Complex Hadamard Matrices and Strongly Regular Graphs
四十多年前，Goethals和Seidel证明了：如果强正则图$X$的邻接代数包含Hadamard矩阵，则$X$是拉丁方型或负拉丁方型.我们将他们的结果推广到复Hadamard矩阵，并发现只有三个额外的家庭的参数，强正则图有复Hadamard矩阵在其邻接代数。证明了完全图的距离正则覆盖只有三个，它们给出复Hadamard矩阵。
2020-11-03 math.CO
Bordered complex Hadamard matrices and strongly regular graphs
本文研究了核包含在强正则图的Bose-Mesner代数中的加边复Hadamard矩阵。例子包括一个复杂的阿达玛矩阵，其核心包含在会议图的Bose-Mesner代数中，这是由于J. Wallis，F. Szöllmersi，以及Singh和Dubey给出的Hadamard矩阵族。本文证明了强正则图的Bose-Mesner代数中不存在核包含的加边复Hadamard矩阵。
2020-11-18 math.CO
Real and complex unbiased Hadamard matrices
我们使用组合和傅立叶分析参数，以证明各种不存在的结果，系统的真实和复杂的无偏阿达玛矩阵。特别是，我们证明了一个完整的系统复杂的相互无偏阿达玛矩阵（MUH）在任何维度$d$不能包含一个以上的真正的阿达玛矩阵。对于$d\le 6$，我们也给出了几个已知的低维结构结果的新证明。
2012-01-03 math.CO
Unbiased complex Hadamard matrices and bases
引入了互无偏复Hadamard（MUCH）矩阵，证明了2n（n为奇数）阶MUCH矩阵的个数至多为2，并给出了n = 1，5，9时的上界.进一步证明了某些m阶互无偏复Hadamard矩阵对可以用来构造2m阶无偏实Hadamard矩阵对。作为结果，我们产生一个新的对36阶的无偏实阿达玛矩阵。
2012-09-19 math.CO
Almost Hadamard matrices with complex entries
我们讨论了几乎Hadamard矩阵形式主义的一个扩展，复矩阵的情况下。非常令人惊讶的是，这里的情况与实际情况非常不同，我们的理论结论是，除了通常的阿达玛矩阵之外，不应该有这样的矩阵。我们验证这个猜想在一些情况下，特别是对于大多数已知的例子，真正的几乎阿达玛矩阵，并为他们的一些复杂的扩展。我们还讨论了我们的猜想在复阿达玛矩阵的一般研究中的一些潜在应用。
2017-02-07 math.CO
Complex Hadamard matrices attached to a 3-class nonsymmetric association scheme
本文对非对称三类结合方案的Bose-Mesner代数中的复Hadamard矩阵进行了分类。由于我们的分类，我们有两个无限的家庭和一些小的例子，复杂的阿达玛矩阵包含在玻色-梅斯纳代数的自对偶裂变的一个完整的多部图。
2019-04-25 math.CO
On a class of quaternary complex Hadamard matrices
引入了一类正则单位Hadamard矩阵，其元素由两个复数及其共轭组成，共四个复数.然后，我们表明，这些矩阵包含在玻色-梅斯纳代数的关联计划所产生的斜Paley矩阵。
2017-09-08 math.CO
The quaternary complex Hadamard matrices of orders 10, 12, and 14
给出了10阶、12阶和14阶四元复Hadamard矩阵的完全分类，并给出了一种新的参数化方案，以获得复Hadamard矩阵仿射参数族的新例子.一方面，证明了所有10 × 10和12 × 12四元复Hadamard矩阵都属于某个参数族，另一方面，通过展示一个孤立的14 × 14矩阵，说明不可能有一个通用的方法将参数引入这类矩阵.
