Hybrid Iterative Solvers with Geometry-Aware Neural Preconditioners for Parametric PDEs
Division of Applied Mathematics（应用数学系）；Brown University（布朗大学）；Ansys UK Ltd（Ansys英国有限公司）
本文提出Geo-DeepONet，结合几何信息的神经预置条件器，提升混合迭代求解器在参数PDEs中的鲁棒性和效率。
2025-12-16 cs.LG cs.NA math.NA
Learning quantities of interest from parametric PDEs: An efficient neural-weighted Minimal Residual approach
针对参数化偏微分方程高效逼近问题，提出一种神经网络加权最小残差方法，训练伽辽金离散化以学习解的感兴趣的量，能在粗糙离散空间中提供高精度的基于伽辽金的逼近。
2024-02-15 cs.NA math.NA
Sparsity for parametric PDEs with log-gamma random inputs and applications
Vietnam National University, Hanoi（越南国立大学河内分校）；Nanyang Technological University（南洋理工大学）；University of Transport and Communications（交通科技大学）
本文提出了一种新方法，用于确定参数椭圆偏微分方程在对数伽玛输入下的Laguerre广义多项式混沌展开系数的稀疏性，并推导了参数变量半离散近似方案的收敛速率。
2026-03-16 cs.NA math.NA
Finite Element Operator Network for Solving Elliptic-type parametric PDEs
Inha University（仁荷大学）；Chung-Ang University（中央大学）
本文提出融合深度学习与有限元法的FEONet，在无需成对训练数据的情况下求解椭圆型参数化PDEs，并通过基准实验和收敛分析验证其精度、泛化性与计算灵活性。
2025-02-19 cs.AI cs.LG cs.NA
Kolmogorov widths and low-rank approximations of parametric elliptic PDEs
研究了参数椭圆扩散PDEs的Kolmogorov n-宽度和低秩近似，证明在扩散系数为分段常数时，n-宽度衰减更快，从而为减少基底或POD方法的快速收敛提供理论依据。
2015-02-10 cs.NA math.NA
Preconditioning and Numerical Stability in Neural Network Training for Parametric PDEs
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；University of South Carolina（南卡罗来纳大学）
本文提出了一种用于参数依赖偏微分方程神经网络训练的预处理方法，通过稳定表示形式提升计算精度和稳定性。
2026-01-30 cs.NA math.NA
Numerically Solving Parametric Families of High-Dimensional Kolmogorov Partial Differential Equations via Deep Learning
University of Vienna（维也纳大学）；University of Oxford（牛津大学）；Austrian Academy of Sciences（奥地利科学院）
提出了一种求解高维线性Kolmogorov偏微分方程参数族的深度学习算法。我们的方法是基于重新制定的数值逼近的整个家庭的Kolmogorov偏微分方程作为一个单一的统计学习问题，使用费曼-卡茨公式。成功的数值实验，实证证实了我们所提出的算法的功能和效率的情况下，热方程和Black-Scholes期权定价模型参数化的仿射线性系数函数。我们证明了在模拟数据上训练的单个深度神经网络能够在整个时空区域上学习整个偏微分方程族的解函数。最值得注意的是，我们的数值观测和理论结果也表明，所提出的方法不受维数灾难，区别于几乎所有的标准数值方法偏微分方程。
2020-11-09 cs.LG cs.NA math.NA
Multilevel CNNs for Parametric PDEs
Technical University of Berlin（柏林工业大学）；Weierstraß Institute（魏尔斯特拉斯研究所）
结合多层求解器与深度学习提出高效求解高维参数化偏微分方程的新方法，理论上能逼近多重网格V循环且权重仅对数依赖最细网格分辨率，实验表明其性能显著优于现有深度学习求解器。
2023-04-04 cs.LG cs.NA math.AP
A posteriori error estimation and adaptivity in stochastic Galerkin FEM for parametric elliptic PDEs: beyond the affine case
考虑一类参数系数一致有界的线性椭圆型偏微分方程。这个偏微分方程问题的解决方案是近似的框架内的随机伽辽金有限元法。我们进行后验误差分析的Galerkin近似，并得出一个可靠的和有效估计的能量误差在这些近似。这个误差估计的实际版本进行了讨论和测试数值模型的问题与非仿射参数表示的系数。此外，我们使用来自空间和参数误差估计的误差减少指标来指导给定参数PDE问题的自适应求解算法。自适应算法的性能进行了测试，数值模型的问题，两个不同的非仿射参数表示的系数。
