One-dimensional turbulence with Burgers
Roberta Bianchini, Anne-Laure Dalibard
综合已有的结果，我们证明了一维Burgers方程的解长时间收敛于定常Burgers方程的定常解，其Fourier谱是不可积的.这是波浪湍流的主要特征之一。
Gathering together some existing results, we show that the solutions to the one-dimensional Burgers equation converge for long times towards the stationary solutions to the steady Burgers equation, whose Fourier spectrum is not integrable. This is one of the main features of wave turbulence.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Decaying turbulence for the fractional subcritical Burgers equation
我们考虑一维空间周期情形下的分数阶非强迫Burgers方程：$$\partial u/\partial t+(f(u))_x +νΛ^α u= 0, t \geq 0,\ \mathbb{x} \in \mathbb{T}^d=(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^d.$$这里$f$是强凸的，并且满足一个附加的增长条件$Λ=\sqrt{-Δ}$，$ν$是小的正的，而$α\in (1,\ 2)$是亚临界范围内的常数.对于这个方程的解$u$，我们推广了文献[10]中对于$α=2$情形（即当$-Λ^α$是拉普拉斯算子时）得到的结果。我们得到尖锐的估计的时间平均Sobolev规范的$u$作为一个功能的$ν$。这些结果产生尖锐的估计自然类似物的数量表征的流体动力学湍流，即平均值的增量和能量谱。在惯性范围内，这些量表现为相关参数的范数的幂，相关参数分别是物理空间中的间隔$\ell$和傅立叶空间中的波数$\mathbf{k}$。所有估计值的形式与$α=2$的情况相同;唯一的变化（除了隐式常数）是$ν$被$ν^{1/(α-1)}$取代。
Turbulence for the generalised Burgers equation
本文综述了A.Biryuk和作者在\cite{Bir01,BorK,BorW,BorD}中关于圆上广义Burgers方程u_t+ f '（u）u_x= v u_{xx} +η，| x \in S ^1 = \R / \Z的湍流结果.这里，f是光滑的并且是强凸的，而常数0<v << 1对应于粘性系数。我们将考虑η=0的情况和η是一个随机力的情况，该随机力在x方向上是光滑的，在t方向上是不规则的（反冲或白噪声）。在这两种情况下，都得到了u的Sobolev范数在时间上和系综上的C ν^{-δ}，δ>=0的精确界，其中δ的上界和下界具有相同的值.这些结果产生小尺度量表征湍流的急剧边界，确认物理预测\cite{BK07}。
Decaying Turbulence in Generalised Burgers Equation
考虑广义Burgers方程$$ \frac{\partial u}{\partial t} + f'(u)\frac{\partial u}{\partial x} - ν\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0,\ t \geq 0,\ x \in S^1, $$，其中$f$是强凸的，$ν$是小的正的.我们得到尖锐的估计Sobolev规范的$u$（上限和下限仅不同的乘法常数）。然后，我们得到了衰减Burgers湍流的小尺度量，即耗散长度尺度，结构函数和能谱的精确估计。这个证明使用了Aurel、Frisch、Lutsko和Vergassola \cite{AFLV92}的一个定量论证。注意，我们处理的是\textit{decaying}，而不是定常湍流。因此，我们的估计在时间上是不一致的。然而，它们在时间间隔$[T_1, T_2]$上保持，其中$T_1$和$T_2$仅取决于$f$和初始条件，而不取决于粘度。这些结果在Kolmogorov的1941理论的精神下给出了一维Burgers湍流的严格解释。特别地，我们得到了在惯性范围内成立的两个结果。一方面，我们解释的双分形行为的时刻的增量，或结构功能。另一方面，我们得到了$k^{-2}$形式的能谱。这些结果在无粘极限下仍然有效。
