禁止作用于对角块的保正性函数

Total-positivity preservers

We prove that the only entrywise transforms of rectangular matrices which preserve total positivity or total non-negativity are either constant or linear. This follows from an extended classification of preservers of these two properties for matrices of fixed dimension. We also prove that the same assertions hold upon working only with symmetric matrices; for total-positivity preservers our proofs proceed through solving two totally positive completion problems.

保持矩阵正定性和非正定性的逐元变换

Entrywise transforms preserving matrix positivity and non-positivity

本文研究保持矩阵正定性与非正定性的逐元变换，发现当维度固定且大于等于3时，这些变换是底层域的连续自同构的正标量倍数，与2x2情况下的幂函数扩展形成对比。

Schur多项式与矩阵正性变换

Schur polynomials and matrix positivity preservers

Schoenberg（1942）的一个经典结果确定了所有实值函数在逐点应用于任意维数的矩阵时保持半正定性（psd）。勋伯格的工作继续吸引了极大的兴趣，包括最近重新关注由于应用在高维统计。然而，尽管在这一领域做了大量的努力，在一个固定的维度上保持积极性的入口函数的有效特征仍然是难以捉摸的。作为第一步，我们刻画了一类新的多项式保持正性在固定的维度。我们的主要结果的证明是表示理论，并采用舒尔多项式。另一种变分方法也导致了几个有趣的结果，包括（a）迄今未探索的舒伯特细胞型分层的PSD矩阵锥，（b）新的连接之间的广义瑞利矩阵的阿达玛权力和舒尔多项式，和（c）阿达玛权力的联合内核的描述。

矩阵的正性在固定维上是可逆的。I

Matrix positivity preservers in fixed dimension. I

1942年，勋伯格证明了一个经典定理，描述了所有的实值函数，当逐点应用于任意大小的正半定矩阵时，这些函数保持正性;这样的函数在非负泰勒系数下必然是解析的。尽管这个定理引起了人们的极大兴趣，但对于固定维数的矩阵，保持正性的函数的特征还不清楚。在本文中，我们提供了一个完整的描述多项式的次数$N$，保持积极性时，逐项应用到矩阵的尺寸$N$。这是我们获得解析函数系数的负下界，使这些函数在给定的维数上保持正性的关键步骤。主要技术不等式的证明是表示论的，并采用舒尔多项式理论。在线性束的矩阵的情况下解释，我们的主要结果提供了一个封闭的形式表达的最低临界值，揭示在同一时间的一个意想不到的频谱不连续现象。作为应用，得到了矩阵的Hadamard幂的紧线性矩阵不等式和涉及Hadamard幂的矩阵立方问题的一个渐近界.正解也自然地被解释为包含广义Rayleigh解的变分不等式的解。这种优化方法导致一种新的描述的同时内核的Hadamard权力，和家庭的分层锥的正半定矩阵。

On the sign patterns of entrywise positivity preservers in fixed dimension

Given $I\subset\mathbb{C}$ and an integer $N>0$, a function $f:I\to\mathbb{C}$ is entrywise positivity preserving on positive semidefinite (p.s.d.) matrices $A=(a_{jk})\in I^{N\times N}$, if the entrywise application $f[A]=(f(a_{jk}))$ of $f$ to $A$ is p.s.d. for all such $A$. Such preservers in all dimensions have been classified by Schoenberg and Rudin as being absolutely monotonic [Duke Math. J. 1942, 1959]. In fixed dimension $N$, results akin to work of Horn and Loewner [Trans. AMS 1969] show the first $N$ nonzero Maclaurin coefficients of a positivity preserver $f$ are positive; and the …

逐项演算与无维正性保持者，附球体堆积附录

The entrywise calculus and dimension-free positivity preservers, with an Appendix on sphere packings

综述分析中逐项保持半正定性的函数问题，重点讨论无维情形，并联系距离几何、度量嵌入、正定序列与函数、傅里叶分析、协方差估计、Schur多项式及有限域，附录介绍球体堆积与亲吻数。