Conformal and extrinsic upper bounds for the harmonic mean of Neumann and Steklov eigenvalues
School of Mathematics and Statistics, Northwestern Polytechnical University（西北工业大学数学与统计学院）
本文研究了Neumann和Steklov特征值调和平均值的共形与内蕴上界，并给出了闭子流形在空间形式中的最优上界。
2026-01-22 math.DG
Conformal Geometry and Spectral Bounds on Manifolds with Boundary
Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学）；Universidade Federal do Piauí（皮奥伊联邦大学）
本文研究了具有边界的黎曼流形上斯蒂克洛夫型算子的谱界，通过扩展弗雷泽-肖恩估计，推导出共形狄利克雷到罗宾算子的特征值上界，并探讨了相关应用。
2026-01-27 math.DG math.SP
Laplace and Steklov extremal metrics via $n$-harmonic maps
利用$n$ -调和映射的概念，给出了任意维流形上Laplace和Steklov特征值极值度量的统一描述.我们的方法扩展了著名的结果连接极值度量的特征值表面上的最小浸入和调和映射。在这个过程中，我们发现了两个以前未知的功能的Steklov特征值。首先，我们表明，在较高的维度有一个独特的规范化涉及的体积的边界和流形本身，这导致有意义的极值本征值问题。第二，我们观察到，临界点的特征值泛函在一个固定的共形类有一个自然的几何解释提供一个考虑的Steklov问题的密度。作为一个例子，我们构建了一个家庭的自由边界谐波环的三维球和猜想，他们对应的度量最大化的第一个Steklov特征值在各自的共形类。
2021-03-28 math.DG math.SP
Isoperimetric inequalities involving Steklov eigenvalues on surfaces
本文研究了带边界曲面上涉及 Steklov 特征值的等周不等式最优常数，在 Riemann 曲面拓扑和共形类层面证明了相关不等式，提供了实现最优常数的拓扑圆盘新实例，并证明了环面和 Möbius 带上第一共形 Steklov 特征值的刚性。
2025-08-14 math.AP math.DG math.SP
Compact manifolds with fixed boundary and large Steklov eigenvalues
设M是带边界的紧致黎曼流形。设b>0是其边界的连通分支数。对于维数至少为3的流形，我们证明了，它是可能的，以获得一个任意大的（b+1）-th Steklov特征值使用光滑的共形扰动，支持在薄邻域的边界，在边界上等于1。对于j<b+1，也可以得到任意大的第j个特征值，但这需要保形因子在流形M的内部扩散。这与闭流形上拉普拉斯算子的本征值的情况形成鲜明对比，其中足够大的保形因子使体积变得无界，导致谱塌缩为0。我们还证明了，它是可能的，同时保持不同的边界组件任意接近对方，通过构建一个方便的黎曼淹没获得大的Steklov特征值。
2018-10-15 math.DG math.SP
Steklov eigenvalues on annulus
我们得到了k>1的圆柱上所有旋转对称共形度量的第k个归一化Steklov特征值的上确界。Fraser和Schoen已经完全解决了k=1的情况。对于达到上确界的度量，我们给出了极小曲面的几何描述。我们还得到了圆柱上旋转对称度规和一般共形度规的归一化Stekov本征值的比较的部分结果。构造了一个反例，说明了在这种情况下，旋转对称度量的第一归一化Steklov特征值可能不会更大。
2013-10-29 math.DG
Conformal optimization of eigenvalues on surfaces with symmetries
本文研究了具有对称性的曲面上拉普拉斯和斯托克斯本征值的共形优化问题，解决了关于精确性和最大化的开放问题。
2025-11-28 math.DG math.SP
The first Steklov eigenvalue, conformal geometry, and minimal surfaces
