The Saito-Kurokawa lifting and Darmon points
令$E_{/_\Q}$是导体$Np$的椭圆曲线，其中$p\nmid N$，并且令$f$是其权重为2的相关联的新形式。用$f_\infty$表示通过$f$的$p$ -adic Hida族，用$F_\infty$表示其$Λ$ -adic Saito-Kurokawa升力。Siegel模形式的$p$ -adic族$F_\infty$允许形式傅立叶展开，由此我们可以定义由大小为$2\times 2$的正定对称半积分矩阵$T$索引的归一化傅立叶系数族$\{\widetilde A_T(k)\}_T$。我们明确地涉及某些全球点$E$（来自斯塔克-希格纳点的理论）与这些傅立叶系数的值和它们的$p$ -进导数，评估在重量$k=2$。
2012-07-18 math.NT
Newforms of Saito-Kurokawa lifts
本文给出了Saito-Kurokawa表象的贝塞尔周期的一个新的和旧的形式理论。我们引入算术子群，使一个局部贝塞尔向量固定的子组索引的导体的表示是唯一的标量。全纯Saito-Kurokawa表示的整体Langlands L-函数与新形式的规范解决的Piatetski-Shapiro zeta积分一致。
2021-02-01 math.NT math.RT
On $p$-adic $L$-functions for $\operatorname{GL}(2)\times\operatorname{GL}(3)$ via pullbacks of Saito--Kurokawa lifts
我们建立了一个单变量$p$ -adic $L$ -函数附加到两个Hida族的普通$p$ -稳定的新形式$\mathbf{f}$，$\mathbf{g}$，内插的代数部分的中心值的复杂$L$ -系列$L(f \otimes \textrm{Ad}(g), s)$时，$f$和$g$的范围超过经典专业化的$\mathbf{f}$，$\mathbf{g}$的重量空间的一条合适的线。建设依赖于两个主要结果：一个明确的公式，有关复杂的中心$L$ -值，并存在非平凡的$Λ$ -进Shintani提升和斋藤-黑川提升在以前的工作中研究的作者。我们还说明，在一个适当的符号假设下，这个$p$ -adic $L$ -函数作为一个因子的三重积$p$ -adic $L$ -函数附加到$\mathbf{f}$，$\mathbf{g}$，和$\mathbf{g}$。
2022-02-14 math.NT
A quaternionic Saito-Kurokawa lift and cusp forms on $G_2$
我们考虑一个特殊的θ提升$θ(f)$从$\mathrm{Sp}_4$上的尖点Siegel模形式$f$到$\mathrm{SO}(4,4)$上的“模形式“$θ(f)$.这个升力可以被认为是斋藤-黑川升力的类似物，现在升力的图像是$\mathrm{SO}(4,4)$在无穷远处的四元数表示。我们涉及的傅里叶系数的$θ(f)$的$f$，并特别证明，$θ(f)$是非零的，并有代数傅里叶系数，如果$f$。将$θ(f)$限制为$G_2 \subseteq \mathrm{SO}(4,4)$，我们得到了任意大权的$G_2$上的尖点模形式，其代数傅里叶系数为零.在水平1的情况下，我们得到精确的公式的傅里叶系数的$θ(f)$的那些$f$。特别地，我们构造了具有所有整数傅里叶系数的一级$G_2$上的非零尖点模形式。
2019-04-23 math.NT
On Siegel eigenvarieties at Saito-Kurokawa points
本文研究了在具有临界斜率的Saito-Kurokawa点处，仿模Tame能级的$p$ -adic Siegel本征簇$\mathcal{E}$的几何性质.对于$k \geq 2$，令$f$是$\mathrm{S}_{2k-2}(Γ_0(N))$的尖点新特征形，普通的在素数$p\nmid N$处，符号为$ε_f=-1$，并将$p$写为$α$-$p$处$f$的Hecke多项式的进单位根。令$π_α$是尖点形式$f$到权值为$(k,k)$的$\mathrm{GSp}(4)$的Saito-Kurokawa升力的半普通$p$ -稳定化，且具有准模tame水平。假设的尺寸的塞尔默组$H^1_{f,\mathrm{unr}}(\mathbb{Q},ρ_f(k-1))$连接到$f$是最多一个和一些温和的假设上的自守表示连接到$f$，我们表明，$\mathcal{E}$是光滑的点对应于$π_α$，和不可约的组成部分$\mathcal{E}$专业$π_α$不是全球性的内窥镜。最后，我们给出了一个应用程序的布洛赫-加藤猜想，通过证明在一些温和的假设下，$\mathcal{E}$在$π_α$光滑失败产生的$\dim H^1_{f,\mathrm{unr}}(\mathbb{Q},ρ_f(k-1))\geq 2$。
2020-06-07 math.NT
Mass equidistribution for Saito-Kurokawa lifts
University of Turku（图尔库大学）；King’s College London（伦敦国王学院）；Queen Mary University of London（伦敦大学玛丽女王学院）
本文在广义黎曼假设（GRH）下，证明了Saito–Kurokawa型全纯尖点Hecke特征型的质量随权趋于无穷在Siegel模簇上等分布，并推出其零除子也满足等分布性质。
