Dimension reduction through Gamma convergence for general prestrained thin elastic sheets

预应变微结构弯曲板的有限元离散化

Finite element discretizations of bending plates with prestrained microstructure

本文针对预应变微结构弯曲板模型，提出并分析了一种有限元离散化方法，证明其Γ-收敛性，并扩展至预应变复合材料，无需微观误差收敛速率。

具有非协调应变的弹性壳模型

Models for elastic shells with incompatible strains

叶片的三维形状，如叶片、花朵、羽毛、翅膀等，是由相对生长引起的差异应变驱动的。这种增长是通过黎曼度规的变化而发生的，黎曼度规在薄片上是中心平面上的位置的函数，也是薄片厚度的函数。然后，形状是受抑几何物体上的弹性能量最小化的结果。在这里，我们提供了一个严格的推导剩余应变薄板的形状与非平凡曲率的渐近理论，即增长的弹性壳在弱和强弯曲的制度，推广早期的结果名义上平板的增长。不同的理论的区别在于中表面曲率相对于逆厚度和生长应变的比例，也允许我们将经典的Föppl-von Kármán能量推广到预应变扁壳理论。

液体上弹性薄板的渐近变分问题

An Asymptotic Variational Problem Modeling a Thin Elastic Sheet on a Liquid, Lifted at One End

我们讨论了一个一维变分问题模拟弹性薄板在水中，解除在一端。它的项包括膜和板的弯曲能以及重力和表面张力项。通过研究一个合适的伽玛极限，我们确定了一个参数的制度，在该制度中的片材是不可扩展的，弯曲能量和重量的片材是可以忽略不计的。在这种情况下，问题简化为一个简单而明确的解决方案。

弹性薄板中的圆锥奇点

Conical singularities in thin elastic sheets

当人们将一个薄的弹性片在其中心轻轻地推入一个空心圆柱体时，该片形成（在很高的逼近阶上）一个可展锥，或简称为“d锥”。在这里，我们调查的d-锥的一个特殊的方面，即弹性能与片材厚度的缩放。在Brandman，Kohn和Nguyen最近的工作之后，我们研究了当边界值由一个精确的d-锥给出时，寻找最小弹性能构型的狄利克雷问题.我们改进了他们的结果的能量标度。特别是，我们表明，从对数能量标度的偏差是有界的常数倍的双对数的厚度。

关于圆锥形弹性薄板的一个边值问题

On a boundary value problem for conically deformed thin elastic sheets

我们考虑一个圆盘形状的薄弹性薄板，它在边界处被夹紧，使得位移和变形梯度与没有拉伸的圆锥变形一致。我们将自由弹性能定义为冯卡门能的一种变化，它用$p\in (2,\frac83)$（而不是通常的$p=2$）惩罚$L^p$中的弯曲能。我们证明了一个自由的上限和下界的弹性能量，规模像$h^{p/(p-1)}$，其中$h$是厚度的片材。

弹性薄板中单个向错的能量标度律

Energy scaling law for a single disclination in a thin elastic sheet

我们考虑厚度为$h$的弹性薄板中的单一向错。我们证明ansatz自由下界的自由弹性能在三个不同的设置：第一，几何完全非线性板模型，第二，三维非线性弹性，第三，Föppl-冯卡门板理论。第一个和第三个结果中的下界是最优的，因为我们找到了与$h$的前导顺序中的相应下界相同的上界。

弹性薄板圆锥变形的一个障碍问题

An obstacle problem for conical deformations of thin elastic sheets

可展圆锥（“d-圆锥”）是当弹性片在其中心处被压入中空圆柱体中一距离$ε$时所形成的形状。从一个依赖于薄板厚度$h > 0$的非线性模型出发，证明了$\mathbb{S}^2$中曲线的四阶障碍问题的$Γ$ -收敛结果为$h \rightarrow 0$.然后，我们描述的极限问题时，$ε$是小的极小的确切形状。特别是，我们严格证明以前的结果在物理文献。

单向错弹性薄板低能位形的形状

The shape of low energy configurations of a thin elastic sheet with a single disclination

本文考虑一个含单向错弹性薄板的几何完全非线性变分模型。自由弹性能包含厚度$h$作为小参数。我们给出了一个最近证明的能量标度律的改进，删除了下一个领先的顺序项的下界。然后，我们证明了收敛的（几乎）极小的自由弹性能量的形状的径向对称锥，欧几里德运动，弱在空间$W^{2,2}(B_1\setminus B_ρ;\mathbb{R}^3)$为每个$0<ρ<1$，厚度$h$发送到0。

