Pseudospectral approximation of Hopf bifurcation for delay differential equations
伪谱近似将延迟微分方程（DDE）简化为常微分方程（ODE）。接下来可以使用ODE工具来执行数值分叉分析。通过一个例子，我们表明，这产生了一个有效的和可靠的方法来定性和定量分析某些DDE。为了证实该方法，我们接下来表明，近似常微分方程的结构是让人想起沿着DDE的解决方案的翻译生成器的结构。集中在霍普夫分歧，我们然后利用这种相似性，揭示DDE和ODE分歧系数之间的联系，并证明后者收敛到前者时，尺寸接近无穷大。
2020-10-20 math.DS
Validated error bounds for pseudospectral approximation of delay differential equations: unstable manifolds
针对延迟微分方程伪谱近似的不稳定流形误差量化问题，提出基于参数化方法的计算机辅助算法，利用伪谱ODE的特殊结构将向量值泰勒系数计算简化为标量序列求解，显著降低了问题复杂度。
2024-05-13 math.DS
Bifurcations in economic growth model with distributed time delay transformed to ODE
考虑具有时滞投资函数的经济增长模型。假设投资是时间分布的，我们可以利用线性链技巧将时滞微分方程系统转化为常微分系统的等价系统。时间延迟参数是伽马分布的平均时间延迟。我们减少了系统的分布延迟的三维和四维常微分方程。我们研究了这些系统关于两个参数的Hopf分支：时滞参数和增长率参数。我们从分析以及数值研究得出的结果。在此基础上，我们得到了通过Hopf分支的极限环解的存在性和稳定性的充分判据。在与达纳和Malgrange投资函数的数值研究中，我们发现了两个霍普夫分叉的速度增长参数和检测稳定的长周期经济周期的存在。我们发现，依赖于时间延迟和调整速度参数的增长率参数的容许值的范围分解成三个区间。首先，我们有稳定的焦点，然后极限环，再次稳定的解决方案，两个霍普夫分支。这种行为出现在增长率参数值的容许范围的某个中间区间。
2020-02-12 econ.GN econ.TH math.DS
Distributed Delay Differential Equation Representations of Cyclic Differential Equations
分室常微分方程（ODE）模型在数学生物学中有着广泛的应用。当车厢之间的运输发生在一个恒定的速度，众所周知的线性链技巧可以用来表明，ODE模型是等效的一个Erlang分布延迟微分方程（DDE）。在这里，我们证明，房室模型与非线性传输率和可能延迟的参数也相当于一个标量分布的延迟微分方程。为了说明这些等价关系的效用，我们计算标量DDE的平衡，并计算特征函数--不计算行列式。我们推导出等效标量DDE的数学生物学模型的两个例子，并使用DDE制定，以确定生理过程，否则隐藏的房室结构的ODE模型。
2020-07-07 math.DS q-bio.QM
Memory-induced blow-up solutions and their dynamical transitions in distributed delay differential equations
Department of Mathematics, School of Science and Technology, Meiji University（明治大学理工学部数学系）
本文研究分布式延迟微分方程中记忆效应诱导的有限时间爆破，通过线性链技巧约化为二维ODE并分析无穷远动力学，发现记忆可加速爆破速率或转变爆破类型，且存在阈值现象控制爆破发生。
2026-09-15 math.DS
Persistence and Smooth Dependence on Parameters of Periodic Orbits in Functional Differential Equations Close to an ODE or an Evolutionary PDE
我们考虑泛函微分方程（FDES），它是光滑常微分方程（ODE）的扰动。FDE可以涉及多个状态相关延迟或分布式延迟（前向或后向）。我们证明了，在一些温和的假设下，如果常微分方程有一个非退化的周期轨道，那么FDE有一个光滑的周期轨道。此外，我们还得到了周期轨道及其频率对参数的光滑依赖性，具有很高的正则性。这一结果也适用于某些演化偏微分方程（PDE）的扰动形式。证明包括在解决函数方程满足的参数化的周期轨道和频率使用不动点的方法。我们不需要考虑演化的光滑性，甚至不需要考虑FDE的相空间。
2021-03-09 math.DS math.FA
New functionalities in MatCont: delay equations and Lyapunov exponents