2024-07-03 math.AP math.NT
Maass relations for Saito-Kurokawa lifts of higher levels
众所周知，在Siegel模形式的程度$2$和水平$1$的唯一功能，违反拉马努金猜想是斋藤黑川升降机的模块形式的水平$1$。这些正是其傅里叶系数满足马斯关系的函数。更一般地说，对$\mathrm{GSp}_4$的拉马努金猜想被预测只在CAP表示的情况下失败。但不知道相关的西格尔模形式（各种级别）是否仍然满足一个版本的马斯关系。我们表明，这确实是与P-CAP表示的情况下。我们的方法概括了Pitale，Saha和施密特谁采用代表性理论的技术（重新）证明这一声明的情况下，水平$1$的方法。特别是，我们计算和表达某些值的全球贝塞尔周期的傅里叶系数的相关西格尔模形式。此外，我们推导出满足贝塞尔周期的局部-全局关系，这使我们能够将这些计算与CAP表示的局部分量的表征相结合。
2020-08-04 math.NT
Irreducibility of limits of Galois representations of Saito-Kurokawa type
我们证明（在一定的假设下）的不可约的极限$σ_2$的序列不可约的本质上自对偶伽罗瓦表示$σ_k: G_{\mathbf{Q}} \to \mathrm{GL}_4(\overline{\mathbf{Q}}_p)$（$k$方法2在$p$ -进意义），其中模$p$减少（半简化后）到$1 \oplus ρ\oplus χ$与$ρ$不可约，二维的行列式$χ$，其中$χ$是模$p$分圆字符。更准确地说，我们假设$σ_k$是结晶的（具有特定的权重选择），并且在$p$处是Siegel普通的。这种表示出现在研究$p$ -进家庭的西格尔模块形式和性质的限制，因为$k\to 2$似乎是重要的上下文中的Paramodular猜想。结果推导出从有限的两个塞尔默组的顺序是由$p$ -adic $L$ -值的椭圆模形式（产生$ρ$），我们假设是非零的。
2020-03-26 math.NT
New and old Saito-Kurokawa lifts classically via $L^2$ norms and bounds on their supnorms: level aspect
Ahmedabad University（艾哈迈达巴德大学）；Indian Institute of Science（印度科学学院）
本文通过L^2范数和上范数界研究Saito-Kurokawa提升，结合新旧形式理论，提出关于平方自由水平空间的L^∞大小猜想并给出界证。
2026-03-24 math.NT
Jacobi forms, Saito-Kurokawa lifts, their Pullbacks and sup-norms on average
我们制定了一个精确的猜想的大小的$L^\infty$ -质量的空间的雅可比形式的$\mathbb H_n \times \mathbb C^{g \times n}$的矩阵指数$S$的大小$g$。这个$L^\infty$ -质量由空间的Bergman核的大小来度量。我们证明了所有这类$n,g,S$的约束下界，并证明了当$n=1$，$g \ge 1$。当$n=1$和$g=1$，我们做了一个更精细的研究的大小的指数-（旧的和）新的空间，后者通过Waldspurger的公式。为此，并与独立的利益，我们证明了一个省电的平均值的扭曲中心$L$ -值$L(1/2, f \otimes χ_D)$与$f$变化的新形式的水平一个总理$p$和甚至重量$k$作为$k,p \to \infty$和$D$是（明确）多项式有界的$k,p$的渐近公式。这里$χ_D$是一个实二次狄利克雷特征标。我们还证明了齐藤-黑川电梯（甚至重量$k$）的空间的大小是$k^{5/2}$通过三种不同的方法（有或没有使用中心$L$ -值），并表明，他们的回调到对角嵌入的$\mathbb H \times \mathbb H$的大小是$k^2$。在附录中，同样的问题被回答为整个空间$S^2_k$的回调，这里的大小是$k^3$。
2023-02-25 math.NT
Deformations of Saito-Kurokawa type and the Paramodular Conjecture (with an appendix by Cris Poor, Jerry Shurman, and David S. Yuen)
我们研究短结晶，最小的，基本上是自对偶变形的模$p$非半单伽罗瓦表示$\barσ$与$\barσ^{\rm ss}=χ^{k-2} \oplus ρ\oplus χ^{k-1}$，其中$χ$是模$p$分圆字符和$ρ$是一个绝对不可约的减少伽罗瓦表示$ρ_f$附加到一个尖形$f$的重量$2k-2$。证明了如果Bloch-Kato Selmer群$H^1_f(\mathbf{Q}, ρ_f(1-k)\otimes \mathbf{Q}_p/\mathbf{Z}_p)$和$H^1_f(\mathbf{Q}, ρ(2-k))$具有序$p$，并且存在$\barσ$的特征零绝对不可约变形，则万有变形环是dvr.当$k=2$这使我们能够建立模块部分的仿模猜想的情况下，当一个人可以找到一个合适的同余西格尔模形式。作为一个例子，我们证明了模的阿贝尔表面的导体731。当$k>2$时，我们得到了一个$R^{\rm red}=T$定理，该定理表明了$\barσ$的所有这种变形的模块性。
