纽结空间的模型与 Atiyah 对偶
Models for knot spaces and Atiyah duality
AI总结：
本文利用 Atiyah 对偶研究圆周到高维闭流形光滑嵌入空间的余模模型，引入新谱序列计算其同调，并证明相关同伦群同构与上链复形等价。
摘要：
设 $\mathrm{Emb}(S^1,M)$ 为从圆周到维数 $\geq 4$ 的闭流形 $M$ 的光滑嵌入空间。我们利用称为 Atiyah 对偶的 Poincaré-Lefschetz 对偶的谱版本，研究稳定范畴中 $\mathrm{Emb}(S^1,M)$ 的余单纯模型。我们实际上处理的是余模的概念而非余单纯模型，并证明了对偶的余模版本。作为应用，我们引入了一个新的谱序列，对于单连通的 $M$ 和主要系数环，它收敛到 $H^*(\mathrm{Emb}(S^1,M))$。利用此结果，我们在对 $k$、$l$ 的某些条件下计算了低阶的 $H^*(\mathrm{Emb}(S^1, S^k\times S^l))$。我们还证明了，对于某些单连通 $4$ 维流形，包含映射 $\mathrm{Emb}(S^1,M)\to \mathrm{Imm}(S^1,M)$ 到浸入在 $π_1$ 上诱导同构，这与 Arone 和 Szymik 提出的问题相关。我们还证明了 $\mathrm{Emb}(S^1,M)$ 的奇异上链复形与某可解空间上丛的 Thom 谱的链复形同伦余极限的等价性。我们的关键要素是归功于 R. Cohen 的该对偶的结构化版本。
英文摘要：
Let $\mathrm{Emb}(S^1,M)$ be the space of smooth embeddings from the circle to a closed manifold $M$ of dimension $\geq 4$. We study a cosimplicial model of $\mathrm{Emb}(S^1,M)$ in stable categories, using a spectral version of Poincaré-Lefschetz duality called Atiyah duality. We actually deal with a notion of a comodule instead of the cosimplicial model, and prove a comodule version of the duality. As an application, we introduce a new spectral sequence converging to $H^*(\mathrm{Emb}(S^1,M))$ for simply connected $M$ and for major coefficient rings. Using this, we compute $H^*(\mathrm{Emb}(S^1, S^k\times S^l))$ in low degrees with some conditions on $k$, $l$. We also prove the inclusion $\mathrm{Emb}(S^1,M)\to \mathrm{Imm}(S^1,M)$ to the immersions induces an isomorphism on $π_1$ for some simply connected $4$-manifolds, related to a question posed by Arone and Szymik. We also prove an equivalence of singular cochain complex of $\mathrm{Emb}(S^1,M)$ and a homotopy colimit of chain complexes of a Thom spectrum of a bundle over a comprehensible space. Our key ingredient is a structured version of the duality due to R. Cohen.
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