2020-06-04 cs.NA math.NA
GPT-PINN: Generative Pre-Trained Physics-Informed Neural Networks toward non-intrusive Meta-learning of parametric PDEs
University of Massachusetts Dartmouth（马萨诸塞大学达特茅斯分校）
针对物理 informed 神经网络（PINN）训练耗时、参数冗余的问题，提出生成式预训练 PINN（GPT-PINN），通过超精简元网络结合预训练 PINN 激活函数，实现参数化 PDE 全参数域高效准确的代理解生成。
2023-06-08 cs.LG cs.NA math.NA
Physics-informed low-rank neural operators with application to parametric elliptic PDEs
提出物理信息低秩神经算子PILNO，结合低秩核近似与编码器-解码器架构，在点云上高效逼近PDE解算子，通过物理信息惩罚训练确保约束满足，适用于多种参数化椭圆型PDE问题。
2025-09-09 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Approximate Bayesian Neural Operators: Uncertainty Quantification for Parametric PDEs
University of Tübingen（图宾根大学）；University of Genova（热那亚大学）；Istituto Italiano di Tecnologia（意大利技术研究院）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）；Max-Planck-Institute for Intelligent Systems（马克斯·普朗克智能系统研究所）
神经运算符是一种学习求解偏微分方程（PDE）（即学习偏微分方程的非线性解运算符）的深度架构。这些模型的当前技术状态没有提供明确的不确定性量化。对于这类任务来说，这可以说比机器学习中的其他任务更是一个问题，因为通常由偏微分方程描述的动态系统通常表现出微妙的多尺度结构，使得人类很难发现错误。在这项工作中，我们首先提供了一个数学上详细的贝叶斯公式的“浅”（线性）版本的神经算子的形式主义的高斯过程。然后，我们使用贝叶斯深度学习的近似方法将这种分析处理扩展到一般的深度神经运算符。我们扩展了以前的结果，神经运营商提供他们的不确定性量化。因此，我们的方法能够识别案例，并提供结构化的不确定性估计，其中神经运算符无法很好地预测。
2022-08-02 cs.LG cs.NA math.NA
A greedy MOR method for the tracking of eigensolutions to parametric elliptic PDEs
本文介绍了一种基于稀疏网格自适应加密的椭圆型偏微分方程参数问题特征解的近似算法。特别是，我们感兴趣的是检测交叉的超曲面描述的特征值作为参数的函数。先验匹配之后是后验验证，由适当定义的错误指示器驱动。在给定的细化级别上，通过使用后验指示符给出的标记，采用稀疏网格方法来构建下一级别的网格。各种数值试验证实了该方案的良好性能。
2022-10-18 cs.NA math.NA
Randomized neural operator for parametric PDEs with fast training and conformal uncertainty quantification
提出PCA-RaNN随机化神经算子，结合PCA降维与固定随机特征及最小二乘读出，将训练时间降低1-3个数量级，并支持保形预测区间与在线自适应。
2026-06-28 cs.LG cs.NA math.NA
A hybrid Alternating Least Squares -- TT Cross algorithm for parametric PDEs
University of Bath（巴斯大学）
本文提出一种混合交替最小二乘与TT交叉算法，用于求解参数PDEs，通过保留离散算子的块对角结构，提高求解效率，适用于计算概率密度函数等场景。
2018-07-05 cs.NA math.NA
Point Cloud Neural Operator for Parametric PDEs on Complex and Variable Geometries
为解决复杂可变几何域上参数化PDE求解的代理建模难题，提出点云神经算子PCNO，可高效近似解映射，在多类PDE问题及三维工程应用中展现出良好性能。
2025-06-14 cs.NA math.NA
Deep ReLU neural network approximation in Bochner spaces and applications to parametric PDEs
我们研究了在可分离希尔伯特空间$X$中取值的${\mathbb U}^\infty$上的函数的Bochner空间$L_2({\mathbb U}^\infty, X, μ)$中的深度ReLU神经网络逼近的非自适应方法，其中${\mathbb U}^\infty$是配备标准高斯概率测度的${\mathbb R}^\infty$，或配备Jacobi概率测度的${\mathbb I}^\infty:= [-1,1]^\infty$。假设待逼近的函数满足广义混沌多项式展开系数关于测度$μ$的加权$\ell_2$ -可和性。我们根据近似深度ReLU神经网络的大小证明了这种近似的收敛速度。然后，这些结果被应用到近似的解决方案，参数椭圆型偏微分方程的对数正态和仿射的情况下，随机输入。
