数域中的范数关系与计算问题
Norm relations and computational problems in number fields
AI总结：
本文推广了群代数中的范数关系，给出了其存在的充要条件，并基于此提出了计算数域整数环、$S$-unit 群和类群的子域算法，在 GRH 下计算了大数域类群并得到 cyclotomic 域类数的无条件新值。
摘要：
对于有限群 $G$，我们引入了群代数 $\mathbb Q[G]$ 中范数关系的推广。我们给出了此类关系存在的充分必要条件，并将其应用于建立代数数域的具有 Galois 群 $G$ 的正规扩张的子域的算术不变量之间的关系。在算法层面，这导出了基于子域的算法，用于计算整数环、$S$-unit 群和类群。对于 $S$-unit 群的计算，这给出了一个到子域中相应问题的多项式时间归约。我们在 GRH 下计算了大数域的类群，并得到了 cyclotomic 域类数的新的无条件值。
英文摘要：
For a finite group $G$, we introduce a generalization of norm relations in the group algebra $\mathbb Q[G]$. We give necessary and sufficient criteria for the existence of such relations and apply them to obtain relations between the arithmetic invariants of the subfields of a normal extension of algebraic number fields with Galois group $G$. On the algorithmic side this leads to subfield based algorithms for computing rings of integers, $S$-unit groups and class groups. For the $S$-unit group computation this yields a polynomial time reduction to the corresponding problem in subfields. We compute class groups of large number fields under GRH, and new unconditional values of class numbers of cyclotomic fields.
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