2012-04-23 math.CO
Construction of the outer automorphism of S6 via a complex Hadamard matrix
Heilbronn Institute for Mathematical Research（海布龙数学研究所）；University of Bristol（布里斯托大学）；Worcester Polytechnic Institute（伍斯特理工学院）；University of Western Australia（西澳大学）
给出了六点上对称群的外自同构的一个新的构造。我们的结构特点是一个复杂的阿达玛矩阵的第六次包含第三根的单位和代数分裂四元数的实数。
2018-05-03 math.CO
A characterization of complex Hadamard matrices appearing in families of MUB triplets
本文刻画了阶为6且具有三个含-1的不同列的规范化复Hadamard矩阵，证明其必属于转置Fourier族或2-循环族，从而便于识别维度6中相互无偏基三元组里的复Hadamard矩阵。
2024-05-16 math.CO
Parametrizing Complex Hadamard Matrices
本文的目的是用两种不同的方法引入复Hadamard矩阵的新参数族。首先证明了N ≥ 4阶实Hadamard矩阵的仿射轨道。这解决了Tadej和Zyczkowski最近提出的一个悬而未决的问题，他们询问是否可以将真实的阿达玛矩阵从复杂矩阵中分离出来。特别是，我们应用我们的建设，只有（等价）真正的阿达玛矩阵的顺序12，并表明，所产生的仿射家庭是不同的，从所有以前已知的例子。其次，我们回顾了一个著名的建设有关的真正的会议矩阵，并展示了如何引入仿射参数所产生的复杂阿达玛矩阵。这导致了新的10阶和14阶的参数族。一个有趣的特点，我们的建设是，所产生的家庭不能通过迪塔的一般方法。我们的结果扩展了最近的复Hadamard矩阵目录，并可能导致在量子信息论中的直接应用。
2007-05-02 math.CO
A complex Hadamard matrix of order 94
Shimane University（岛根大学）
本文首次利用计算机辅助方法构造了阶数为94的复Hadamard矩阵，通过修改基本块构造方法并使用特定的循环矩阵实现。
2026-03-10 math.CO
Complex Hadamard matrices attached to even orthogonal schemes of class 4
复Hadamard矩阵是具有绝对值为1的复元素的满足WW*=nI的方阵W，其中 * 代表Hermitian转置，I是n阶单位矩阵。本文给出了一类4类对称结合方案的Bose-Mesner代数中复Hadamard矩阵的构造。此外，我们确定了Nomura代数，证明了所得矩阵不可分解为非平凡的广义张量积。
2016-12-03 math.CO
Non-affine Families of 8 x 8 Complex Hadamard Matrices
Aalto University（阿尔托大学）
该研究提出6个8阶非仿射3参数复Hadamard矩阵族，均来自回文多项式定义的仿射簇幺模点，所含矩阵与已知矩阵不等价，以保证解幺模性的定义域上多项式方程组的解函数像形式给出。
2026-09-21 math.CO
Exotic complex Hadamard matrices, and their equivalence
在本文中，我们使用设计理论的方法来构建新的，以前未知的复杂阿达玛矩阵。我们的方法推广和扩展了de la Harpe-Jones和Munemasa-Watatani的早期结果，并为现有文献中存在的一些零星的复Hadamard矩阵的例子提供了理论解释。由于不等价矩阵之间的区分越来越困难，我们提出了一种新的不变量，复Hadamard矩阵的指纹。作为一个附带结果，我们反驳了Koukouvinos等人关于实Hadamard矩阵的（n-8）x（n-8）次项的一个猜想.