考虑具有边界的紧致黎曼流形的几何与Dirichlet-to-Neumann映射的第一个非零本征值sigma_1（Steklov本征值）的关系。对于具有亏格伽玛和k个边界分量的曲面σ，我们得到了上界σ_1 L（\partial π）\leq 2（2gamma+k）π.我们试图找到最好的常数在这个不等式的环形曲面（伽玛=0和k=2）。对于旋转对称的度量，我们表明，最好的常数是通过诱导度量的一部分，在原点为中心的悬链线满足一个球体正交，因此是一个解决方案的自由边界问题的面积功能的球。对于一般类（不一定是旋转对称的）度量的环，我们称之为超临界，我们证明了$σ_1(\sig)L(\pΣ)$是占主导地位的临界悬链线与平等的当且仅当环是共形等价的临界悬链线的共形变换，这是一个等距的边界。我们证明了一般的共形度量的上界的任何维的流形，可以适当地共形浸入单位球的某些共形体积量。我们表明，这些界限时，只有达到最低限度的流形浸入第一Steklov特征函数。我们还利用这些思想证明了二维任意自由边界解的面积至少为π。
2010-12-03 math.DG
Isoperimetric control of the Steklov spectrum
设N是n+1维完备黎曼流形，其黎曼度量g共形等价于一个具有非负里奇曲率的度量. N中有界域的归一化Steklov特征值根据该域的等周比上界。因此，欧几里得空间、双曲空间或标准半球中有界区域的归一化Steklov特征值上一致有界。在带边界的紧致曲面上，正规化Steklov特征值按亏格一致有界。我们还得到了区域的Steklov特征值与Laplace-Beltrami算子在其边界超曲面上的特征值之间的关系。
2011-03-15 math.DG math.MG math.SP
Zeta-invariants of the Steklov spectrum for a planar domain
从Steklov谱\cite{E}恢复单连通光滑平面域的经典反问题等价于从算子$aΛ_e$的特征谱恢复单位圆${\mathbb S}=\{e^{iθ}\}$上的正函数$a\in C^\infty({\mathbb S})$直到保形等价的问题，其中$Λ_e=(-d^2/dθ^2)^{1/2}$。我们在函数$a$的傅里叶系数中引入了$2k$ -形式$Z_k(a)\ (k=1,2,\dots)$，称为ζ-不变量。它们由$aΛ_e$的本征值谱唯一确定。研究了$Z_k(a)$的一些性质，特别是在共形群下的不变性.在论文的最后提出了一些关于zeta不变量的开放性问题。
2014-04-08 math.DG
Optimal estimate for the gradient of Green functions on degenerating surfaces and applications
本文证明了闭黎曼曲面上格林函数梯度的一致估计，与其共形类无关，并得到了具有L2-有界第二基本型浸入和具有一致有界高斯曲率熵的黎曼曲面的紧性结果.
2013-07-20 math.AP math.DG
From Steklov to Laplace: free boundary minimal surfaces with many boundary components
本文研究了具有固定亏格和大量$k$边界分支的曲面上第一Steklov特征值$σ_1$的尖锐等周不等式.作为$k\to \infty$的自由边界极小曲面在单位球所产生的最大化的$σ_1$收敛到一个封闭的极小曲面在边界球所产生的最大化的第一拉普拉斯特征值的相应的闭曲面。对于某些类，我们证明了相应的面积以最优速率$\frac{\log k}{k}$收敛.这一结果提供了紧致域上自由边界极小曲面收敛于边界上闭极小曲面的第一个例子，为自由边界极小曲面的研究提供了新的方向，并提出了许多有待解决的问题.类似的现象被观察到的自由边界谐波映射与共形约束的形状最优化问题。
2021-09-22 math.DG math.SP
Weighted Eigenvalue Problems for Fourth-Order Operators in Degenerating Annuli
本文研究退化环空中双调和算子等四阶算子的加权特征值问题，给出仅依赖共形类的近优第一特征值估计、非径向特征函数结论及加权 Poincaré 不等式，并应用于 Morse 理论。
2023-06-07 math.AP math.DG
Prescription du spectre de Steklov dans une classe conforme
在任意带边界的$n\geq3$维紧致流形上，我们给出了Steklov谱在给定共形类中的任意有限部分.特别地，我们规定了第一特征值的重数。在有边界的紧致曲面上，我们证明了$k$阶本征值的重数是有界的，与度量无关。在圆盘上，我们给出了更精确的结果：第一和第二正特征值的重数分别至多为2和3。对于圆盘上的Steklov-Neumann问题，我们证明了第$k$个正特征值的重数至多为$k+1$ .
