A Note on Empty Balanced Tetrahedra in Two colored Point sets in $\mathbb{R}^3$

Empty Rainbow Triangles in $k$-colored Point Sets

Let $S$ be a set of $n$ points in general position in the plane. Suppose that each point of $S$ has been assigned one of $k \ge 3$ possible colors and that there is the same number, $m$, of points of each color class. A polygon with vertices on $S$ is empty if it does not contain points of $S$ in its interior; and it is rainbow if all its vertices have different colors. Let $f(k,m)$ be the minimum number of empty rainbow triangles determined by $S$. In this paper we give tight asymptotic bounds for this function. Furthermore, we show that $S$ may not determine an empty rainbow quadrilateral fo…

平面双色点集的服装数

Garment numbers of bi-colored point sets in the plane

研究平面双色点集的单色四边形存在性，提出五种单色结构并给出新的上下界。

关于双色点集上的平衡4-洞

On balanced 4-holes in bichromatic point sets

设$S=R\cup B$是平面中一般位置的点集，使得其每个元素被着色为红色或蓝色，其中$R$和$B$分别表示着色为红色的点和着色为蓝色的点。顶点在$S$中的四边形称为$4$ -洞，如果它的内部没有$S$的元素.我们说$S$的$4$ -洞是平衡的，如果它有$S$的$2$红点和$2$蓝点作为顶点。本文证明了：若$R$和$B$都含有$n$点，则$S$至少有$\frac{n^2-4n}{12}$平衡$4$ -洞，且此界紧达常数因子.由于存在不具有平衡{ \em凸} $4$ -洞的双色点集，我们进一步给出了具有这种类型的$4$ -洞的双色点集的一个刻画.

最大宽度的彩虹平分空环形

Maximum-Width Rainbow-Bisecting Empty Annulus

研究平面上彩色点集的最大宽度彩虹平分空环形问题，提出了在特定时间与空间复杂度内计算轴平行正方形、矩形和圆形环形的高效算法。

关于几乎空的单色三角形数量

On the Number of Almost Empty Monochromatic Triangles

本文研究了多色点集中单色三角形数量，证明了在特定条件下单色三角形的下界，并推广了空三角形结果到具有少量内部点的情况。

空单色单形

Empty Monochromatic Simplices

设$S$是$\mathbb{R}^d$，$d\geq 3$中$n$点的$k$着色（有限）集，在一般位置，即$S$中没有{ $(d + 1)$ }点位于公共$(d - 1)$ }维超平面.我们计算了由$S$确定的空单色$d$ -单形的数量，即，仅具有来自$S$的一个颜色类的点作为顶点并且在其内部没有$S$的点的单形。对于$3 \leq k \leq d$，我们提供了$Ω(n^{d-k+1+2^{-d}})$的下限，并将其加强为$k=2$的$Ω(n^{d-2/3})$。在此过程中，我们提供了$\mathbb{R}^d$中点集三角剖分的各种结果。特别是，对于任何常维$d\geq3$，我们证明了每一组$n$点（$n$足够大），在一般的位置在$\mathbb{R}^d$，承认三角至少$dn+Ω(\log n)$单纯形。