Introduction à l'équation de Burgers stochastique et à la burgulence
本文介绍了具有周期边界条件和随机力的一维随机Burgers方程在空间变量上充分光滑的理论。证明了解的存在唯一性的经典结果，研究了它们的正则性，并讨论了当时间趋于无穷大或粘性趋于零时解的性质。后一个极限描述了Burgers方程中的湍流，由U。Frish“the burgulence”.本文可作为随机偏微分方程现代方法的初步介绍。
Kolmogorov's theory of turbulence and its rigorous 1d model
本文是对A. Boritchev，S. Kuksin，\textit{One-Dimensional Turbulence and the Stochastic Burgers Equation}，AMS Publications，2021（待发表）.这本书致力于随机Burgers方程作为一个模型的一维湍流，并讨论了其内容有关的Kolmogorov理论的湍流。
Sharp Estimates for Turbulence in White-Forced Generalised Burgers Equation
考虑非齐次广义Burgers方程\frac{\partial u}{\partial t} + f '（u）\frac{\partial u}{\partial x} - ν \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = η，\ t \geq 0，\ x \in S ^1.这里f是强凸的并且满足增长条件，ν是小的正的，而η是随机强迫项，在空间上光滑，在时间上是白色的。对于这个方程的任何解u，我们考虑对应于t>=T_1的准定态区域，其中T_1只依赖于f和η的分布。我们得到尖锐的上限和下限的Sobolev范数的$u$平均的时间和合奏。这些结果产生尖锐的上限和下限的自然类似物的数量特征的流体动力学湍流。我们的所有界都不依赖于初始条件或t（t>=T_1），并且在ν中一致成立。类似于我们的一些结果的估计已经获得了Aurell，Frisch，Lutsko和Vergassola在物理水平上的严格性，我们使用的参数从他们的文章。
Multidimensional potential Burgers turbulence
在空间周期背景下考虑多维广义随机Burgers方程：$ \partial \mathbf{u}/\partial t+$ $(\nabla f(\mathbf{u}) \cdot \nabla)$ $\mathbf{u} -νΔ\mathbf{u}=$ $\nabla η,\quad t \geq 0,\ \mathbf{x} \in \mathbb{T}^d=(\mathbb{R}/\mathbb{Z})^d,$，其中假设$\mathbf{u}$是一个梯度.这里$f$是强凸的并且满足增长条件，$ν$是小的并且是正的，而$η$是随机强迫项，在空间上光滑并且在时间上是白色的。对于该方程的解$\mathbf{u}$，我们研究了$\mathbf{u}$在时间和系综上平均的Sobolev范数：这些范数中的每一个都表现为$ν$的给定负幂。这些结果产生尖锐的上限和下限自然类似物的数量表征的流体动力学湍流，即平均值的增量和能量谱。这些量表现为相关参数的范数的幂，相关参数分别是物理空间中的间隔$\mathbf{l}$和傅立叶空间中的波数$\mathbf{k}$。我们的边界不依赖于初始条件，并保持在$ν$一致。我们概括的\cite{BorW}一维情况下得到的结果，确认物理预测\cite{BK07,GMN10}。请注意，估计值的形式不依赖于维度：$ν, |\mathbf{k}|, \mathbf{l}…
An initial-boundary value problem in a strip for two-dimensional Zakharov-Kuznetsov-Burgers equation
研究了二维Zakharov-Kuznetsov-Burgers方程在带内齐次Dirichlet边界条件下的初边值问题.在索伯列夫空间中建立了解的整体适定性和长时间衰减的结果。
Complete integrability of shock clustering and Burgers turbulence