2022-12-14 cs.NA math.NA
Sampling recovery in Bochner spaces and applications to parametric PDEs
Mathematisch-Geographische Fakultät, KU Eichstätt-Ingolstadt（凯泽大学艾希施泰特-因戈尔施塔特数学地理学院）；Information Technology Institute, Vietnam National University, Hanoi（越南国家大学河内信息技术研究所）
本文研究了Bochner空间中函数的线性采样恢复收敛速率，应用于参数PDEs的不确定性量化问题，改进了已知结果的收敛速率。
2026-09-08 cs.NA math.NA
Sparse and low-rank approximations of parametric elliptic PDEs: the best of both worlds
本文提出一种结合低秩张量逼近与稀疏多项式展开的新格式，用于高效求解参数化椭圆型PDE，并设计了保持准最优秩与最优收敛速度的自适应求解器。
2025-06-24 cs.NA math.NA
Accelerated replica exchange stochastic gradient Langevin diffusion enhanced Bayesian DeepONet for solving noisy parametric PDEs
Purdue University（普渡大学）
Deep Operator Networks~（DeepONet）是一种完全不同的神经网络，我们训练它来近似非线性算子，包括参数偏微分方程（PDE）的求解算子。DeepONets已经显示出卓越的近似和泛化能力，即使在使用相对较小的数据集进行训练时也是如此。然而，当训练数据被噪声污染时，DeepONets的性能会恶化，这种情况在实践中经常发生。为了使DeepONets能够使用噪声数据进行训练，我们建议使用复制交换Langevin扩散的贝叶斯框架。这样的框架使用两个粒子，一个用于探索，另一个用于利用DeepONets的损失函数。我们表明，所提出的框架的探索和利用能力使（1）在嘈杂的场景中提高DeepONets的训练收敛性，以及（2）为参数PDE的预测解附加不确定性估计。此外，我们还发现，与使用最先进的基于梯度的优化算法（例如Adam）训练的香草DeepONets相比，复制交换Langeving扩散（显着）还提高了DeepONet在嘈杂场景中的平均预测准确性。为了降低副本的潜在高计算成本，在这项工作中，我们提出了一个用于复制交换Langevin扩散的加速训练框架，该框架利用DeepONets的神经网络架构将其计算成本降低了25%，而不会影响所提出的框架的性能。最后，我们使用一系列的实验四个参数偏微分方程的问题，说明了所提出的贝叶斯框架的有效性。
2021-11-03 cs.LG cs.NA math.NA
A Least-Squares-Based Neural Network (LS-Net) for Solving Linear Parametric PDEs
针对线性参数化偏微分方程求解问题，提出LS-Net方法，结合深度神经网络生成解空间基函数与最小二乘求解器确定最优解，提供理论逼近保证，经一维和二维问题验证可有效逼近参数化解。
2025-02-12 cs.NA math.NA
Neural Control of Parametric Solutions for High-dimensional Evolution PDEs
Georgia State University（佐治亚州立大学）；Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）
提出通过学习参数空间中的控制向量场来近似高维演化PDE解算子的框架，降低计算成本，并提供误差分析和数值验证。
2023-11-10 cs.LG cs.NA math.NA
Low-rank cross approximation of function-valued tensors for reduced-order modeling of parametric PDEs
本文提出了一种基于函数值张量低秩交叉近似的降维方法，用于参数PDE的建模，通过编码器-解码器结构实现高效降维与非线性建模。
2025-11-27 cs.NA math.NA
Collocation approximation by deep neural ReLU networks for parametric elliptic PDEs with lognormal inputs
我们得到了深度ReLU神经网络对对数正态输入椭圆偏微分方程解的配置逼近的收敛速度，由非紧集$\mathbb{R}^\infty$的$\boldsymbol{y}$参数化。近似误差在Bochner空间$L_2(\mathbb{R}^\infty, V, γ)$的范数中测量，其中$γ$是$\mathbb{R}^\infty$上的无限张量积标准高斯概率测度，而$V$是能量空间。我们也得到了类似的结果的情况下，当对数正态输入参数化$\mathbb{R}^M$非常大的尺寸$M$，和近似误差测量的$\sqrt{g_M}$加权均匀范数的Bochner空间$L_\infty^{\sqrt{g}}(\mathbb{R}^M, V)$，其中$g_M$是密度函数的标准高斯概率测量$\mathbb{R}^M$。
