查询复杂度与多项式Freiman-Ruzsa猜想
Query complexity and the polynomial Freiman-Ruzsa conjecture
摘要：
我们证明了查询复杂度的弱多项式Freiman-Ruzsa猜想的变种在下面的形式。对于任何$ε> 0$，具有双倍$K$的集合$A \subset \mathbb{Z}^d$具有大小至少为$K^{-\frac{4}ε}|A|$且协调查询复杂度至多为$ε\log_2 |A|$的子集。我们应用这个结构性结果给出了整数集“少积多和”现象的一个简单证明。由此产生的界限是明确的，并改进了Bourgain和Chang的开创性结果。
英文摘要：
We prove a query complexity variant of the weak polynomial Freiman-Ruzsa conjecture in the following form. For any $ε> 0$, a set $A \subset \mathbb{Z}^d$ with doubling $K$ has a subset of size at least $K^{-\frac{4}ε}|A|$ with coordinate query complexity at most $ε\log_2 |A|$. We apply this structural result to give a simple proof of the "few products, many sums" phenomenon for integer sets. The resulting bounds are explicit and improve on the seminal result of Bourgain and Chang.
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