2010-02-09 math.CO math.OA
Complex Hadamard matrices contained in a Bose-Mesner algebra
复Hadamard矩阵是具有满足$HH^*= nI$的绝对值为1的复元素的方阵H，其中$*$代表厄米特转置，I是$n$阶的单位矩阵。本文首先确定了从$d$维复射影空间到$\mathbb{C}^{d(d+1)/2}$的有理映射的象。应用这个结果和$d=3$，我们给出了一类3类对称结合方案的Bose-Mesner代数中复Hadamard矩阵，更一般地，II型矩阵的构造.特别是，我们恢复的复杂阿达玛矩阵的顺序15发现Ada陈。我们计算的Haagerup集显示不等价的结果II型矩阵，并确定野村代数显示，所得到的矩阵是不可分解成广义张量积。
2015-04-22 math.CO
Equivalence of Complex Hadamard Matrices
Aalto University School of Electrical Engineering（阿尔托大学电气工程学院）
本文研究复Hadamard矩阵的等价性，提出确定矩阵等价性及自同构群的算法，并应用于文献中大量矩阵以确定其自同构群。
2026-09-21 math.CO
A universal theory of switching for combinatorial objects, and applications to complex Hadamard matrices
Faculty of Mathematics, University of Rijeka（里耶卡大学数学系）；School of Mathematical Sciences, Dublin City University（都柏林城市大学数学科学学院）
本文提出一种通用切换理论，用于生成不同类型的Hadamard矩阵，并探讨了复杂Hadamard矩阵中的贸易概念及开放性问题。
2026-05-12 math.CO
On Some Quaternionic Hadamard Matrices of Small Order
我们引入了元素为四元数的阿达玛矩阵。然后，我们继续提供分类的四元数阿达玛矩阵的循环核心的订单2至5。我们还介绍了四元Hadamard矩阵的Butson型和方法来创建四元Hadamard矩阵从实和复Hadamard矩阵。例子显示，展示如何阿达玛矩阵的四元数比阿达玛矩阵的复数更丰富。
2022-03-07 math.CO math.RA
Complex Hadamard matrices with noncommutative entries
我们公理化和研究的矩阵类型$H\in M_N(A)$，有酉条目，$H_{ij}\in U(A)$，其行和列的正交型条件。这里$A$可以是任何$C^*$ -代数，例如$A=\mathbb C$，在这里我们得到通常的复Hadamard矩阵，或$A=C(X)$，在这里我们得到复Hadamard矩阵的连续族。我们的形式允许量子置换群$G\subset S_N^+$的建设，其结构和计算进行了讨论。
2017-07-13 math.CO math.QA
Complex Hadamard Matrices, Instantaneous Uniform Mixing and Cubes
研究了$n$ -立方体及其相关的距离正则图的邻接代数中图上的连续时间量子游动。对于$k\geq 2$，我们发现在$(2^{k+2}-8)$ -立方体的邻接代数中，在时间$π/2^k$允许瞬时均匀混合的图和在时间$π/2^k$具有完美状态转移的图。我们刻画了邻接代数包含复Hadamard矩阵的折叠$n$-立方体、二等分$n$ -立方体和折叠二等分$n$ -立方体.我们得到相同的条件，这些图的特征承认瞬时均匀混合。
2013-05-24 math.CO
Regularity questions for complex Hadamard matrices
我们研究部分Hadamard矩阵$H\in M_{M\times N}(\mathbb C)$这是经常的，在这个意义上，不同的行对之间的标量积分解为循环的总和（旋转的单位根的总和）。最简单的非平凡情况是M=3，我们在这里得到几个结果，特别是在N=7的分类。我们还讨论了M=3的结果对各种$M=N$问题的潜在应用。
2017-06-06 math.CO
The Gale-Berlekamp game for complex Hadamard matrices