2022-12-06 cs.NA math.NA
Error analysis for finite element operator learning methods for solving parametric second-order elliptic PDEs
KAIST（韩国科学技术院）；Inha University（仁荷大学）；Chung-Ang University（中央大学）
本文对有限元算子网络（FEONet）求解参数化二阶椭圆型偏微分方程进行了理论误差分析，建立了收敛性结果和自伴情形的显式误差估计，并通过数值实验验证了有限元矩阵条件数对收敛性的影响。
2024-04-27 cs.LG cs.NA math.NA
Exploiting locality in sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs and application to parameterized domains
本研究针对椭圆偏微分方程的参数化问题，提出采用局部支撑函数的表示方式，通过逐点界证明泰勒系数的ℓᵖ可和性，应用于参数化域问题可获更高收敛率，且方法可推广至其他类型PDE。
2023-08-11 cs.NA math.AP math.NA
Quasi-Monte Carlo for Bayesian design of experiment problems governed by parametric PDEs
LUT University（拉彭兰塔-拉赫蒂理工大学）；Freie Universität Berlin（柏林自由大学）
本文研究了由偏微分方程 governed 的贝叶斯反问题最优实验设计，通过全张量积和稀疏张量积组合的拟蒙特卡洛方法分析参数双积分问题，验证了稀疏方法在收敛率上的优势。
2026-07-17 cs.NA math.NA
Sparse FEONet: A Low-Cost, Memory-Efficient Operator Network via Finite-Element Local Sparsity for Parametric PDEs
Department of Mathematics, Inha University（inha大学数学系）；Department of Mathematics, Ajou University（ajou大学数学系）
针对参数化PDE的有限元算子网络（FEONet）在大规模问题中计算成本高、精度下降的问题，提出一种基于有限元结构的新型稀疏网络架构，在保持精度相当的同时显著提升计算效率，并给出理论逼近和稳定性分析。
2026-06-01 cs.LG cs.NA math.NA
First-order empirical interpolation method for real-time solution of parametric time-dependent nonlinear PDEs
本文提出一种结合本征正交分解、Galerkin投影与一阶经验插值的模型降阶方法，用于参数化时间相关非线性偏微分方程的实时求解，并通过Allen-Cahn和Buckley-Leverett方程验证了其精度、效率与稳定性。
2024-10-02 cs.NA math.AP math.NA
A theoretical analysis on the resolution of parametric PDEs via Neural Networks designed with Strassen algorithm
University of the Basque Country UPV/EHU（巴斯克大学）；BCAM - Basque Center for Applied Mathematics（巴斯克应用数学中心）
构建一族神经网络逼近矩阵乘法算子，用Strassen算法界定其权重和层数，据此定义逼近逆矩阵算子的神经网络，探讨其用于数值求解椭圆型偏微分方程。
2026-07-07 cs.NA math.FA math.NA
Model order reduction in contour integral methods for parametric PDEs
本文讨论了一类参数线性发展偏微分方程的投影模型降阶方法，该方法基于拉普拉斯变换的应用。这种方法的主要优点在于，与时间步进方法（如龙格-库塔积分器）不同，拉普拉斯变换允许在给定时刻直接计算解，这可以通过用合适的求积公式近似与拉普拉斯逆变换相关联的轮廓积分来完成。在一些经典的MOR方法方面，这决定了简化阶段的显著改进-如基于经典的固有正交分解（POD）的简化阶段-因为分解应用的向量的数量急剧减少，因为它不包含通过时间步进方法沿着积分网格生成的所有中间解。我们展示了一些说明性的抛物型偏微分方程所产生的金融方法的有效性，也提供了一些证据，我们提出的方法，当应用到一个线性对流方程，不遭受的奇异值的缓慢衰减的问题，而不是影响时间步长方法的数值逼近的柯西问题所产生的空间离散化。
2022-09-01 cs.NA math.NA
$h$ and $hp$-adaptive Interpolation by Transformed Snapshots for Parametric and Stochastic Hyperbolic PDEs
University of Southern California（南加州大学）
本文提出 $h$ 和 $hp$ 自适应方法，用于解决参数和随机超几何偏微分方程中的快照跳跃集问题，通过张量化的自适应方法提高高维问题的精度。
2017-10-31 cs.NA math.NA
Sparse polynomial approximation of parametric elliptic PDEs. Part I: affine coefficients