本文研究了具有凸通量和随机初值的标量守恒律。Hopf-Lax公式导出了初始数据的确定性演化规律。在最近的一篇文章中，我们推导了一个动力学理论和Lax方程来描述的法律的演变的假设下，初始数据是一个谱负马尔可夫过程。在这里，我们表明：（i）Lax方程是Hamilton的，并且描述了马尔可夫群上的最小作用原理，该最小作用原理与$SO(N)$上的测地线流类似;（ii）Lax方程是完全可积的，并且通过算子的环群因式分解线性化;（iii）相关的零曲率方程可以通过逆散射求解。我们的结果是严格的$N$维近似的Lax方程，并产生公式的限制$N \to \infty$。主要的观察是，拉克斯方程是一个$N \to \infty$限制的马尔可夫变体的$N$波模型。这使我们可以从可积系统的理论中引入各种方法。
Three-Dimensional Stability of Burgers Vortices: the Low Reynolds Number Case
本文严格地证明了三维斯托克斯方程的Burgers涡族在小雷诺数下是稳定的。更精确地说，我们证明了任何解的初始条件是一个小扰动的Burgers涡将收敛到另一个Burgers涡随着时间的推移到无穷大，我们给出了一个明确的公式计算的变化的循环数（这完全表征极限涡）。我们还给出了严格的证明的存在性和稳定性的非轴对称的Burgers涡提供的雷诺数是足够小的，取决于不对称参数。
Three-dimensional stability of Burgers vortices
Burgers涡是斯托克斯方程的显式定常解，常用于描述三维湍流数值模拟中观察到的涡管。在该模型中，速度场是轴对称线性应变流的二维扰动。唯一的自由参数是雷诺数$Re = Γ/ν$，其中$Γ$是涡流的总循环，$ν$是运动粘度。本文的目的是表明，Burgers涡是渐近稳定的一般三维扰动，对于所有的雷诺数值。这一明确的结果包含了不同作者的早期研究，这些研究要么局限于小雷诺数，要么局限于二维扰动。我们的证明依赖于重要的观察，线性化运营商在伯格斯涡有一个简单的和非常具体的依赖轴向变量。这允许减少一个矢量的二维问题，这可以被视为使用在早期的作品中开发的技术的扩展的完全线性化方程。虽然伯格斯涡被发现是稳定的所有雷诺数，证明表明，扰动可能会经历一个重要的瞬态放大，如果$Re$是大的，一个现象，确实观察到在数值模拟。
Exact solution of the (2+1)-dimensional damping forcing coupled Burgers equation by using Darboux transformation
本文利用达布变换求解(2+1)维阻尼强迫耦合Burgers方程的精确解，推导了N重达布变换，并展示了孤立波和周期波解。
Regularity of solutions for the critical $N$-dimensional Burgers' equation
考虑了具有临界耗散项的分数阶Burgers方程在$\R^N$上的解.我们遵循Caffarelli和Vasseur \cite{Driftdiffusion}的抛物型De-Giorgi方法，证明了在$L^2(\R^N)$中给定任何初始数据时光滑解的存在性.
Radially Symmetric Stationary Wave for Two-dimensional Burgers Equation
研究二维Burgers方程外问题的径向对称驻波。给出了保证这种驻波存在的一个充分和必要条件，并证明了这种驻波满足很好的衰减估计，在径向对称扰动下是时间渐近非线性稳定的.
Self-similarity in turbulence and its applications
首先，我们讨论了纳维-斯托克斯方程的非高斯型自相似解。我们重新审视了Canonne-Planchon（1996）中研究的一类自相似解。为了阐明这一点，我们详细研究了1D Burgers方程的自相似解，完成了它可能拥有的最一般形式的相似性剖面。特别是，在著名的源型解决方案的顶部，我们确定一个扭结型的解决方案。对于二维纳维-斯托克斯方程，在著名的Burgers涡的基础上，我们导出了相应的Fokker-Planck方程的另一个解。这可以被看作是一个'共轭'的伯格斯涡，就像上面的扭结型解决方案。研究了这类解的一些渐近性质。对三维纳维-斯托克斯方程的影响提出了建议。其次，我们解决了自相似解决方案的应用，探索更一般的解决方案。特别地，基于三维纳维-斯托克斯方程的源型自相似解，我们考虑我们可以告诉更一般的解决方案。
Nonlinear asymptotic stability of non-self-similar rarefaction wave for two-dimensional viscous Burgers equation
本文研究二维粘性 Burgers 方程解趋向于由曲线分隔的非自相似稀疏波的大时间行为，证明其时间渐近稳定性并给出衰减速率，且允许大稀疏波强度和大初始扰动。
Is Multiscaling an Artifact in the Stochastically Forced Burgers Equation?