University of Udine（乌迪内大学）；University of Twente（特温特大学）；University of Leeds（利兹大学）
MatCont 7p6版本新增延迟方程导入器、Lyapunov指数计算、Poincaré映射事件函数及增强同宿延拓功能，扩展了数值分岔分析能力。
2025-11-04 math.DS
Periodic perturbations with delay of separated variables differential equations
研究了流形上扰动非自治的T-周期分离变量常微分方程的调和解的结构。扰动项允许包含有限时滞，并且在时间上是T-周期的。
2012-02-13 math.CA math.DS
Persistence of hyperbolic solutions of ODE's under functional perturbations: Applications to the motion of relativistic charged particles
本文针对 Wheeler-Feynman 电动力学等含轨迹依赖延迟与超前项的泛函微分方程，提出基于常微分方程双曲解弱接近假设的直接构造方法，严格构造多种解并证明其光滑依赖参数及形式近似的有效性。
2025-03-06 math-ph math.DS math.MP
High-order Lohner-type algorithm for rigorous computation of Poincaré maps in systems of Delay Differential Equations with several delays
提出一种用于多时滞时滞微分方程严格积分的高阶 Lohner 型算法，基于解的分段 Taylor 表示与平滑特性计算 Poincaré 映射，并结合拓扑技术证明了 Mackey-Glass 方程和 Rössler 系统中的复杂动力学行为。
2023-03-12 cs.NA math.DS math.NA
Quasi-periodic solutions for differential equations with an elliptic-type degenerate equilibrium point under small perturbations
本文主要研究了具有椭圆型退化平衡点的常微分方程和时滞微分方程（简称常微分方程和时滞微分方程）在拟周期扰动下的拟周期解的存在性.我们证明了在适当的假设下，对于大多数参数值，扰动常微分方程和扰动微分方程在平衡点附近存在拟周期解，然后将这些结果应用于具有零Hopf奇异性的时滞van der Pol振子.
2017-10-03 math.DS
Lyapunov-Razumikhin techniques for state-dependent delay differential equations
利用Lyapunov-Razumikhin方法，给出了一般状态依赖时滞微分方程（DDE）定态解的Lyapunov稳定性和渐近稳定性定理.我们的结果适用于多个离散状态依赖时滞的微分方程，这可能是非自治的李雅普诺夫稳定性结果，但自治（或周期性强迫）的渐近稳定性的结果。我们的主要技术是用一个非自治的常微分方程（ODE）代替DDE，其中延迟项成为ODE中的源项。渐近稳定性的结果及其证明是全新的，并基于一个矛盾的论点与Arzela-Ascoli定理。这种方法证明了需要构造辅助函数，以确保渐近收缩，这是一个功能的所有其他Lyapunov-Razumikhin渐近稳定性的结果，我们知道。我们将我们的结果应用到一个状态相关的模型方程，其中包括Hayes方程作为一个特殊情况下，直接建立渐近稳定性的部分稳定域以及下界的吸引区域的大小。
2020-12-11 math.DS
Low-Dimensional Galerkin Approximations of Nonlinear Delay Differential Equations
本文重新讨论了非线性时滞微分方程组的常微分方程逼近问题。我们的工作在Hilbert空间赋予了一个自然的内积，包括一个质点，并引入多项式正交相对于这样的内积，生活在域中的线性算子相关的基础DDE。然后，这些多项式被用来设计一个一般的Galerkin计划，我们推导出严格的收敛结果，并表明它可以通过简单的解析公式数值实现。这样得到的计划适用于三个非线性DDE，两个自治和一个强制：（一）一个简单的DDE与分布延迟的解决方案回忆布朗运动;（二）DDE与离散延迟，表现出双峰和混沌动力学;和（三）周期性强迫DDE与两个离散延迟产生的气候动力学。在所有这三种情况下，Galerkin计划介绍了这篇文章提供了一个很好的近似的DDE的奇异吸引子，以及统计特征，其非线性动力学的低维ODE系统。