接近无应力接头的非线性弹性的线性化与均匀化

Linearization and Homogenization of nonlinear elasticity close to stress-free joints

本文研究具有周期性微结构和接近无应力接头预应力的超弹性复合材料，证明线性化与均匀化的连续极限和同时极限收敛到同一含均匀化预应力的线性弹性模型，并揭示材料均匀化与预应力均匀化的耦合关系。

一类高拉伸弹性薄板褶皱模型的存在性定理

An Existence Theorem for a Class of Wrinkling Models for Highly Stretched Elastic Sheets

本文针对高拉伸弹性薄板褶皱模型，在有限应变超弹性膜能量加小弯曲扰动的框架下，证明了能量最小值的存在性。

含拓扑缺陷的薄弹性片的能量标度律

Energy scaling laws for thin elastic sheets with topological defects

该研究针对含向错、位错拓扑缺陷的薄弹性片，基于完全非线性三维模型推导能量标度律，获有限厚度模型的首批严格界，为相关物理猜想提供数学支撑。

二维弹性动力学中可压缩涡面的线性稳定性

Linear Stability of Compressible Vortex Sheets in Two-Dimensional Elastodynamics

本文研究了二维等熵弹性流动中直线可压缩涡面的线性稳定性。该问题有一个自由边界，且边界是特征边界。得到了直线涡面线性稳定的充要条件。更准确地说，它表明，除了稳定的超音速区，弹性施加一个额外的稳定亚音速区。本文发现了弹性流动的一个新特征，即在亚音速区内部存在一类状态，这类状态的稳定性比其它状态的稳定性弱，这是因为它对源项的切向导数有一个额外的损失。这是欧拉流所不具备的新特性。弹性流的困难之一是特征值的不可微点可能与Lopatinskii行列式的根重合。因此，Kreiss对称化不能直接应用。相反，我们执行一个上三角化的系统，在频率空间中的所有点只分离出的模式，这样就可以得到一个精确的估计的传出模式。此外，由于解的$L^2$正则性，所有的输出模都为零。输入模式的估计可以直接从Lopatinskii行列式导出。这种新方法避免了使用Kreiss对称化时对输出模的冗长计算和估计。该方法同样适用于欧拉流动和磁流体流动。

目标曲率面内调制的非均匀弹性板及其在薄凝胶板中的应用

Heterogeneous elastic plates with in-plane modulation of the target curvature and applications to thin gel sheets

通过$Γ$ -收敛，我们从描述弹性非均匀薄板有限弹性的三维模型中严格推导出Kirchhoff板理论。材料弹性性质的不均匀性导致取决于厚度和平面变量$x'$的自发应变。同时，自发应变是$h$ -接近恒等式，其中$h$是量化厚度的小参数。2D Kirchhoff极限模型被约束到板的中间平面到$\mathbb{R}^3$中的等距浸入的集合，具有惩罚与变形相关联的曲率张量与$x'$相关的目标曲率张量的偏差的对应能量。在目标曲率张量为分段常数的情况下，讨论了二维极小化问题。最后，我们将导出的板理论应用于非均质薄凝胶片中溶胀引起的形状变化的建模。

再论d-锥的一维模型

The one-dimensional model for d-cones revisited

d锥是当将弹性片在其中心推入中空圆柱体时获得的形状。在一个简单的模型中，可以将变形构型中的弹性片材视为在圆锥尖端处具有奇点的可展曲面。在这种近似中，重整化弹性能由在参考构型中的某些环上积分的弯曲能密度给出。这样定义的变分问题取决于薄板在圆柱体中的压痕。这个模型已经在物理学文献中进行了研究，本文的主要动机是通过形式论证给出一些结果的严格版本。我们推导出当缩进被发送到0时能量泛函的伽马极限。进一步，我们分析了极限泛函的极小元，并列出了它们必须满足的一些必要条件。

旋转对称薄板的近圆锥变形

Almost conical deformations of thin sheets with rotational symmetry

在数值实验中已经发现，当人们从弹性片材上移除扇区并将扇区的边缘重新粘在一起时，所得到的构型是径向对称的并且接近圆锥形。我们在两个简化的假设下对这种设置进行了严格的分析：首先，我们只考虑径向对称的配置。其次，我们考虑所谓的von-Kármán极限，其中移除区域的大小以及变形都很小。我们对无限大的薄板选择自由边界条件。我们证明了适当重整化的自由能泛函的极小值的存在性。作为一个副产品，我们得到了一个下界的弹性能量，已在相关的上下文中的d-锥。此外，我们确定了无穷远直至指数衰减项的最小值的形状。

