Spectral and Tiling properties of the Unit Cube
令$\Q=[0,1)^d$表示$d$维欧几里得空间\Rd中的单位立方体，令\T是\Rd的离散子集。证明了指数函数$e_t(x):=exp(i2πtx)$，$t\in\T$构成$L^2(\Q)$的正交基当且仅当平移后的$\Q+t$，$t\in\T$构成\Rd的一个平铺.
2001-04-08 math.CA
The structure of translational tilings in $\mathbb{Z}^d$
我们得到了$\mathbb{Z}^d$中周期函数平移平铺的有限平铺结构结果。特别是，我们表明，任何一级平铺的周期性设置在$\mathbb{Z}^2$必须是弱周期性的（不相交的工会的集合，是单独的周期性在一个方向），但提出了一个反例的更高级别的平铺的$\mathbb{Z}^2$，未能弱周期性。我们还建立了一个定量版本的二维周期瓷砖猜想断言，任何有限的瓷砖在$\mathbb{Z}^2$承认瓷砖，必须承认一个周期性的瓷砖，通过提供一个多项式的限制期间，这也给出了一个指数型的限制的计算复杂性的问题，决定是否一个给定的有限子集的$\mathbb{Z}^2$瓷砖或没有。作为我们的结构理论的副产品，我们还获得了一个明确的公式，一个普遍的周期为所有平铺的一维瓷砖。
2021-09-23 math.CA math.CO math.DS
On the Steinhaus tiling problem in three dimensions
H.斯坦豪斯在20世纪50年代提出了这样一个问题：在平面R^2上是否存在一个集合，它与Z^2的每一个等距副本都恰好在一个点上相遇。这样的“斯坦豪斯集”是由杰克逊和莫尔丁构造的。那么三个空格的R^3呢？是否存在R^3的子集与Z^3的每个等距副本恰好在一个点上相交？我们提供启发式的证据，答案是“不”。
2013-04-30 math.CA
Measurable tilings by abelian group actions
设$X$是一个测度空间，其保测度作用$(g,x) \mapsto g \cdot x$是一个阿贝尔群$G$ .我们考虑的问题，了解$X$的可测瓦片$F \odot A = X$的结构由一个可测瓦片$A \subset X$翻译的有限集$F \subset G$的移位，从而翻译$f \cdot A$，$f \in F$分区$X$的空集。适应参数从以前的文献中，我们建立了一个“膨胀引理”，断言，粗略地说，$F \odot A = X$意味着$F^r \odot A = X$的一个大家庭的整数膨胀$r$，并使用此建立一个结构定理，这样的tilings类似于最近建立的第二和第四作者。作为这个定理的应用，我们对作为“iid因子”的可测阿贝尔群的随机镶嵌进行了完全分类，并证明了环面$\mathbb{T}^d$的可测镶嵌总是连续的。（实际上是线性的）变形为具有合理移位的平铺，在低维情况下$d=1,2$具有特别强的结果（特别是解决一个猜想康利，第一作者，和Pikhurko在$d=1$案件）。
2023-02-24 math.CA math.CO math.DS
Spectrality and tiling by cylindric domains
一个有界集$Ω\subset \mathbb{R}^d$称为谱集，如果空间$L^2(Ω)$允许指数函数的完备正交系.证明了圆柱集$Ω$是谱集的当且仅当它的基是谱集。对于可以平移的柱面集也得到了类似的刻画。
2016-09-23 math.CA math.FA
Tiling by translates of a function: results and open problems
我们说一个函数$f \in L^1(\mathbb{R})$在$w$层上通过一个离散的平移集$Λ\subset \mathbb{R}$平铺，如果我们有$\sum_{λ\in Λ} f(x-λ)=w$ a. e.本文综述了关于$\mathbb{R}$的平铺结构的主要结果，并证明了几个新的结果。讨论的现象包括有界和无界密度的平铺，均匀分布的翻译，周期和非周期平铺，并在零级平铺。傅里叶分析在证明中起着重要的作用。并提出了一些有待解决的问题。
2021-09-13 math.CA math.FA math.MG
The structure of multiplicative tilings of the real line
设$Ω, A \subseteq \RR\setminus\Set{0}$是两个混合符号的集合，其中$Ω$是勒贝格可测的，$A$是离散集.我们研究了当$A \cdot Ω$是一个（乘法）平铺的实数线，即几乎每个实数可以唯一地写为产品$a\cdot ω$，与$a \in A$，$ω\in Ω$的问题。我们研究了多重$A$集合的结构和瓦片$Ω$的结构。我们证明在这两种情况下强有力的结果。这些结果与已知的关于直线平移镶嵌结构的结果有些类似。然而，由于集合$A$和$Ω$中存在符号，因此存在额外的复杂性层，这使得乘法平铺大致等同于较大组$\ZZ_2 \times \RR$上的平移平铺。
2017-10-09 math.CA
Fuglede's conjecture holds on cyclic groups $\mathbb{Z}_{pqr}$
Fuglede的谱集猜想指出局部紧阿贝尔群$G$的子集$Ω$通过平移平铺群当且仅当存在连续群特征标的子集是$L^2(Ω)$的正交基。证明了Fuglede猜想在具有$p,q,r$不同素数的循环群$\mathbb{Z}_{pqr}$上成立.