研究仿射参数下椭圆PDE的稀疏多项式逼近，改进了已有估计，考虑了系数的结构特性，并通过数值实验验证新界的有效性。
2016-06-23 cs.NA math.AP math.NA
Goal-oriented error estimation and adaptivity for elliptic PDEs with parametric or uncertain inputs
University of Birmingham（伯明翰大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；University of Vienna（维也纳大学）
本文提出了一种高效的自适应算法，用于近似由具有参数或不确定输入的椭圆偏微分方程（PDEs）解导出的线性量。该算法结合了随机格子有限元方法（sGFEM）来近似依赖于可数无限多个不确定参数的原问题和对偶问题，并通过创新策略指导自适应细化，结合原问题和对偶问题的空间和参数组件的误差减少指标。理论关键在于一个新的两级后验能量误差估计，证明其可靠且高效。
2018-11-19 cs.NA math.NA
Sparse-grid polynomial interpolation approximation and integration for parametric and stochastic elliptic PDEs with lognormal inputs
本文提出稀疏网格多项式插值方法用于参数和随机椭圆偏微分方程的lognormal输入，改进了非全离散收敛率。
2026-01-03 cs.NA math.NA
Fully probabilistic deep models for forward and inverse problems in parametric PDEs
University of Cambridge（剑桥大学）；Imperial College London（帝国理工学院）；The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）
本文提出物理驱动的深度隐变量模型PDDLVM，通过概率建模和变分推断同时学习参数化PDE的正问题与反问题映射，训练后无需独立求解即可实时预测，并在多个PDE问题上实现比FEM快三个数量级的加速及不确定性估计。
2023-07-14 cs.LG cs.NA math.NA
Reduced-Basis Deep Operator Learning for Parametric PDEs with Independently Varying Boundary and Source Data
Department of Mathematics, Purdue University（数学系，普渡大学）；School of Mechanical Engineering, Purdue University（机械工程学院，普渡大学）
RB-DeepONet通过结合缩减基与深度运算学习，实现高效、稳定且可解释的参数PDEs求解。
2025-11-23 cs.LG cs.NA math.NA
Fully discrete approximation of parametric and stochastic elliptic PDEs
本文研究了参数和随机椭圆偏微分方程的完全离散近似，通过结合空间和参数近似性，利用Taylor、Jacobi和Hermite展开，获得收敛率与总自由度相关的近似结果。
2017-07-09 cs.NA math.AP math.NA
Solving parametric partial differential equations with deep rectified quadratic unit neural networks
Fudan University（复旦大学）
实现深度神经网络来学习参数偏微分方程（PDE）的解映射比使用许多传统的数值方法更有效。然而，有限的理论分析已经进行了这种方法。在这项研究中，我们研究了深度整流二次单位（ReQU）神经网络近似参数偏微分方程的解映射的表达能力。所提出的方法是由G. Kutyniok，P. Petersen，M. Raslan和R. Schneider（Gitta Kutyniok，Philipp Petersen，Mones Raslan，and Reinhold Schneider.深度神经网络与参数偏微分方程的理论分析。Constructive Approximation，第1-53页，2021），其使用深度整流线性单元（ReLU）神经网络来求解参数PDE。与之前建立的ReLU神经网络的复杂度约束$\mathcal{O}\left(d^3\log_{2}^{q}(1/ ε) \right)$相比，我们推导出了实现精确度$ε>0$所需的深度ReQU神经网络大小的上界$\mathcal{O}\left(d^3\log_{2}^{q}\log_{2}(1/ ε) \right)$，其中$d$是表示解决方案的缩减基的维度。我们的方法充分利用了解流形固有的低维性和深度ReQU神经网络更好的逼近性能。数值实验验证了我们的理论结果。
2022-08-30 cs.LG cs.NA math.AP
Active Learning with Bayesian Multi-Fidelity Laplace Neural Operators for Oscillatory Parametric PDEs
Purdue University（普渡大学）；Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室）