2015-09-02 math.CA math.DS nlin.CD
Fast generation of stability charts for time-delay systems using continuation of characteristic roots
许多动态过程都含有时滞，因此它们的动力学行为可以用时滞微分方程（DDE）来描述。研究动态系统的稳定性是至关重要的，但分析时滞系统的稳定性是具有挑战性的，因为DDE是无限维的。我们提出了一种新的方法来快速生成稳定性图表的DDE使用连续的特征根（CCR）。在我们的CCR方法中，一个DDE的特征方程的根被写为感兴趣的参数的隐函数，并推导出的连续方程的形式常微分方程（ODEs）。数值延拓，然后确定在参数空间中的所有点的特征根，原来的DDE的稳定性，然后可以很容易地确定。所提出的方法的一个关键的优点是，系统的线性无关常微分方程的解决，而不是解决一个大的本征值问题在域中的每个网格点的典型策略。因此，CCR方法显着减少了确定DDE稳定性所需的计算工作量。正如我们用几个例子证明的那样，CCR方法生成高度精确的稳定性图表，并且比Galerkin近似方法快10倍。
2020-05-18 math.DS nlin.CD
An algorithm for distributed time delay identification based on a mixed Erlang kernel approximation and the linear chain trick
提出一种仅依赖 ODE 仿真的 DDE 分布式延迟识别算法，通过混合 Erlang 核近似、LCT 转换和单步打靶最小二乘估计参数，并在 logistic 方程与熔盐反应堆模型中验证。
2024-05-12 cs.SY eess.SY math.DS
Mild solutions, variation of constants formula, and linearized stability for delay differential equations
本文通过引入温和解概念，为延迟微分方程建立了常数变易公式，并据此证明了线性化稳定性原理和Poincaré-Lyapunov定理，无需解的唯一性假设。
2023-03-31 math.CA math.DS
Global extinction, dissipativity and persistence for a certain class of differential equations with state-dependent delay
在本文中，我们研究，在不同层次的一般性，某些系统的延迟微分方程（DDE）。一个焦点和动机是一个系统与状态依赖延迟（SD-DDE），已制定描述干细胞的成熟。我们将该系统称为单元SD-DDE。在单元SD-DDE中，延迟由阈值条件隐含地定义。后者由外部非线性常微分方程（ODE）的（也是隐式定义的）解满足给定门限值的时间指定，该解由SD-DDE的分量参数化。重点讨论了零平衡点的全局渐近稳定性、持久性和耗散性/最终有界性等动力学性质。
2020-01-31 math.DS
Phase oscillator networks with multiple and state-dependent delays: A framework for exploring white matter plasticity in neurodynamics
University of Nottingham（诺丁汉大学）；Istanbul Ticaret University（伊斯坦布尔商科大学）
本文提出一个含多重和状态依赖时滞的相位振子网络框架，通过约化为时滞微分方程分析白质可塑性对神经动力学的影响，发现其可促进网络更连贯的行为。
2026-09-09 math.DS
Bifurcation Analysis of Generalized Hopf Bifurcation in Ordinary and Delay Differential Equations
针对 ODE 与 DDE 中广义 Hopf 点附近一阶预测子无法区分 H 与 LPC 曲线的问题，本文推导并实现了需要七阶导数的 LPC 高阶预测子，并通过多个模型验证其有效性。
2025-07-24 math.DS
Growth Rates of Solutions of Superlinear Ordinary Differential Equations
在这封信中，我们得到了一个非自治强迫项的非线性常微分方程解的增长率的精确估计。该方程在状态变量中是超线性的，因此解表现出快速增长和有限时间爆破。这里考虑的类型的常微分方程的重要性源于它们在理解涉及延迟和随机性的更复杂系统的渐近行为中所起的关键作用。
2017-02-21 math.CA math.DS
Neural Delay Differential Equations