本文研究了一维Burgers方程中的湍流问题，随机力为时间白高斯力，具有傅立叶空间谱$\sim 1/k$，其中$k$为波数。从非常高分辨率的数值模拟，在消失的粘度的限制，我们发现的证据多尺度的速度结构功能，不能被证伪的标准测试。我们发现了一个新的人工制品，对数修正可以出现伪装成异常缩放，并得出结论，双分形缩放是可能的。
Finite Volume Method for the Relativistic Burgers Model on a (1+1)-Dimensional de Sitter Spacetime
近年来，在不同的时空几何条件下，Burgers方程的相对论模型得到了一些推广。在这项工作中，我们考虑到de Sitter时空几何，介绍我们的相对论模型的基础上消失的压力欧拉方程的相对论性可压缩流体的（1+1）维背景下的技术，并构造一个二阶Goddom型有限体积格式检查数值实验中的宇宙常数的分析。数值结果表明，该方法的有效性的解决方案，包含激波和稀疏波。
Dynamics of discrete random Burgers-Huxley systems: attractor convergence and finite-dimensional approximations
本文应用隐式Euler格式离散随机Burgers-Huxley方程，证明了数值吸引子的存在性及其对全局吸引子的上半收敛性，并给出了三种吸引子的有限维逼近及截断随机吸引子的收敛性。
A Short Survey of the Well-posedness of the Two-dimensional Burgers' Equation
本文基于无穷维动力系统框架，利用Galerkin方法、Sobolev空间及能量估计，证明了二维Burgers方程在适当初始与边界条件下全局解的存在性与唯一性。
Unraveling Self-Similar Energy Transfer Dynamics: a Case Study for 1D Burgers System
本文通过1D粘性Burgers方程研究自相似能量输运，利用PDE约束优化方法构造初始条件，发现粘性与惯性解，证明小粘性下可获得自相似行为，为复杂流体模型提供方法。
Global asymptotic stability of KdV-Burgers fronts in a weakly two-dimensional model
本文研究弱二维模型中KdV-Burgers方程前沿解的全局渐近稳定性，通过扩展能量方法证明在窄渠道及特定色散参数条件下，一维前沿为全局吸引子且唯一。
A dispersive estimate for the multidimensional Burgers equation
研究了多维Burgers方程$u_t + u u_{x_1} + \dots + u^d u_{x_d} = 0$ .证明了该方程熵解的$L^\infty$范数仅以初始数据的$L^1$范数多项式衰减为$t \to \infty$.
Existence and stability of asymmetric Burgers vortices
Burgers涡是三维Navier-斯托克斯方程的定常解，存在背景应变流。只有当应变为轴对称时，这些解才由显式公式给出。在本文中，我们考虑一个弱非对称应变，并证明在这种情况下，非轴对称涡存在的所有值的雷诺数。在大雷诺数的限制下，我们恢复了Moffatt，Kida和Ohkitani（1994）的渐近结果。我们还表明，非对称涡是稳定的局部二维扰动。
Multi-dimensional Burgers equation with unbounded initial data: well-posedness and dispersive estimates
当数据$u_0$是有界可测函数（Kruzhkov）时，标量守恒律的Cauchy问题存在唯一的熵解。半群$(S_t)_{t\ge0}$在$L^1$距离上收缩。对于多维Burgers方程，我们证明了当$1\le p<\infty$，$(S_t)_{t\ge0}$作为连续半群在$L^p(\mathbb{R}^n)$上唯一扩张，并且$u(t):=S_tu_0$实际上是Cauchy问题的熵解.当$p\le q\le \infty$和$t>0$时，$S_t$实际上将$L^p(\mathbb{R}^n)$映射为$L^q(\mathbb{R}^n)$。这些结果是基于新的色散估计。成分一方面是补偿可积性，另一方面是De Giorgi型迭代。
Mixing for the Burgers equation driven by a localised two-dimensional stochastic forcing
我们考虑一维Burgers方程受随机强迫扰动，假设该随机强迫在时间上是白的，在空间上是局部的和低维的。我们建立了一个混合性质的马尔可夫过程与问题。证明是基于混合的一般标准和阻尼守恒律轨迹的全局近似可控性的最近结果。
Spontaneous Stochasticity and Anomalous Dissipation for Burgers Equation
