An MsFEM approach enriched using Legendre polynomials
我们认为一个变种的传统MsFEM方法与丰富的基础上勒让德多项式，无论是在大部分的网格元素和它们的接口。的方法的收敛性分析。残差型后验误差估计也建立。数值实验表明，在一个有限的额外的离线成本的错误显着减少。特别地，这里开发的方法在粗网格步长$H$是振荡的小尺度$\varepsilon$的量级的情况下不易于产生谐振误差。
2021-09-02 cs.NA math.NA
Legendre Expansions of Products of Functions with Applications to Nonlinear Partial Differential Equations
本文推导了函数乘积的 Fourier-Legendre 展开式并建立收敛上界，利用该方法半解析求解具有 2 次多项式非线性的 PDE，数值结果验证了其高效性。
2024-03-24 cs.NA math.NA
Convergence rates of spectral orthogonal projection approximation for functions of algebraic and logarithmatic regularities
基于雅可比多项式与Bessel函数之间的Hilb型公式，应用van der Corput型引理，导出了奇异函数Jacobi展开系数的最优衰减率，从而得到了Jacobi、Gegenbauer和Chebyshev正交投影上的最优收敛速度.有趣的是，对于边界奇点，随着$(α,β)$和$λ$的增加，可以在Jacobi或Gegenbauer投影上获得更快的收敛速度。参数值越大，可以实现越高的收敛速度。特别地，勒让德投影比切比雪夫投影高半阶。而且，当$\min\{α,β\}>0$和$λ>\frac{1}{2}$满足条件时，Jacobi和Gegenbauer正交投影的收敛阶数比Legendre投影的收敛阶数高.而对于内部奇异性，收敛阶与$(α,β)$和$λ$无关.
2020-06-08 cs.NA math.NA
Analysis of a Legendre spectral element method (LSEM) for the two-dimensional system of a nonlinear stochastic advection-reaction-diffusion models
Amirkabir University of Technology（阿米尔卡比尔理工大学）；Leibniz University of Hannover（汉诺威莱布尼茨大学）
本文提出了一种Legendre谱元方法用于求解二维非线性随机输运-反应-扩散模型系统，采用Legendre函数作为基函数，其质量矩阵和扩散矩阵分别为三对角矩阵和对角矩阵，时间变量采用Crank-Nicolson有限差分法离散，随机方向采用基于Q-维纳过程的随机变量W进行处理，并通过能量法验证了所提出数值方案的误差估计，数值结果证实了理论分析。
2019-04-12 cs.NA math.NA
A Polynomial Approximation for Arbitrary Functions
Boston University（波士顿大学）；Harvard Medical School（哈佛医学院）；Spaulding Rehabilitation Hospital（斯波丁康复医院）
提出一种类似泰勒展开的勒让德多项式展开，用于逼近任意函数，证明其系数收敛更快且误差更小。
2012-03-12 cs.NA math.NA
Error Analysis of Truncation Legendre Method for Solving Numerical Differentiation
针对加权Wiener类函数的数值微分问题，提出可恢复任意阶导数的截断Legendre方法，推导多度量下的精确误差界与最优截断参数，证明其能达到最优收敛速率。
2025-06-13 cs.NA math.NA
Pointwise and uniform convergence of Fourier extensions
在区间上连续但非周期函数的傅里叶级数近似会遭受吉布斯现象，这意味着在端点附近存在永久的振荡过冲。傅立叶扩展通过使用在较大间隔上是周期性的傅里叶级数来近似函数来规避这个问题。以前的结果的收敛性的傅立叶扩展集中在L2范数的错误，但在本文中，我们分析逐点和一致收敛性的傅立叶扩展（制定为最佳逼近在L2范数）。我们证明了Fourier延拓的逐点收敛比经典的傅里叶级数更类似于Legendre级数。特别是，与经典的傅里叶级数不同，傅里叶扩展在区间的端点处产生逐点收敛。与勒让德级数类似，端点处的逐点收敛比内部慢半个代数阶。证明是通过分析相关的勒贝格函数，杰克逊和伯恩斯坦型定理的傅立叶扩展。提供了数值实验。最后，我们的文件与开放性问题的正则化和过采样最小二乘插值版本的傅立叶扩展。