2019-10-14 math.CA math.NT
Erdős Type Problems in Modules over Cyclic Rings
本文研究了整数模$q$（其中$q=p^l$为奇素数幂）集合中的各种Erdans型几何问题.更准确地说，我们证明了有关$E\subset \mathbb{Z}_q^2$点之间三角形和三角形面积分布的某些结果。我们还证明了$d$-$\mathbb{Z}_q^d$的重积子集$E=A\times \ldots \times A$的一个点积结果，其中$A\subset \mathbb{Z}_q$ .
2014-06-25 math.CA math.CO math.NT
Cube tilings with linear constraints
该研究刻画了平移集约束在给定格$A\mathbb{Z}^d$内的$d$维单位立方体铺砌存在的矩阵条件，并由此得到平行六面体上平方可积函数空间的线性约束正交Fourier基的存在判据。
2024-03-12 math.CA
Multi-tiling sets, Riesz bases, and sampling near the critical density in LCA groups
本文证明了局部紧交换群G的Paley-Wiener空间在临界密度附近的采样集和插值集的存在性。这解决了Gröchenig，Kutyniok和Seip在文章中留下的问题：“LCA群的Landau密度条件”（J. of Funct. Anal. 255（2008）1831-1850）。为了实现这一结果，我们证明了存在的普遍Riesz基地的特点，L2（Ω），提供了相对紧凑的子集Ω的对偶群G满足一个multi-tiling条件。这最后一个结果推广Fuglede定理，并延伸到LCA组设置最近的建设Riesz基地的指数在有界集的Rd。
2015-08-08 math.CA math.FA
An example concerning Fourier analytic criteria for translational tiling
本文构造了一个离散集Λ（整数的小扰动）的反例，证明存在傅里叶变换零集相同但平移铺砌性质不同的函数，表明此类傅里叶解析准则无法完全刻画该集合的铺砌特性。
2021-09-27 math.CA math.FA math.MG
Tiling sets and spectral sets over finite fields
我们研究了素域上向量空间中的平铺和谱集。局部紧阿贝尔群中的经典Fuglede猜想说，一个集合是谱的当且仅当它通过平移而平铺。这个猜想被T.陶在5维及更高维的欧几里得空间中，使用素数域上的构造（在素数阶的有限域上的向量空间中）并将它们提升到欧几里得设置。在素域上，当向量空间的维数小于或等于$2$时，最近已证明Fuglede猜想成立（见\cite{IMP15}）。本文在素域上的高维空间中研究了这一问题，给出了一些结果和反例。特别地，我们证明了不平铺在$\mathbb{Z}_p^5$的所有奇素数$p$和$\mathbb{Z}_p^4$的所有奇素数$p$，使$p \equiv 3 \text{ mod } 4$的谱集的存在性。虽然循环环$\mathbb{Z}_n$上的低维群中的反例以前是已知的，但它们通常是针对非素数$n$或一个小的、零星的素数集$p$，而不是一般的构造。这篇论文是2015年夏天由A. Iosevich，J. Pakianathan和G.佩特里迪斯
2015-09-03 math.CA math.CO math.NT
Simultaneous dilation and translation tilings of $\mathbb R^n$
我们解决了小波集的存在性问题。也就是说，我们刻画了满秩格$Γ\subset \mathbb R^n$和可逆$n \times n$矩阵$A$，其中存在可测集$W$，使得$\{W + γ: γ\in Γ\}$和$\{A^j(W): j\in \mathbb Z\}$是$\mathbb R^n$的平铺。该特征是Ionascu和Wang发现的特征的非明显推广，Ionascu和Wang解决了$n = 2$案例中的问题。作为条件和Margulis定理的应用，我们还证明了当矩阵伸缩的特征值$λ$满足$|λ| \ge 1$时，小波集的存在性，从而加强了Dai，Larson和第二作者关于小波集存在性的一个结果.作为另一个应用，我们证明了Ionascu-Wang特征刻画了两个最小特征值的乘积绝对值为$\ge 1$的膨胀。
2021-09-21 math.CA
On The Rationality Of The Spectrum
设$Ω\subset \mathbb{R}$是具有测度$1$的紧集.如果存在子集$Λ\subset \mathbb{R}$使得指数函数集$E_Λ:=\{e_λ(x) = e^{2πi λx}|_Ω:λ\in Λ\}$是$L^2(Ω)$的标准正交基，则$Λ$称为集合$Ω$的谱。如果存在集合$\mathcal T$使得$Ω+ \mathcal T = \mathbb{R}$ . Fuglede的一个猜想表明Spectra和Tiling集是相关的。Lagarias和Wang \cite {LW 1}证明了Tiling集总是周期的，并且是有理的。在\cite {BM 1}，\cite {IK}中证明了任何谱也是周期集.在本文中，我们给出了一些部分的结果来支持的合理性的频谱。
