AI 中文总结
该研究证明紧光滑平面区域的斯特克利夫等谱族在$C^\infty$拓扑下是紧的，通过狄利克雷-诺伊曼算子的迹比较原理和归一化斯特克利夫行列式分析，解决了相关公开问题。
AI 中文摘要
我们证明，每一族紧光滑平面区域的斯特克利夫等谱族在$C^\infty$拓扑下是紧的，从而回答了Colbois、Girouard、Gordon和Sher提出的一个公开问题。证明分为两部分：第一，狄利克雷-诺伊曼算子的迹比较原理给出了负斯特克利夫ζ值的单调性，以及亏格为零的平坦曲面在固定共形类内的紧性；第二，我们分析了带测地边界的退化双曲曲面上的归一化斯特克利夫行列式，其渐近性由收缩边界分量、小诺伊曼和狄利克雷特征值表示，对于亏格为零的情况，这些特征值与加权图拉普拉斯算子进行了比较，这排除了在总双曲边界长度有界情况下的退化。我们最终通过几何非坍缩估计为平面区域建立了该边界长度的界。
英文摘要
We prove that every Steklov isospectral family of compact smooth planar domains is compact in the $C^\infty$ topology, answering an open question of Colbois, Girouard, Gordon, and Sher. The proof has two main parts. First, a trace comparison principle for Dirichlet-to-Neumann operators yields monotonicity of negative Steklov zeta values and compactness within a fixed conformal class for genus-zero flat surfaces. Second, we analyze the normalized Steklov determinant on degenerating hyperbolic surfaces with geodesic boundary. Its asymptotics are expressed in terms of shrinking boundary components and small Neumann and Dirichlet eigenvalues, which in genus zero are compared with weighted graph Laplacians. This rules out degeneration under a bound on the total hyperbolic boundary length. We finally establish this bound for planar domains by geometric non-collapse estimates.