正则锥的能量标度律

Energy scaling law for the regular cone

我们考虑一个薄的弹性片的形状的一个磁盘的参考度量是一个奇异的锥。也就是说，参考度量远离中心是平坦的，并且在那里具有缺陷。我们定义了一个几何上完全非线性的自由弹性能，并研究了当厚度$h$趋于0时，自由弹性能的标度行为。我们的工作有两个简化的假设：首先，我们认为变形片是一个浸没在欧几里得三维空间中的二维黎曼流形，并假设在原点（片的中心）的指数映射提供了整个流形的坐标图。其次，能量泛函惩罚$L^\infty$中的诱导度量和参考度量之间的差异（而不是像通常那样在$L^2$中）。在这些假设下，我们证明了在$h$的首阶中，正则锥的单位厚度弹性能由$C^*h^2|\log h|$给出，其中$C^*$的值是明确给出的.

Foppl-vonKarman板理论中皱曲薄板的能量

The energy of crumpled sheets in Foppl-von Karman plate theory

我们研究调查长，薄的矩形弹性膜，通过一个角度$2 α$弯曲，使用Foppl-冯卡门在一个几何线性设置的Anchorage。我们研究了相应的变分问题，并证明了弹性能量极小解的存在性。我们还证明了严格的上限和下界的最小能量的配置方面的板的厚度和弯曲角度，我们也得到了结果的结构的弹性脊沿其长度。

皱曲弹性薄板能量的下界--最小脊

Lower bounds for the energy in a crumpled elastic sheet - A minimal ridge

本文研究了一个长而薄的矩形弹性薄膜的线性化Fopl - von Karman理论，该薄膜弯曲成一个角$2 α$。我们证明严格的界限，这种配置的最小能量的板厚度$σ$和弯曲角度。我们证明了最小能量标度为$σ^{5/3} α^{7/3}$。这种缩放与先前获得的结果与各向同性压缩边界条件下的薄板的线性化理论，其中的能量尺度为$σ$形成鲜明对比。

弹性体薄板主动板模型的严格推导

Rigorous derivation of active plate models for thin sheets of nematic elastomers

在有限弹性的背景下，我们提出了板模型描述的自发弯曲的弹性体薄膜由于沿厚度的变化的顺序参数。减少能量泛函推导出从一个三维的描述系统使用严格的降维技术，基于伽玛收敛理论。二维模型是非线性板理论，其中偏离特征目标曲率张量消耗弹性能量。此外，存储的能量泛函不能被最小化为零，从而揭示了残余应力的存在，如在数值模拟中观察到的。以下三种取向被认为是：展弯和扭曲取向的取向的取向取向的取向这三种纹理实现了三个非常不同的结构模型：一个只有一个稳定的自发弯曲配置，一个有两个相反的弯曲配置的最小能量，和一个零刚度扭转壳。

弹性薄片浮于液滴状液体基底上的褶皱

Wrinkling of an elastic sheet floating on a liquid sphere

研究弹性薄片在液滴状液体基底上的褶皱现象，通过变分方法分析能量最小化，推导厚度比展开式并建立上下界。

反平面弹性一维六方准晶体的半平面格林函数

Half-plane Green`s function for anti-plane elastic 1D hexagonal QCs

针对反平面应变下受弹性波作用的一维六方准晶薄片，推导其频率相关基本解、格林函数及剪切波自由场闭式解，为相关动力学研究与计算方法发展提供基础。

高阶预应变不协调板

Plates with incompatible prestrain of higher order

我们研究了不相容预应变薄板的有效弹性行为，其特征在于在参考配置上的黎曼度量$G$。我们假设预应变是“弱”的，即它引起不相容弹性能$E^h$按板的厚度$h$换算，其量级小于$h^2$。我们基本上证明了两个结果。首先，我们建立的$Γ$ -限制的标度能量$h^{-4}E^h$和表明，它包括一个冯卡门的能量，给出的一阶无穷小等距和表面上的容许应变等距浸入$G_{2\times 2}$（即中板上的预应变度量）在$\mathbb{R}^3$。其次，我们证明了在缩放制度$E^h\sim h^β$与$β>2$，有没有其他的限制理论：如果$\inf h^{-2} E^h \to 0$，然后$\inf E^h\leq Ch^4$，如果$\inf h^{-4}E^h\to 0$，然后$G$是可实现的，因此$\min E^h = 0$为每个$h$。