2019-09-11 cs.NA math.NA
On Interpolation Approximation: Convergence rates for polynomial interpolation for functions of limited regularity
Central South University（中南大学）
本文通过Peano核定理和Wainerman引理，推导了多项式插值的收敛速度新公式，证明强正交点集的插值能实现最优收敛速度，与最佳多项式逼近相同，并通过数值例子验证了收敛速度的最优性。
2015-06-18 cs.NA math.NA
Contraction and optimality properties of adaptive Legendre-Galerkin methods: the 1-dimensional case
Politecnico di Torino（都灵理工大学）；University of Maryland（马里兰大学）；Politecnico di Milano（米兰理工大学）
针对椭圆边值问题的自适应谱/$hp$离散化，研究一维自适应勒让德-伽辽金方法的收敛性与最优性，提出带粗化步骤的算法以实现Gevrey类意义下的最优逼近。
2012-06-24 cs.NA math.NA
Asymptotic Error Analysis of Gauss Quadrature for Nonsmooth Functions
本文利用余项围道积分与奇点平移逼近，推导了低正则函数 Gauss–Legendre 求积误差的一致渐近公式，可确定最优收敛速率和首项系数，并用于选点、误差校正及加速收敛。
2025-09-27 cs.NA math.NA
Improving the approximation of the first and second order statistics of the response process to the random Legendre differential equation
本文讨论了随机Legendre微分方程的不确定性量化问题，输入系数为$A$，初始条件为$X_0$和$X_1$。在以前的研究中[Calbo G.等人，Comput.数学应用，61（9），2782- 2792（2011）]，在$X_0$和$X_1$的平均四阶可积性、独立性以及$A$的绝对矩的至多指数增长性的假设下，构造了$(-1/e,1/e)$上的均方收敛幂级数解。在本文中，我们放宽这些条件，构建一个$\mathrm{L}^p$解决方案（$1\leq p\leq\infty$）的随机Legendre微分方程在整个区域$(-1,1)$，在其确定性的对应。我们的假设假定$X_0$和$X_1$之间没有独立性，可积性较差。此外，利用$A$的有界性来刻画$A$矩的增长条件，从而大大简化了证明过程.我们还提供了近似的期望值和方差的响应过程。数值实验表明我们的研究结果具有广泛的适用性。Monte Carlo模拟和gPC扩展的比较。
2018-07-03 cs.NA math.NA math.ST
Superconvergence Points of Spectral Interpolation
Wayne State University（韦恩州立大学）
研究高阶正交多项式插值中超收敛点的位置，包括函数值插值中一阶和二阶导数的超收敛点以及一阶导数插值中函数值的超收敛点，使用Chebyshev和Legendre多项式。
2012-04-26 cs.NA math.NA
Convergence Rates for Greedy Kaczmarz Algorithms, and Faster Randomized Kaczmarz Rules Using the Orthogonality Graph
Kaczmarz方法是求解线性等式和不等式系统的迭代算法，迭代地投影到这些约束上。最近，Strohmer和Vershynin [J. Fourier Anal.应用程序、15（2）：262-278，2009]给出了该算法的非渐近收敛率分析，促使Kaczmarz方法的许多扩展和推广。而不是在这项工作中分析的随机选择规则，在本文中，我们讨论贪婪和近似贪婪的选择规则。我们表明，在某些应用中，贪婪选择和随机选择的计算成本是相当的，并且在许多情况下，贪婪选择规则比随机选择规则提供更快的收敛速度。此外，我们给出了一个特定的贪婪规则的Kaczmarz方法的第一个多步分析，并提出了一个可证明的快速随机选择规则的矩阵与许多成对正交行。
2016-12-22 cs.NA math.NA
A global approximation method for second-kind nonlinear integral equations
本文提出一种求解第二类非线性积分方程的Nyström型全局逼近方法，针对光滑和弱奇异核分别采用不同求积规则，证明了稳定性与收敛性，通过数值测试验证了性能，并拓展至拉普拉斯方程内部诺伊曼问题的应用。