我们开发了一个拉格朗日方法的守恒律异常弱解的无粘Burgers方程，以前的工作的Kraichnan模型的湍流标量平流的动机。我们表明，熵的解决方案的Burgers具有马尔可夫随机过程的（广义）拉格朗日轨迹向后的时间的Burgers速度是一个向后鞅。这个属性是为了保证耗散性的守恒律异常的一般凸函数的速度。然而，具有这些性质的倒向随机Burgers流并不是唯一的。我们构建无穷多个这样的随机流，无论是由几何结构和零噪声限制的Constantin-Iyer随机表示的粘性Burgers解决方案。后者的证明产生的拉格朗日轨迹的自发随机性向后的时间为Burgers，在单位普朗特数。证明了以速度为鞅的倒向随机流的存在性是选择Burgers唯一熵解的容许条件。我们还研究了无粘Burgers流的被动密度和标量的线性输运。我们表明，冲击解决方案的Burgers表现出自发的随机性向后的时间为所有普朗特数，这意味着保守律异常的线性运输。讨论了Burgers方程的结果与不可压Navier-Stokes湍流的关系，特别是Euler解的Lagrange容许条件以及湍流叶栅方向与Lagrange随机性时间非对称性的关系。
Efficient Numerical Scheme for Solving (1+1), (2+1)-dimensional and Coupled Burgers Equation
基于向后微分公式（BDF）和广义微分求积法（GDQM），发展了一种数值格式。利用该格式对Burgers方程的一维、二维和二维耦合模型进行了数值计算。结果表明，该方法在绝对误差和误差指标方面具有较好的精度
New (2+1)-dimensional Burgers equation and its solitary wave solutions via the Lie symmetry method
本文利用递推算子构造新的(2+1)维Burgers方程，并通过Lie对称约化得到显式解，揭示亮孤子、呼吸子、扭结及相互作用等多种孤波动力学。
Enhanced symmetry analysis of two-dimensional Burgers system
对二维Burgers系统进行了增强对称性分析。该系统的完整的点对称群，发现使用增强版本的代数方法。用最优化的方法对Burgers系统的Lie约化进行了全面的研究，构造了新的Lie不变解。我们证明了该系统不存在局部守恒律，然后研究了隐藏的守恒律，包括潜在的守恒律。各种隐藏的对称性（连续的，离散的和潜在的）被认为是该系统以及。我们详尽地描述了解决方案的Burgers系统，它的共同解决方案，其无粘对应和二维纳维-斯托克斯方程的子集。利用微分约束的方法，这是特别有效的Burgers系统，我们构造了一些广泛的家庭的解决方案，这个系统表示的（1+1）维线性热方程的解决方案，虽然他们不相关的著名的线性化解决方案的Burgers系统的子集。
Extended symmetry analysis of two-dimensional degenerate Burgers equation
针对二维退化Burgers方程，开展扩展对称性分析，得到其点对称群、守恒律空间结构，完成Lie约化并构造多类新解，还附带得到输运方程及相关非线性扩散方程的对称与新解成果。
Burgers' equation revisited: extension of mono-dimensional case on a network
本文讨论了无圈度量图上Burgers方程的分析。主要目的是建立弱解的存在性在$TV$ -类的正则性。一个关键点是传输条件的顶点遵守基尔霍夫定律。首先，我们考虑了任意无环网络的正解，重点讨论了两种顶点，描述了两种流在顶点分裂的机制。其次，我们设计规则的任意符号的任何子图的六角形网格的解决方案的顶点，这导致了构造一般的解决方案与$TV$ -正则性为这类网络。所引入的传输条件是由能量估计的改变所激励的。
Existence of globally attracting solutions for one-dimensional viscous Burgers equation with nonautonomous forcing - a computer assisted proof
本文通过计算机辅助证明，证明了在特定粘性和非自治强迫下，一维粘性Burgers方程在周期边界条件下存在全局吸引解，且强迫周期性时解也周期性。
Global Stabilization of Two Dimensional Viscous Burgers' Equation by Nonlinear Neumann Boundary Feedback Control and its Finite Element Analysis
本文利用非线性Neumann边界反馈控制律，建立了二维粘性Burgers方程的全局稳定性结果，即在任意初值下，非定常解收敛于定常解.然后，在空间方向上应用$C^0$ -协调有限元法，导出了状态变量在$L^\infty(L^2)$和$L^\infty(H^1)$ -范数下的最优误差估计和边界反馈控制律的收敛性结果。所有结果都保持指数稳定性。最后，我们进行了一些数值实验来证实我们的理论研究结果。
Lyapunov Exponents for Burgers' Equation
在有限区间上建立了一维粘性Burgers方程Dirichlet边界条件定态解的存在性、唯一性和稳定性。我们得到明确的解决方案的公式和解析确定的李雅普诺夫指数表征渐近行为的任意解决方案接近平稳的。
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