2014-09-08 math.DG
Conformal classes realizing the Yamabe invariant
给出了实现紧致流形Yamabe不变量的共形类的一个刻划。这种表征是类似的观察Nadirashvili度量实现最大的第一个特征值，和弗雷泽和舍恩度量实现最大的第一个Steklov特征值。
2014-12-27 math.DG
Improved Morse Index Stability for Sequences of Harmonic Maps from Degenerating Riemann Surfaces
ETH Zentrum（苏黎世联邦理工学院）
研究退化黎曼面上调和映射序列的扩展Morse指数稳定性，分析能量二阶变分并确定扩展Morse指数上半连续的条件，改进了早期结果并明确指出退化颈区对极限扩展指数的贡献。
2026-09-17 math.AP math.DG
Computation of free boundary minimal surfaces via extremal Steklov eigenvalue problems
最近Fraser和Schoen证明了在一个有边界的紧致曲面上的某个极值Steklov特征值问题的解可以用来生成一个自由边界极小曲面，即，包含在球中的具有（i）零平均曲率和（ii）正交地与球的边界相交的表面（doi：10.1007/s 00222 -015-0604-x）。在本文中，我们开发的数值方法，使用这种连接实现自由边界极小曲面。也就是说，在一个紧凑的表面，$Σ$，与亏格$γ$和$b$边界组件，我们最大化$σ_j(Σ,g) \ L(\partial Σ, g)$在一类光滑度量，$g$，其中$σ_j(Σ,g)$是$j$的非零Steklov特征值和$L(\partial Σ, g)$是$\partial Σ$的长度。我们的数值方法包括（i）使用多连通域的共形一致化，以避免显式参数化的类度量，（ii）准确地解决边界加权Steklov特征值问题在多连通域，和（iii）开发基于梯度的优化方法，这个非光滑的特征值优化问题。对于亏格$γ=0$和$b=2,\dots, 9, 12, 15, 20$边界分量，我们数值求解了第一特征值的极值Steklov问题。相应的特征函数生成一个自由边界极小曲面，我们显示在醒目的图像。对于更高的特征值，数值证据表明，最大化是退化的，但我们计算本地最大化的第二和第三特征值与$b=2$边界组件和第三和第五特征值与$b=3$边界组件。
2020-07-29 math.DG math.OC math.SP
Spectral geometry of the Steklov problem on orbifolds
我们考虑了一个紧的$n$ -维黎曼轨道折叠的几何和拓扑与它的Steklov谱的关系。在两个维度上，受A.吉鲁阿尔湖帕尔诺夫斯基岛Polterovich和D. Sher在流形设置中，我们计算的Steklov谱的精确渐近的边界数据。因此，我们证明了Steklov谱检测的存在和数量的orbifold奇点的边界上的orbisurface和它检测的数量每个光滑和奇异的边界组件。此外，我们发现，Steklov谱也确定模的等价关系的边界组件的长度，我们通过例子表明，这一结果是最好的可能。我们构建了Steklov等谱黎曼orbifolds，这表明这些二维结果不延伸到更高的维度的各种例子。此外，我们给出了二维的例子表明，斯捷克洛夫频谱不\emph{not}检测内部奇点的存在，也不确定的轨道欧拉示性数。事实上，平面圆盘与圆锥是斯捷克洛夫等谱的。在另一个方向上，我们得到的Steklov特征值的上界的黎曼orbifold的等周比和共形不变量。推广了B. Colbois，A. El Soufi和A. Girouard和第四作者的orbifold设置;在这个过程中，我们得到了一个清晰的结果，这些边界是不明显的流形设置。在二维情况下，我们的特征值边界仅依赖于轨道折叠的欧拉示性数和光滑边界分量与奇异边界分量的个数。
2017-05-18 math.AP math.DG math.SP
A note on the lower bounds of the first nonzero Steklov eigenvalue on compact manifolds
本文在一定截面曲率条件下，构造新权函数，给出Steklov特征值的新下界，推广Escobar和Xia-Xiong的结果，并研究共形变换下的下界估计。
2026-01-11 math.DG
Minimal surfaces and eigenvalue problems
我们表明，度量，最大化的第k次Steklov特征值的表面上的边界产生的自由边界极小曲面的单位球。我们证明了这些极小子流形的体积的几个性质。对于球中的自由边界极小子流形，我们证明了在球的共形变换下，边界体积约化为二阶。对于二维固定的整数多重可求长变倍，是固定的变形，保持球，我们证明了边界长度减少保形变换。我们也给出了一些已知的结果的拉普拉斯算子的极值度量的闭曲面的概述，并给出了一个调查，我们最近的结果[FS 2]的Steklov特征值的极值度量的紧曲面的边界。
2013-04-03 math.DG
The zeta-determinant of the Dirichlet-to-Neumann operator of the Steklov Problem on forms
本文将带边界黎曼流形上作用于q-形式的Dirichlet-to-Neumann算子的zeta-行列式对数，表示为绝对与Dirichlet边界条件Laplacian的zeta-行列式对数之差及曲率附加项，显式计算了2维和3维情形，并利用共形缩放方法恢复了2维情形的共形不变性结果。
2024-04-22 math.DG
Conformal limits of grafting and Teichmüller rays and their asymptoticity