2016-06-15 math.CA
Tiling, spectrality and aperiodicity of connected sets
本文研究了连通集的周期平铺猜想和Fuglede猜想，证明了在足够高的维度下这两个猜想对于连通集均不成立。
2024-11-13 math.CA math.CO
Periodicity of tiles in finite Abelian groups
本文为有限阿贝尔群引入周期平铺（PT）性质，完整分类了具有该性质的循环群，并构造了具有 PT 性质但不满足 Hajós 性质的非循环群，同时得到新的 Tile⟹Spectral 群族，并刻画了初等 p-群中瓦片作为陪集代表系的结构。
2025-09-20 math.CA math.CO math.GR
Spectral sets and weak tiling
本文研究了谱集几何必要条件“弱平铺”的性质，并证明其在凸体、非凸多胞体、乘积域及正测度Cantor集上的应用，深化了对Fuglede猜想的理解。
2023-10-22 math.CA math.FA math.MG
The Fuglede conjecture for convex domains is true in all dimensions
一个集合$Ω\subset \mathbb{R}^d$被称为谱的，如果空间$L^2(Ω)$具有指数函数的正交基。Fuglede（1974）的一个猜想指出，$Ω$是一个谱集当且仅当它可以通过平移平铺空间。虽然这一猜想被证伪为一般集，它早已知道，一个凸体$Ω\subset \mathbb{R}^d$的“平铺意味着光谱”的一部分，猜想实际上是正确的。相反，关于凸体的猜想的“谱蕴含平铺”方向仅在$\mathbb{R}^2$中得到了证明，在$Ω$是凸多胞体的先验假设下，在$\mathbb{R}^3$中也得到了证明.在更高的维度中，这个方向的猜想仍然是完全开放的（即使在$Ω$是一个多面体的情况下），不能用以前开发的技术来处理。本文对凸体的Fuglede猜想作了全面的肯定解决，即证明了：如果凸体$Ω\subset \mathbb{R}^d$是谱集，则$Ω$是可平移的凸多胞体.为了证明这一点，我们引入了一种新的技术，涉及到从晶体衍射理论，这使我们能够建立一个几何“弱平铺”的条件下，一组$Ω\subset \mathbb{R}^d$是光谱。
2022-07-02 math.CA math.FA math.MG
A group ring approach to Fuglede's conjecture in cyclic groups
Fuglede猜想指出正的有限勒贝格测度的子集$Ω\subseteq\mathbb{R}^{n}$是谱集当且仅当它平移平铺$\mathbb{R}^{n}$。对于$\mathbb{R}^n$和$n\ge3$，该猜想在两个方向上都不成立。然而，这个猜想在$\mathbb{R}$和$\mathbb{R}^2$中仍然是开放的。循环群在$\mathbb{R}$中Fuglede猜想的研究中起着重要的作用.本文引入了一种研究循环群谱集的新工具。特别地，我们证明了Fuglede猜想在$\mathbb{Z}_{p^{n}qr}$中成立.
2022-10-29 math.CA math.CO
Packing near the tiling density and exponential bases for product domains
局部紧阿贝尔群中的集合$Ω$称为谱的，如果$L^2(Ω)$具有群特征标的正交基.一个重要的问题，与所谓的谱集猜想（说$Ω$是谱的当且仅当$Ω$的平移集合可以划分群）有关，是乘积群中乘积集$Ω= A \times B$的谱性是否暗示因子$A$和$B$的谱性的问题。最近Greenfeld和Lev证明了，如果$I$是一个区间，而$Ω\subseteq {\mathbb R}^d$是一个区间，则$I \times Ω$的谱性蕴涵$Ω$的谱性.我们给出了一个不同的证明这一事实，首先证明了一个结果，包装的高密度暗示存在的tilings的一个功能。这使我们能够将结果改进为比Greenfeld和Lev处理的产品集更广泛的产品集。例如，当$A$是${\mathbb R}$中两个区间的并集时，我们证明了$A \times Ω$的谱性意味着$A$和$Ω$的谱性。
2016-06-08 math.CA math.MG
Some variants of the periodic tiling conjecture
本文针对周期平铺猜想提出并证明三个变体，包括将常值右端替换为零、在Z²中考虑整值周期右端以及保持示性函数的多重平铺情形，从而得到相关整数平铺与多重平铺的可判定性。
2025-05-10 math.CA math.DS math.LO