针对参数动力系统代理建模中高保真数据获取昂贵的问题，提出贝叶斯多保真度拉普拉斯神经算子，利用不确定性引导主动学习高效获取高保真轨迹，在多个振荡系统上优于随机采样和MF-DeepONet。
2026-09-15 cs.LG cs.NA math.NA
Arbitrarily High-Order Structure-Preserving Parametric Finite Element Methods for Geometric PDEs via Local Pullback Flow Maps
National University of Singapore（新加坡国立大学）；Universität Tübingen（蒂宾根大学）
本文提出基于局部拉回流映射的任意高阶保结构参数有限元方法，用于表面扩散和保体积平均曲率流等几何PDE，通过共形和等分布两种表述实现面积/体积精确保持及周长/表面积耗散。
2026-10-06 cs.NA math.NA
Unbiased deep solvers for linear parametric PDEs
The Alan Turing Institute（艾伦·图灵研究所）；University of Edinburgh（爱丁堡大学）；Vega
我们开发了几种深度学习算法来近似参数PDE解的族。所提出的算法近似的解决方案连同其梯度，这在金融数学的上下文中意味着衍生品价格和对冲策略的计算是同时进行的。在近似解的梯度之后，可以将其与蒙特卡洛模拟相结合，以消除PDE解的深度网络近似中的偏差（衍生物价格）。这是通过利用鞅表示定理并将蒙特卡罗模拟与神经网络相结合来实现的。所得到的算法是强大的神经网络近似的质量方面，因此可以作为一个黑盒的情况下，只有有限的先验信息的基本问题是可用的。我们认为这一点很重要，因为基于神经网络的算法通常需要大量的调整才能产生令人满意的结果。经验表明，该方法适用于高维问题（例如100维）。我们提供的诊断可帮助您了解适当的网络架构。
2022-01-17 cs.LG cs.NA math.NA
On the convergence of adaptive Galerkin FEM for parametric PDEs with lognormal coefficients
本文研究了具有对数正态系数的稳态扩散方程的基于残差自适应Galerkin有限元方法，通过提供准误差下降结果推进了无界系数情形的理论收敛性，并将一致有界系数的收敛性作为推论。
2024-07-26 cs.NA math.NA
Multilevel Sparse Tensor Approximation for High-Dimensional Parametric PDEs
本文研究了多级稀疏张量近似方法在高维仿射参数扩散方程中的效率。通过结合稀疏交替最小二乘算法与多级伽辽金离散化策略，利用解的正则性降低计算成本。理论分析表明，多级方法的工作开销与离散化级别无关，优于单级方法的指数增长。
2026-03-16 cs.NA math.NA
Parametric PDEs: Sparse or Low-Rank Approximations?
Hausdorff Center for Mathematics（豪斯多夫数学中心）；Institute for Numerical Simulation（数值模拟研究所）；Sorbonne Universités, UPMC Univ Paris 06, CNRS, UMR 7598, Laboratoire Jacques-Louis Lions（索邦大学，巴黎第六大学，法国国家科学研究中心，UMR 7598，雅克-路易·利翁斯实验室）；Institut für Geometrie und Praktische Mathematik, RWTH Aachen（亚琛工业大学几何与应用数学研究所）
本文比较了不同非线性程度的近似策略，包括稀疏多项式展开、分离空间和参数变量的低秩近似以及分离所有变量的分层张量分解，展示了其近似性能。
2017-04-01 cs.NA math.NA
Neural Green's Operators for Parametric Partial Differential Equations
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）
本文提出了一种构建参数神经算子的范式，通过有限维格林算子表示线性偏微分方程的格林算子，利用神经网络近似格林函数对PDE系数的非线性依赖，提升泛化能力与精度。
2026-01-22 cs.LG cs.NA math.NA
Derivative-Informed Projected Neural Networks for High-Dimensional Parametric Maps Governed by PDEs
Oden Institute for Computational Engineering & Sciences, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校奥登计算工程与科学学院）；McKelvey School of Engineering, Washington University in St. Louis（圣路易斯华盛顿大学麦凯维工程学院）；Department of Mechanical Engineering, The University of Texas at Austin（德克萨斯大学奥斯汀分校机械工程系）