本文证明了Teichmüller空间中的任意嫁接射线都（强）渐近于某个Teichmüller测地线.作为一个中间步骤，我们引入的表面，这些退化黎曼曲面的限制。给定一条嫁接射线，证明涉及一条具有共形等价极限的Teichmüller射线，并沿着射线在曲面之间建立低膨胀的拟共形映射。我们以前的工作已经证明了由非理性叠层或多重曲线确定的射线的结果，这里的统一方法给出了前一种情况的另一种证明。
2013-03-29 math.DG math.GT
Critical metrics of eigenvalue functionals via Clarke subdifferential
该研究基于Clarke微分理论构建新框架，研究算子特征值组合泛函的临界点，统一完善了Laplace、Steklov特征值相关研究，并将其应用于共形GJMS算子等新示例。
2025-06-16 math.DG math.FA math.SP
Min-max harmonic maps and a new characterization of conformal eigenvalues
本文将共形类中前两个非平凡 Laplacian 特征值的极大值刻画为球面值映射能量的极小极大量，并由此推出特征值界、极大度量存在性及极大 Radon 测度正则性结果。
2023-06-08 math.DG math.SP
Energy Quantization of Willmore surfaces at the boundary of the Moduli Space
在模空间中，当黎曼曲面序列退化时，我们建立了Willmore曲面序列的能量量子化结果。我们特别地展示了一种新的剩余，其量化了衣领区域中的潜在能量损失。由于这些留数，我们也证明了紧的Willmore浸入与有界的共形类和能量低于$12π$。
2016-09-28 math.AP math.DG
Second Variation Formula for Eigenvalue Functionals on Surfaces
本文推导了曲面上特征值泛函临界度量的第二变分公式，并证明非菱形环面上的平坦度量无法成为第一特征值的共形极大值，同时将类似结果推广至 Steklov 特征值情形。
2025-08-14 math.DG math.SP
Maximization of Laplace-Beltrami eigenvalues on closed Riemannian surfaces
设$(M,g)$是连通的、闭的、可定向的黎曼曲面，用$λ_k(M,g)$表示$(M,g)$上Laplace-Beltrami算子的第$k$个特征值.本文研究了映射$(M, g)\mapsto λ_k(M,g)$ .我们提出了一种计算方法来寻找共形谱$Λ^c_k(M,[g_0])$，这是由最大化$λ_k(M,g)$的$k$固定的$g$变化的共形类$[g_0]$固定体积$textrm{vol}(M,g) = 1$的特征值优化问题定义的。我们还提出了一个计算方法的问题，$M$是另外允许不同的表面与固定的属，$γ$。这被称为亏格$γ$的拓扑谱，记为$Λ^t_k(γ)$。我们的计算支持了一个猜想N。Nadirashvili（2002）指出，$Λ^t_k(0) = 8 πk$，通过一系列表面退化为$k$相同的圆形球体的联合而获得。此外，根据我们的计算，我们推测，$Λ^t_k(1) = \frac{8π^2}{\sqrt{3}} + 8π(k-1)$，通过一系列的表面退化成一个联盟的等边平坦环面和$k-1$相同的圆形球体。的值进行了比较，几个表面的拉普拉斯-贝尔特拉米特征值是众所周知的，包括领域，平坦的环面，和嵌入式环面。特别是，我们表明，在平坦的环面的第一卷，$k$次拉普拉斯-贝尔特拉米特征值具有局部最大值值$λ_k = 4π^2 \left\lceil \frac{k}{2} \right\…
2016-03-25 math.AP math.DG math.OC
A Meyer-Vietoris formula for the determinant of the Dirichlet-to-Neumann operator on Riemann surfaces
本文给出了边界由Dirichlet-to-Neumann算子的行列式定义的黎曼曲面的共形不变量的Meyer-Vietoris型胶合公式。该公式被用来限制退化下不变量的渐近性。证明了具有测地线边界的双曲曲面的模空间上的相应高度函数仅在亏格为零时才是恰当的。适当性意味着一个紧性定理Steklov等谱度量亏格为零的情况下。该公式还提供了具有Dirichlet或Neumann边界条件的Laplacian行列式的渐近性。为了证明，我们导出了具有外部势的图拉普拉斯算子的Kirchhoff加权矩阵树定理的一个推广。
2022-09-23 math.DG
Rigidity and Morse index of free boundary minimal $T$-surfaces in the unit ball
Auburn University（奥本大学）
本文证明平坦 $T$-锥到 $\mathbb{B}^n$ 的任何共形自由边界极小浸入在正交变换下与平坦 $T$-锥全等，从而统一了经典 Plateau 模型域的刚性定理。
2026-10-06 math.DG
Rigidity of free boundary minimal $Y$-surfaces in the unit ball
Johns Hopkins University（约翰斯·霍普金斯大学）
本文证明了单位球中满足正交自由边界条件的Y型极小锥必为平坦Y-锥，并计算了其Morse指标为2(n-2)，进而证明了Morse指标为2(n-2)的自由边界极小曲面只能是Y-锥。
2026-10-06 math.DG