与复Hadamard矩阵$H\in M_N(\mathbb C)$相关联的是描述$φ(a,b)=<a,Hb>$的分布的复概率测度$μ\in\mathcal P(\mathbb C)$，其中$a,b\in\mathbb T^N$是随机的。这种措施被称为“辉光”的矩阵，由于类比与盖尔-Berlekamp开关游戏，其中$H,a,b$是真实的。我们在这里证明：（1）$μ$在$N\to\infty$极限下变为复高斯，（2）普适性在2阶也成立，（3）3阶项似乎很有趣，特别是对于主Hadamard矩阵，（4）在傅立叶矩阵的情况下，一些高阶项控制循环Hadamard矩阵的计数问题。
2014-12-02 math.CO math.PR
A Complete Classification of Complex Hadamard Matrices of Order Six
Yale University（耶鲁大学）；The Flatiron Institute（Flatiron研究所）
本文解决了悬而未决数十年的六阶复阿达马矩阵分类问题，通过有限关联分类方法，补充了Szöllősi扩张方法的全局步骤，为六阶阿达马矩阵及相关领域研究提供了严谨框架。
2026-08-31 math-ph math.CO math.MP
On quaternary complex Hadamard matrices of small orders
设计理论的主要目标之一是对具有某些规定性质的各种组合对象进行分类、表征和计数。然而，在大多数情况下，人们很快就会遇到组合爆炸，即使完全枚举对象是可能的，也没有明显的方法来详细研究它们，有效地存储它们，或者快速生成特定的对象。在本文中，我们提出了一种新的方法来处理这些困难，并说明它提出的四元复杂的阿达玛矩阵的分类阶数为8。所得到的矩阵的成员只有少数的参数家庭，每个不等价的矩阵，转置，可以通过其指纹识别。
2012-04-23 math.CO
Small circulant complex Hadamard matrices of Butson type
研究了元素为单位根为$l$的$n$阶循环复Hadamard矩阵.对于$n=l$素数，我们证明了唯一这样的矩阵，直到等价，是傅立叶矩阵，而对于$n=p+q,l=pq$与$p,q$不同的素数有没有这样的矩阵。然后，我们提供了这样的矩阵的等价类的列表，为小值的$n,l$。
2014-12-07 math.CO math.FA
Invitation to Hadamard matrices
本文介绍了实与复Hadamard矩阵的基础理论，将其视为广义Fourier矩阵，并重点探讨了复矩阵的几何与分析性质。
2024-07-29 math.CO math.PR
Construction, classification and parametrization of complex Hadamard matrices
这项工作的目的是为读者提供一个全面的，国家的最先进的介绍理论的复杂阿达玛矩阵，或至少报告的最新进展。这份手稿由三章组成，每一章描述了这一领域的三个不同的面孔之一，其治疗需要各种数学工具，从组合学，泛函分析到符号计算。虽然我们坚信这些美丽的物体本身是有趣的，值得从纯数学的角度进行研究，但我们还是做出了相当大的努力来突出我们所知道的一些应用。
2011-10-25 math.CO math.OA
Orthogonal maximal abelian *-subalgebras of the 6x6 matrices
通过对所有6阶自伴复Hadamard矩阵进行分类，构造了$M_6(\mathbb C)$的新的正交极大交换$*$ -子代数对.特别是，我们展示了一个非仿射单参数家庭的非等价的阿达玛矩阵的顺序6。在本文的最后一部分，我们提出了其他以前未知的例子复杂的阿达玛矩阵的高阶。
2006-09-03 math.CO math.OA quant-ph
Analytic aspects of the circulant Hadamard conjecture
本文用解析方法研究了循环实阿达玛矩阵或复阿达玛矩阵的计数问题。我们的主要观察结果是，对于$|q_0|=...=|q_{N-1}|=1$的数量$Φ=\sum_{i+k=j+l}\frac{q_iq_k}{q_jq_l}$满足$Φ\geq N^2$，等式当且仅当$q=(q_i)$是重标循环复Hadamard矩阵的特征向量。这就提出了三个分析问题，即：（1）$Φ$的蛮力极小化，（2）$Φ$临界点的研究，（3）$Φ$矩的计算。我们在这里探讨这些问题，一些结果和插图。
2013-12-11 math.CO
Robust Hadamard matrices, unistochastic rays in Birkhoff polytope and equi-entangled bases in composite spaces