Fudan University（复旦大学）
神经常微分方程（Neural Ordinary Differential Equations，NODEs）作为一种连续深度神经网络的框架，在处理一些典型数据集时表现出了优异的性能，得到了广泛的应用。最近，一个增强的框架已经成功地克服了一些局限性出现在原框架的应用。在这里，我们提出了一类新的连续深度的神经网络与延迟，命名为神经延迟微分方程（NDDE），并计算相应的梯度，我们使用伴随灵敏度方法来获得的延迟动力学的伴随。由于时滞微分方程通常被看作是无穷维动力系统，具有更丰富的动力学性质，因此，与NODE相比，NDDE具有更强的非线性表示能力。事实上，我们分析验证了NDDE是通用的逼近器，并进一步阐明了NDDE的扩展，其中NDDE的初始函数应该满足常微分方程。更重要的是，我们用几个说明性的例子来证明的NDDE和NDDE与ODE的初始值的突出能力。具体来说，（1）我们成功地建模了延迟动力学，其中低维相空间中的轨迹可以相互重叠，而没有任何论证的传统NODE不直接适用于这种建模，以及（2）我们不仅对复杂模型综合产生的数据而且对真实世界的图像数据集实现了更低的损失和更高的精度，即，CIFAR10、MNIST和SVHN。我们的研究结果表明，适当地阐明动态系统的元素到网络的设计是真正有益的，以促进网络的性能。
2021-02-22 cs.AI cs.LG math.DS
Characterizations of input-to-state stability for infinite-dimensional systems
本文证明了一类无穷维控制系统的输入-状态稳定性的特征，包括巴拿赫空间上的发展方程、时滞系统、常微分方程、切换系统等。这些刻画推广了Sontag和Wang对常微分系统证明的ISS准则。对于特殊情况下的微分方程在巴拿赫空间，我们证明了更广泛的标准ISS和应用这些结果表明，（在一些温和的限制）存在一个非强制性的ISS李雅普诺夫函数意味着ISS。我们引入了强ISS的新概念，它等价于ISS在ODE的情况下，但严格弱于ISS在无限维设置，并证明了sISS属性的几个标准。同时，我们通过反例表明，许多特征，这是有效的常微分方程的情况下，是不正确的一般无限维系统。
2017-09-20 math.AP math.DS math.OC
A differential equation with state-dependent delay from cell population biology
我们分析了一个状态依赖时滞的微分方程，该时滞是通过常微分方程的解隐式定义的。该方程描述了一个已建立但很少分析的细胞群体模型。基于Hartung，Krisztin，Walther和Wu的理论结果，我们阐述了模型成分的条件，特别是生命率，保证了局部半流的存在。这里的证明是基于隐函数参数。为了证明全局存在性，我们采用了一个定理，从一个经典的书籍泛函微分方程的黑尔和Lunel，它给出了条件下，如果没有全局存在性-封闭和有界集是好的，以$C^1$ -拓扑，这是自然的设置时，处理状态依赖延迟。这个证明是基于度量空间上半流的一个较早的结果。
2014-11-12 math.CA math.DS
Data-Driven Reduced Modeling of Delayed Dynamical Systems via Spectral Submanifolds
ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出了一种基于谱子流形理论的数据驱动方法，用于减少非线性延迟系统的模型复杂度，通过比较基于方程和数据驱动的SSM降维方法，展示了该方法在处理延迟微分方程时的有效性，并应用于多个非线性延迟系统，得到无延迟的ODE模型。
2026-05-21 math.DS nlin.CD
Biomass transfer on autocatalytic reaction network: a delay differential equation formulation
Institute of Molecular Biology, Academia Sinica（中央研究院分子生物学研究所）；National Center for Theoretical Sciences, Physics Division（国家理论科学中心物理组）；Sarafan Chemistry, Engineering, and Medicine for Human Health Institute, Stanford University（斯坦福大学萨弗兰化学、工程与人类健康医学研究所）；Howard Hughes Medical Institute, Stanford University（霍华德·休斯医学研究所）
本文提出了一种通过延迟微分方程描述自催化反应网络中生物质转移过程的方法，用于分析和比较不同拓扑结构的反应网络并估计生长率。