许多查询问题，所产生的不确定性量化，贝叶斯反演，贝叶斯最优试验设计，不确定性下的优化，需要大量的评估参数输出映射。这些评估变得令人望而却步，如果这个参数映射是高维的，并涉及昂贵的解决方案的偏微分方程（PDE）。为了应对这一挑战，我们建议以投影神经网络的形式为高维偏微分方程控制的参数化映射构建代理，这些映射可以简单地捕获这些映射的几何形状和内在低维性。具体来说，我们计算这些基于偏微分方程的映射的雅可比矩阵，并将高维参数投影到一个低维导数通知的活动子空间上;我们还将可能的高维输出投影到它们的主子空间上。这利用了许多高维偏微分方程控制的参数映射可以在低维参数和输出子空间中很好地逼近的事实。我们使用投影基向量的活动子空间以及主输出子空间，分别构造的神经网络的第一层和最后一层的权重。这使我们可以只在神经网络的低维层中训练权重。所得到的神经网络的架构捕获到一阶，低维结构和几何参数映射。我们证明了所提出的投影神经网络比完整的神经网络实现了更高的泛化精度，特别是在昂贵的基于PDE的参数映射提供的有限训练数据制度。此外，我们还证明了投影网络内层的自由度数量与参数和输出维度无关，并且权重维度与离散化维度无关，可以实现高精度。
2021-03-16 cs.CE cs.LG cs.NA
Tensor-Train Compressed Separable PINNs: A Curvature-Aware Optimization Framework for Parametric PDEs in High Dimensions
Weierstrass Institute for Applied Analysis and Stochastics (WIAS)（魏尔斯特拉斯应用分析与随机学研究所（WIAS））
本文提出基于高斯-牛顿拉回度量的二阶优化框架，利用可分离结构压缩残差雅可比矩阵，实现高维参数化PDE的高效求解，显著降低误差、迭代次数和计算时间。
2026-09-30 cs.LG cs.NA math.NA
Adaptive non-intrusive reconstruction of solutions to high-dimensional parametric PDEs
本研究提出一种高维参数PDE解的自适应非侵入式重构方法，结合随机最小二乘的非侵入性与Galerkin后验误差分析，用变分蒙特卡洛获拟最优低秩近似，实现离散参数全自动调整，基准测试达同类最优性能。
2022-10-26 cs.NA math.FA math.NA
A non-nested unstructured mesh perspective on highly parallel multilevel smoothed Schwarz preconditioner for linear parametric PDEs
针对非结构网格下多级Schwarz预处理器因网格非嵌套难以并行的问题，提出含并行粗化与非嵌套插值的高并行非嵌套预处理器，在千核处理器上验证了良好收敛性与并行效率，可广泛用于线性参数PDE求解。
2024-12-12 cs.NA math.NA
Multi-level Compressed Sensing Petrov-Galerkin discretization of high-dimensional parametric PDEs
RWTH Aachen University（亚琛工业大学）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）
本文提出一种多级压缩感知 Petrov-Galerkin 方法，用于求解多参数偏微分方程，通过多级离散化和压缩感知方法实现几乎最优收敛性，无需先验假设系数序列的结构。
2017-12-15 cs.NA math.NA
Model-Parallel Fourier Neural Operators as Learned Surrogates for Large-Scale Parametric PDEs
Microsoft（微软）
针对傅里叶神经算子（FNOs）因高维输入与权重仅能处理中小规模偏微分方程的问题，提出基于输入与权重域分解的模型并行FNO，可在512块A100 GPU上处理26亿变量的时变PDE，还实现了Azure云上多相CO₂地下动力学模拟的分布式训练。
2023-02-01 cs.DC cs.LG cs.NA
Adaptation of uncertainty-penalized Bayesian information criterion for parametric partial differential equation discovery
Graduate School of Information Science and Technology, Osaka University（大阪大学信息科学与技术研究生院）；SANKEN (The Institute of Scientific and Industrial Research), Osaka University（大阪大学产业科学研究所（SANKEN））
针对含噪场景下传统信息准则易选复杂PDE的问题，提出扩展UBIC准则，结合功率谱密度数据变换与不确定性量化防过拟合，可高效准确发现含参数化PDE，代码开源。
2024-08-15 cs.LG cs.NA math.NA
Neural Shape Operator Surrogates -- Expression Rate Bounds
Christoph Schwab, Seminar for Applied Mathematics, ETH Z\"urich, R\"amistrasse 101, 8092 Z\"urich, Switzerland
本文研究了偏微分方程和边界积分方程解算子的近似算子的误差界，通过仿射参数化形状编码将PDE映射到参考域，证明了参数化解族的well-posed性，并构建了神经和谱算子近似。
2026-04-20 cs.LG cs.NA math.NA