2024-07-15 cs.NA math.NA
Error bounds for perspective cones of a class of nonnegative Legendre functions
本文利用面约简和 1-FRF 分析非负 Legendre 函数透视锥，证明指数 1/2 的一致 Hölder 误差界对一类锥可行性问题是 generic 性质。
2025-09-30 cs.NA math.MG math.NA
On exponential convergence of Chebyshev polynomial approximation for multivariate analytic functions
School of Mathematics and Statistics, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学数学与统计学院）；Hubei Key Laboratory of Engineering Modeling and Scientific Computing, Huazhong University of Science and Technology（华中科技大学工程建模与科学计算湖北省重点实验室）
研究多元解析函数切比雪夫投影的指数收敛性，借助多势理论证明其在特定空间与最佳逼近有相同收敛速度，还扩展到相关主题并建立收敛速度，通过数值实验验证理论。
2026-07-14 cs.NA math.NA
Analysis of error localization of Chebyshev spectral approximations
针对带奇异性函数的Chebyshev谱近似，本文通过逐点误差分析严格证明误差局部化，并将结论扩展至插值、谱微分及Legendre投影。
2023-04-12 cs.NA math.NA
Random Projection Neural Networks of Best Approximation: Convergence theory and practical applications
Scuola Superiore Meridionale（南方高等学院）
本文研究了前馈神经网络的最佳逼近性质，提出具有固定内部权重和偏置的随机投影神经网络（RPNNs），证明其在逼近无限可微函数时具有指数收敛率，并在五个基准问题上表现出与Legendre多项式相当的性能。
2024-02-17 cs.LG cs.NA math.NA
Faster Subgradient Methods for Functions with Hölderian Growth
Rutgers University（罗格斯大学）；University of Illinois（伊利诺伊大学）
本文的目的是导出几种次梯度法用于极小化具有Hölderian增长的非光滑凸函数的新的收敛结果。增长条件在许多应用中得到满足，包括具有二次增长和弱尖锐极小值的函数作为特殊情况。为此，有三个主要贡献。首先，对于一个常数和足够小的步长，我们表明，次梯度法实现线性收敛到一定的区域，包括最佳的设置，与错误的顺序的步长。第二，如果适当的问题参数是已知的，我们得到一个衰减步长，得到一个更快的收敛速度比所建议的经典$O(1/\sqrt{k})$结果的次梯度法。第三，我们提出了一种新的“下降阶梯”步长，它不仅获得了更快的收敛速度，而且对于弱尖锐函数的特殊情况也获得了线性收敛。我们还开发了一个自适应的“下降楼梯”的步长，实现了相同的收敛速度，而不需要一个误差界常数，这是很难在实践中估计的变化。
2018-04-30 cs.LG cs.NA math.NA
Faster Lagrangian-Based Methods in Convex Optimization
针对凸优化中基于拉格朗日方法的收敛分析，本文提出良好原始算法映射与通用 FLAG 框架，证明多种经典方案可获得新的非遍历次线性收敛速率。
2023-06-06 cs.NA math.NA math.OC
A Robbins--Monro Sequence That Can Exploit Prior Information For Faster Convergence
University of Cambridge（剑桥大学）
提出一种将目标点先验信息融入Robbins-Monro迭代的新方法，无需依赖可能错误的回归模型即可加速收敛，并证明了其在多种先验分布下的收敛性及参数选择规则。
2024-01-06 cs.LG cs.NA math.NA
Faster Computation of Entropic Optimal Transport via Stable Low Frequency Modes
针对熵最优输运基准算法Sinkhorn在正则化减弱时收敛指数变慢的问题，本文基于Hessian谱分析提出谱热启动策略，实现了更快的收敛速度并经数值实验验证。
2025-05-23 cs.NA math.NA math.OC