2026-02-04 cond-mat.soft math.DS q-bio.MN
Parameterization method for state-dependent delay perturbation of an ordinary differential equation
本文考虑了一个具有极限环的平面常微分方程的状态依赖时滞方程。这些情况出现在几个物理过程的模型中，其中添加了小的延迟效应。即使延迟很小，它们也是非常奇异扰动，因为SDDE的自然相空间是无限维空间。我们发现，SDDE承认的解决方案，类似的解决方案的常微分方程。也就是说，存在一个周期解和一个双参数解族，其演化收敛于周期解。即使SDDE的相空间自然是一个空间的功能，我们表明，有初始值，导致类似的ODE的解决方案。证明方法绕过了SDDE的存在性、唯一性、参数依赖性等理论。我们认为，有一个很好的定义的行为（如周期性的，或渐近周期性）的时间函数的类，并推导出一个函数方程，它规定，他们是SDDE的解决方案。这些函数方程研究使用的泛函分析的方法。我们给出了一个“后验”形式的结果：给定函数方程的一个近似解，如果它具有好的条件数，我们证明了存在接近近似解的真解.因此，我们可以用这个结果来验证数值计算的结果。证明的方法也导致实际的算法。在配套文件中，我们提出的实施细节和代表性的结果。这里提出的方法的一个特点是，它允许获得光滑的依赖于参数的周期性的解决方案和他们的慢稳定的流形，而不研究的光滑性的流动（这似乎是有问题的SDDE，现在的最佳结果光滑的流动是$C^1$）。
2020-05-12 math.CA math.DS math.FA
A continuous semiflow on a space of Lipschitz functions for a differential equation with state-dependent delay from cell biology
建立了一类时滞微分方程（DDE）解的存在性、唯一性和连续依赖性的已有结果的变形。我们应用这些继续分析的微分方程从细胞生物学与状态相关的延迟，隐式定义为时间时的解决方案的非线性常微分方程，这取决于状态的DDE，达到一个阈值。对于这个应用程序，以前的结果被限制到属于所谓的解决方案流形的初始历史。在这里，我们推广的结果，一组非负的Lipschitz初始历史，这是远远大于解决方案的流形，而且凸。此外，我们的解决方案定义了一个半流，是连续的状态组件中的$C([-h,0],\R^2)$拓扑结构，这是一个变种的半流建立微分$C^1([-h,0],\R^2)$。对于相伴系统，我们证明了凸集和紧集在有限时间半流下的不变性。
2019-03-05 math.DS
Neural Piecewise-Constant Delay Differential Equations
Microsoft Research Asia（微软亚洲研究院）
近年来，连续深度神经网络（如神经常微分方程（ODE））引起了机器学习和数据科学界的极大兴趣，它在深度神经网络和动力系统之间架起了桥梁。在这篇文章中，我们介绍了一种新的连续深度神经网络，称为神经分段常数延迟微分方程（PCDDE）。在这里，不同于最近提出的神经延迟微分方程（DDE）的框架，我们将单个延迟转换为分段常数延迟。一方面，具有这种变换的神经PCDDE继承了神经DDE的通用逼近能力。另一方面，神经PCDDE利用来自多个先前时间步的信息的贡献，进一步提高建模能力而不增加网络维度。通过这样的推广，我们证明了神经PCDDE在一维分段常数延迟种群动力学和真实世界数据集（包括MNIST，CIFAR10和SVHN）上的表现确实优于现有的几种连续深度神经框架。
2022-01-04 cs.AI cs.LG math.DS
Galerkin approximations for the optimal control of nonlinear delay differential equations
研究了非线性时滞微分方程的最优控制问题，提出了一种基于Koornwinder多项式的广义Galerkin逼近方法。误差估计所产生的Galerkin-Koornwinder逼近的最优控制和价值函数，推导出了广泛的一类成本泛函和非线性DDE。在参数空间中，在离Hopf歧点不远的一个时滞Logistic方程组上，给出了该方法的应用.在这种情况下，我们表明，一个标准的二次成本功能的低维控制可以有效地计算从Galerkin-Koornwinder近似，以减少在一个接近最佳成本的DDE的解决方案所显示的振荡幅度。最优控制计算庞特里亚金的最大值原理（PMP）和相应的ODE系统的Hamilton-Jacobi-Bellman方程（HJB），提供良好的协议数值解。最后指出，从相应的约化HJB方程计算的值函数提供了一个很好的近似，从完整的HJB方程。
2017-06-07 math.DS math.OC