Wydział Fizyki, Uniwersytet Warszawski（华沙大学物理系）；Centrum Fizyki Teoretycznej PAN（波兰科学院理论物理中心）；Instytut Fizyki im. Smoluchowskiego, Uniwersytet Jagielloński（雅盖隆大学斯莫卢霍夫斯基物理研究所）
本文研究了一类特殊的鲁棒Hadamard矩阵，其投影到二维子空间形成Hadamard矩阵。证明了当存在skew Hadamard矩阵时，此类矩阵存在。对于偶数维度n≤20，展示了Birkhoff多面体中任意射线上的双随机矩阵都是unistochastic的，并通过鲁棒Hadamard矩阵构造了具有相同纠缠度的正交基，从而在产品基和最大纠缠基之间进行插值。
2018-07-12 math.CO quant-ph
Orderly generation of Butson Hadamard matrices
本文用计算机辅助方法对小参数的阶为$n$和复杂度为$q$的Butson型复Hadamard矩阵$\mathrm{BH}(n,q)$进行了分类。我们的主要结果包括$\mathrm{BH}(21,3)$、$\mathrm{BH}(16,4)$和$\mathrm{BH}(14,6)$矩阵的计数。确切地存在$72$、1786763和$167776$这样的矩阵，直到单项式等价。此外，我们首次给出了一个$\mathrm{BH}(14,10)$矩阵的例子，并证明了对于$q\in\{10,12,14,15\}$和$\mathrm{BH}(13,10)$矩阵，$\mathrm{BH}(8,15)$、$\mathrm{BH}(11,q)$是不存在的。
2017-07-07 math.CO
Families of complex Hadamard matrices
复阿达玛矩阵的光滑族包括傅立叶矩阵的维数是多少？我们解决这个问题的幂级数展开。研究所有的维度直到100，我们发现一阶结果是误导性的，除非维度是6，或素数的幂。一般来说，答案主要取决于维数的素数分解。我们的研究结果表明，一个普遍的理论是可能的。我们详细讨论了12维的情况下，并认为该解决方案由两个13维的家庭在一个先前已知的9维家庭相交。一个精确的猜想，所有的尺寸等于一个素数乘以另一个素数平方制定。
2012-11-08 math-ph math.CO math.MP
Hadamard Equiangular Tight Frames
等角紧框架（ETF）是欧几里得空间中直线的一种最优填充.它们通常表示为短而胖的矩阵的列。在某些应用中，我们希望这个矩阵是平坦的，也就是说，它的所有元素都具有模1的性质。特别是，真正的扁平ETF相当于实现Grey-Rankin界的自互补二进制码。一些扁平ETF是（复杂）Hadamard ETF，这意味着它们是通过从（复杂）Hadamard矩阵中提取行而产生的。这些包括谐波ETF，其通过提取对应于基础有限阿贝尔群中的差集的字符表的行来获得。在本文中，我们给出了一些新的结果，扁平ETF。其中一个结果给出了所有Steiner ETF的显式Naimark补，这反过来意味着所有Kirkman ETF都可能是复杂的Hadamard ETF。这特别产生了一个新的无限家族的真正的平面ETF。另一个结果建立了真正的扁平ETF和某些类型的准对称设计之间的等价性，从而产生了一个新的无限族这样的设计。
2017-03-15 math.CO math.FA
Complex Hadamard matrices and the Spectral Set Conjecture
通过分析复Hadamard矩阵与谱集之间的关系，证明了对任意有限阿贝尔群中大小不超过5的集合A，谱集猜想的方向是“谱->瓦”.然后将这个结果推广到任意维d的无限网格$\Z^d$，最后推广到欧几里得空间。陶最近指出，对于群$\Z_3^5$中的|A| =6，相应的陈述失败了，这个观察很快导致了$\R^5$（陶）和随后的$\R^4$（马托尔奇）中谱集猜想的失败。在本说明的第二部分中，我们进一步降低了这个维度，表明谱集猜想的方向"谱->瓦“在3维中已经是假的。在计算搜索低维（1和2）的反例时，人们至少需要能够有效地判定一个集合是否是一个瓦片（比如说，在一个循环群中）以及它是否是谱的。然而，这种有效的程序是缺乏的，我们提出了一些意见的计算复杂性的一些相关问题。
2004-11-23 math.CA math.CO
New Constructions of Group-Invariant Butson Hadamard Matrices
