We present a non-commutative algorithm for the multiplication of a 2x2-block-matrix by its transpose using 5 block products (3 recursive calls and 2 general products) over C or any finite field.We use geometric considerations on the space of bilinear forms describing 2x2 matrix products to obtain this algorithm and we show how to reduce the number of involved additions.The resulting algorithm for arbitrary dimensions is a reduction of multiplication of a matrix by its transpose to general matrix product, improving by a constant factor previously known reductions.Finally we propose schedules with low memory footprint that support a fast and memory efficient practical implementation over a finite field.To conclude, we show how to use our result in LDLT factorization.
On Fast Matrix Inversion via Fast Matrix Multiplication
Volker Strassen在1969年首先提出了一种算法，以最坏情况下的运行时间比传统的$\mathcal{O}(n^3)$操作更少的矩阵相乘。他还提出了一种递归算法，其中逆矩阵，并计算决定因素使用矩阵乘法。James R. Bunch & John E. Hopcroft在1974年改进了这一点，提供修改的逆算法的情况下，主子矩阵是奇异的，以及其他改进。我们涵盖多元多项式矩阵求逆的情况下，它是指出，传统的方法，假设一个领域将经历重大挫折。最初，作者和其他人发表了一个通过矩阵乘法的无分数求逆公式的演示文稿以及动机，但是对这个演示文稿的分析是初步的。因此，我们提供了一个讨论的真正复杂性的分数所产生的矩阵乘法，并达到其局限性。
Fast matrix multiplication via recursive $\langle$ 4x4x4:48 $\rangle$ algorithms into practice
Univ. Grenoble Alpes（格勒诺布尔阿尔卑斯大学）；Laboratoire Jean Kuntzmann, umr 5224 cnrs（让·孔茨曼实验室，CNRS UMR 5224）；Grenoble inp – uga（格勒诺布尔理工学院-格勒诺布尔大学）；Université de Lille（里尔大学）；Centrale Lille（里尔中央理工学院）；umr cnrs 9189 cris t al（CNRS UMR 9189 CRISTAL实验室）；Academy of Sciences of the Czech Republic（捷克科学院）；Institute of Information Theory and Automation（信息论与自动化研究所）
Faster Algorithms for Rectangular Matrix Multiplication
设α是最大值，使得n × n^α矩阵与n^α × n矩阵的乘积可以用n^{2+o（1）}次算术运算来计算。本文证明了α>0.30298，改进了Coppermith（Journal of Complexity，1997）的先前记录α>0.29462。更一般地，我们构造了一个新的算法，用于将n x n^k矩阵乘以n^k x n矩阵，对于任何值k \neq 1。该算法的复杂度优于所有已知的矩形矩阵乘法算法。在方矩阵乘法的情况下（即，对于k=1），我们精确地恢复了Coppermith和Winograd（Journal of符号计算，1990）的算法的复杂性。这些新的上界可以用来改善依赖于矩形矩阵乘法的几个已知算法的时间复杂度。例如，我们直接得到了小整数权值有向图上所有对最短路径问题的O（n^{2.5302}）时间算法，改进了Zwick（JACM 2002）的O（n^{2.575}）时间算法，同时也改进了稀疏方阵乘法的时间复杂度.