Modeling and simulation of thin sheet folding

The article addresses the mathematical modeling of the folding of a thin elastic sheet along a prescribed curved arc. A rigorous model reduction from a general hyperelastic material description is carried out under appropriate scaling conditions on the energy and the geometric properties of the folding arc in dependence on the small sheet thickness. The resulting two-dimensional model is a piecewise nonlinear Kirchhoff plate bending model with a continuity condition at the folding arc. A discontinuous Galerkin method and an iterative scheme are devised for the accurate numerical approximation …

圆形薄板与球形基体粘接时的起皱

Wrinkling of a thin circular sheet bonded to a spherical substrate

本文考虑一个圆盘形薄弹性片与一个柔性球的粘结。(Our薄板可以沿球体滑动;粘合仅控制其法向位移。）如果粘合是刚性的（但不是太刚性），则球体的几何形状使片材起皱以避免方位角压缩。该系统的总能量是片材的弹性能量加上（温克勒型）基底能量。将薄片$h$的厚度作为一个小参数处理，我们确定了能量的首阶行为，因为$h$趋于零，并给出了（几乎匹配的）下一阶修正的上界和下界。我们的分析的领导秩序的行为确定的宏观变形的片材，特别是它确定的程度的褶皱区域，并预测（非平凡的）径向应变的片材。前导阶行为还提供了关于褶皱的长度尺度的洞察，表明它必须近似地独立于距片材中心的距离$r$（因此褶皱的数量必须随着$r$的增加而增加）。我们的研究结果的下一阶校正提供了洞察力，如何的条纹图案应随$r$。粗略地说，他们建议，皱纹的长度尺度应该{ \it not}是完全恒定的--相反，它应该变化一点，这样，在半径$r$处的皱纹数量可以近似分段恒定地依赖于$r$，取$h^{-α}$与$α\approx 1/2$的整数倍的值。

预应变不协调的板

Plates with incompatible prestrain

本文研究了预应变不协调板的有效弹性行为，这里的预应变与厚度无关，并且在整个厚度上是均匀的。我们将这种板模拟为具有规定的逐点无应力状态的三维弹性体，其特征在于具有上述性质的黎曼度量$G$，并寻求厚度趋于零时的极限行为。所得结果推广了M. Lewicka，M. R. Pakzad ESAIM控制优化计算值变种17（2011），第4号。我们首先建立了$Γ$ -极限是Kirchhoff型弯曲。此外，我们表明，最小能量配置包含非平凡基尔霍夫型弯曲-即，三维能量的标度是板厚度的立方的数量级--当且仅当$G$的黎曼曲率$R^3_{112}, R^3_{221}$和$ R_{1212}$不相同地为零。我们通过例子证明了一个新的区域的存在，其中$G$的上述三个曲率消失（而板的中平面可能是平的，也可能不是平的），但极限构型仍然具有Föppl - von Kármán板的能量。最后，我们将这些结果应用到一个模型的玻璃，包括表征的条件时，度量是浸入式的，为$G=\mbox{Id}_3 +γ\vec n\otimes \vec n$给出的不均匀的单位导演场分布$\vec n\in\mathbb{R}^3$。

悬垂窗帘中褶皱的粗化

The coarsening of folds in hanging drapes

我们考虑悬垂物的弹性能--一个薄的弹性片，被重力拉下，在顶部有精细的折叠，实现近似均匀的限制。在薄弹性片材中的能量驱动图案形成的该示例特别令人感兴趣，因为折叠的长度尺度随高度而变化。我们重点讨论了最小弹性能如何依赖于物理参数。当薄板厚度为零时，极限能量是由于重力，这相对容易理解。我们的主要成就是确定了由于正厚度引起的校正的“标度律”。我们这样做是通过（i）证明一个上界，通过考虑几个结构的能量，并采取最好的;（ii）证明一个ansatz自由的下界，这与上界一致的参数无关的前因子。最近的物理学文献中也考虑了悬垂物中褶皱的粗化，使用了一种自相似结构，其基本单元被称为“褶皱”。“我们的结果补充和扩展了这项工作，通过显示自相似粗化在一定的参数范围内实现了最佳标度律，并通过显示其他结构（涉及片材的横向扩展）在参数空间的其他区域中做得更好。我们的分析使用几何线性Föppl-vonKármán模型的弹性能量，并限制在泊松比为零的情况下。