设$G$是有限群，$h$是正整数. $\text{BH}(G,h)$矩阵是$G$不变的$|G|\times |G|$矩阵$H$，其条目是单位的复数$h$次根，使得$HH^*=|G|I_{|G|}$，其中$H^*$表示$H$的复共轭的转置，而$I_{|G|}$是$|G|$阶的单位矩阵.本文给出了$\text{BH}(G,h)$矩阵的三种新构造。第一种构造是第一个已知的$\text{BH}(G,h)$矩阵族，其中$G$不需要是阿贝尔矩阵。第二种和第三种构造是两个$\text{BH}(G,h)$矩阵族，其中$G$是有限局部环。
2019-12-13 math.CO
Butson-Hadamard matrices and Plotkin-optimal p^k-ary codes
Butson-Hadamard矩阵H是n维的方阵，其元素是单位的复根，使得HH*= nI。本文的第一部分研究了广义Gray映射的一些新结果。第二部分证明了由Butson-Hadamard矩阵得到的码及其最小距离的一些界。特别是，我们表明，从一个Butson-Hadamard矩阵得到的代码满足Plotkin界下的非齐次重量。我们还给出了在（非）齐次Gray映射下由修正的Butson-Hadamard矩阵得到的一些码族的参数。
2022-10-01 cs.IT math.CO math.IT
A survey of complex generalized weighing matrices and a construction of quantum error-correcting codes
本文调研复广义称重矩阵的现有研究，扩展其存在条件与构造、整理小参数存在结果，并基于该矩阵构造量子纠错码以证明其应用价值。
2023-11-07 math.CO
Bilinear Forms on Finite Abelian Groups and Group-Invariant Butson Hadamard Matrices
设$K$是一个有限阿贝尔群，$\exp(K)$表示$K$中元素阶的最小公倍数. $BH(K,h)$矩阵是$K$不变的$|K|\times |K|$矩阵$H$，其条目是复数$h$的单位根，使得$HH^*=|K|I$，其中$H^*$表示$H$的复数共轭转置，$I$是阶$|K|$的单位矩阵.令$ν_p(x)$表示整数$x$的$p$-adic赋值。利用$K$上的双线性型，我们证明了当（i）对$|K|$的每个素因子$p$有$ν_p(h) \geq \lceil ν_p(\exp(K))/2 \rceil$，（ii）当$ν_2(|K|)$是奇数且$K$有一个直因子$\mathbb{Z}_2$时有$ν_2(h) \ge 2$时，存在$BH(K,h)$.利用域下降法，证明了当$K$是素数幂阶循环时，这些条件是存在$BH(K,h)$矩阵的必要条件.
2019-03-18 math.CO
A generalisation of bent vectors for Butson Hadamard matrices
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）；Dublin City University（都柏林城市大学）；University of Lethbridge（莱斯布里奇大学）
本文推广了Butson哈达玛矩阵的bent向量概念，定义了自对偶和共轭自对偶bent向量，利用代数数论证明其阶条件与不存在性结果，通过张量构造等给出例子，并应用于推广Reed-Muller码的非线性码覆盖半径研究。
2025-04-16 cs.IT math.CO math.IT
Hadamard Matrix Torsion
我们构造了一系列$2$ -维单纯复形的HMT $(n)$，$H_1($ HMT $(n))=(\mathbb{Z}_2)^{{k}\choose{1}} \times (\mathbb{Z}_4)^{{k}\choose{2}} \times \cdots \times (\mathbb{Z}_{2^k})^{{k}\choose{k}}$，$|H_1($ HMT $(n))|=|$ det（H $(n))|=n^{n/2} \in Θ(2^{n \log n})$，其中构造是基于$2$的幂的$n\geq 2$的Hadamard矩阵H $(n)$，即，$n=2^k, \ k \geq 1$。这些例子有线性多个顶点，它们的面向量是$f(HMT(n))=(5n-1,3n^2+9n-6,3n^2+4n-4)$。我们的显式序列与扭转增长$Θ(2^{n \log n})$在二次时间$Θ(n^{2})$构建，并改进了以前的建设由Speyer与扭转增长$Θ(2^{n})$，缩小差距，以最高可能的渐近扭转增长$Θ(2^{n^2})$证明卡莱通过概率参数。
2021-11-03 math.AT math.CO math.GN