On Data-Driven Koopman Representations of Nonlinear Delay Differential Equations
The Ohio State University（俄亥俄州立大学）；Miami University（迈阿密大学）
本文提出基于历史离散化和合适重建算子的有限维Koopman近似框架，通过核基扩展动态模式分解(kEDMD)实现Koopman算子的可计算表示，并推导了确定性误差界，支持对时滞系统的可靠预测与控制。
2026-08-13 cs.LG cs.SY eess.SY
Time and State Dependent Neural Delay Differential Equations
INRIA（法国国家信息与自动化研究所）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；LISN（巴黎南部基础信息科学实验室）
针对含不连续性和延迟项的系统难以用标准ODE建模且缺乏物理可解释性的问题，提出神经状态依赖DDE（SDDDE）框架，可建模多个状态和时间依赖的延迟，在多种延迟动力学系统上优于其他连续类模型。
2024-09-26 cs.AI math.DS
Pulse-adding of Temporal Dissipative Solitons: Resonant Homoclinic Points and the Orbit Flip of Case B with Delay
数值研究了大时滞时滞微分方程（DDE）中具有非振荡尾的单脉冲周期行波分支为时间局域的双脉冲周期行波的问题.这种类型的解在应用中通常被称为时间耗散孤子（TDS），我们在这里采用这个术语。我们通过一个典型的例子表明-类似于反应扩散偏微分方程（PDE）中的行波脉冲-从具有非振荡尾部的单脉冲TDS中的两脉冲TDS的分支由对应行波帧中的真实鞍平衡的余维2同宿歧点组织。我们考虑推广的Sandstede的模型（一个原型模型，用于研究余维2同宿歧点在常微分方程）与一个额外的时移参数，并使用Auto 07 p和DDE-BIFTOOL数值计算这些歧点在所产生的DDE的展开。然后，我们解释这个模型作为行波方程的TDS在DDE与大延迟利用再现的DDE周期解。在这样做，我们确定的非定向共振同宿分支和轨道翻转分支的情况下$\mathbf{B}$作为组织中心的存在的两个脉冲TDS的DDE与大延迟。此外，我们还讨论了辅助系统中同宿分支的折叠如何限制大时滞DDE中TDS的存在区域。
2022-07-27 math.DS nlin.PS
Uniqueness of solitary waves in the high-energy limit of FPU-type chains
作者最近的渐近结果提供了FPU原子链中孤立高能行波形状的详细信息。在本说明中，我们使用和扩展的方法来了解线性化的行波方程。我们表明，没有任何其他零特征值比那些创造的平移对称性，这意味着一个局部唯一性的结果。在我们的渐近分析的关键参数是取代线性提前延迟微分方程的特征函数的近似常微分方程。
2016-11-10 math.DS
Sharkovskii theorem for infinite dimensional dynamical systems
本文将Sharkovskii定理推广到无穷维动力系统，通过拓扑论证证明接近一维映射的系统若具有周期m轨道则必具有Sharkovskii序中先于m的所有周期轨道，并在Rössler时滞微分方程中借助计算机辅助验证了该结论。
2025-02-10 math.DS
Beyond Linear Additive and Hill Functions: A General Logistic Reformulation of Delay-Coupled Gene Regulatory Networks with Equilibrium Analysis, Hopf Bifurcation, and Lipschitz Stability
Mezaourou Ghazaouet, Tlemcen 13421, Algeria（杰拉瓦·梅祖鲁大学）
本文提出一种通用逻辑斯蒂模型，解决传统希尔函数在非整数协同指数下的局限性，通过延迟耦合基因网络分析，展示其在平衡、分岔和稳定性方面的改进。
2026-04-29 math.DS
Predicting periodic solutions of cyclic Lotka-Volterra equations with dynamic mode decomposition
Middle East Technical University（中东理工大学）；Sinop University（锡诺普大学）
研究用线性隐式Kahan方法求解常微分方程和偏微分方程形式的循环Lotka-Volterra系统，通过动态模式分解预测解，扩展DMD和汉克尔DMD能高精度预测周期解，且能准确保持哈密顿量和卡西米尔量。
2026-07-07 math.DS
