-Shafarevich群的p-准素子群的Z_p-余秩。对于每个ε 0，我们证明了对于所有足够大的好的普通素数p，t_{E/Q, p}上界为（1/2 + ε）p。我们还对一个秩为3的E和5个秩为2的E进行了数值计算，表明在所有情况下，对于所有p <30，000的好的普通素数，t_{E/Q, p} = 0。事实上，我们证明了，除了在这个范围内可能存在一个好的普通素数，只有一条秩为2的曲线，该曲线的Tate-Shafarevich群的p-准素子群为零（总是假设p是好的普通素数）。
2010-05-27 math.NT
On the density of abelian surfaces with Tate- Shafarevich group of order five times a square
本文研究由两条带五阶挠点的椭圆曲线乘积构造的阿贝尔曲面，给出判定其 Tate-Shafarevich 群阶是否为五倍平方数的算法，并在约 2000 万个样本中发现 49.16% 具有非平方阶。
2013-03-14 math.NT