2019-10-16 math.NT
Pullbacks of Saito-Kurokawa lifts of square-free levels, their non-vanishing and the $L^2$-mass
本文研究奇数无平方因子水平 SK 新形式回拉的谱分解，将投影平方联系于 GL(3)×GL(2) 中心 L-值，并利用 CFKRS 启发法给出 L2-质量公式及非零性条件。
2025-05-14 math.NT
Local and global Maass relations (expanded version)
我们刻画了GSp（4，F）（其中F是p-adic域）的不可约的、可容许的球面表示，这些表示出现在特定的CAP表示中，在一个特殊的Bessel模型中，它们的球面向量所满足的关系.这些局部关系是类似的马斯关系满足的傅里叶系数的西格尔模形式的程度2的图像中的Saito-Kurokawa提升。我们展示了如何经典的马斯关系可以推导出从局部关系的表示论的方式，而不求助于建设斋藤-黑川升降机的傅里叶系数的半整权模形式或雅可比形式。作为我们方法的一个额外应用，我们给出了涉及特定傅里叶系数平均值的斋藤-黑川提升的新特征。
2014-01-24 math.NT
Arithmetic behaviour of Hecke eigenvalues of Siegel cusp forms of degree two
令$F$和$G$分别是$\Sp_4(\Z)$和权重$k_1, k_2$的Siegel尖点形式。还设$F$和$G$是位于不同本征空间中的Hecke本征形。进一步假设$F$和$G$都不是Saito-Kurokawa升力。在这篇文章中，我们研究这些Hecke特征形的Hecke特征值的同时算术行为。
2019-01-30 math.NT
On Fourier coefficients and Hecke eigenvalues of Siegel cusp forms of degree 2
研究了2次、权$k$和水平$N$的标值Siegel尖点形式$F$的傅里叶系数和Hecke特征值的一些关键分析性质.首先，假设$F$是一个Hecke特征形，不是Saito-Kurokawa型，我们证明了一个改进的界在$k$ -方面的最小素数，在其Hecke特征值是负的。其次，我们证明了在等差数列中的素数处，$F$的Hecke特征值之间存在无穷多个符号变化。第三，我们表明，有无穷多个积极的，以及无穷多个负的傅里叶系数在任何"径向”序列组成的素数倍的一个固定的基本矩阵。最后，我们考虑的情况下，$F$是斋藤-黑川型，在这种情况下，我们证明了（本质上是尖锐的）绑定$| a(T) | ~\ll_{F, ε}~ \big( \det T \big)^{\frac{k-1}{2}+ε}$的傅里叶系数的$F$时，$\gcd(4 \det(T), N)$是squarefree，证实了一个猜想（在案件$N=1$）由达斯和Kohnen。
2022-10-31 math.NT
On Hecke eigenvalues of Ikeda lifts
本文证明Ikeda提升在素数处的Hecke特征值为正，并给出所有素数下的上下界，方法涉及互反多项式表达。
2024-02-09 math.NT
Maass Spezialschar of Level N
本文研究了具有Dirichlet特征的能级$N$的Saito-Kurokawa提升的象。利用与$Γ_0(N)$有关的Hecke算子的对称性，给出了这个所谓的$N$级的Maass特殊空间的一个新的刻画.我们最终得到了所有素数的$p$局部Maass关系。这推广了水平$N=1$的已知结果。
2016-10-21 math.NT
The Richelot isogeny graph and paramodular forms of weight 3: Atkin-Lehner signs and certified spectra
University of Phuong Dong（Phuong Dong大学）
本文证明Richelot-Brandt图相关的$R(\pi)$迹的结构公式，提出主亏格重数猜想的符号精细化版本，经精确算术认证验证了11至149之间所有素数的该预测。
2026-10-16 math.AG math.NT
Mass equidistribution for lifts on hyperbolic $4$-manifolds
EPFL SB MATH（洛桑联邦理工学院数学系）；Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学）
本文证明了超几何4流形上Pitale提升序列的量子唯一混浊性猜想，通过构造具有有利几何性质的放大器，首次成功应用于逃离非 tempered 子群的情形。
2026-09-09 math.DS math.NT math.SP
Harder's conjecture II
Kyoto University（京都大学）；Tokyo Denki University（东京电机大学）；Osaka University（大阪大学）；Hokkaido University（北海道大学）；Muroran Institute of Technology（室兰工业大学）；Tohoku University（东北大学）
本文在可验证条件下证明了Siegel模形式与Klingen-Eisenstein提升之间的同余关系，并应用该结果证明了Harder猜想。
2026-06-18 math.NT
