幂等元的减序

摘要：

设$P$和$Q$是Hilbert空间$\mathcal{H}.$上的幂等元，负阶$P\preceq Q$由方程$PQ=QP=P.$定义。本文首先给出幂等元$P$和$Q$关于负阶的上确界和下确界存在的充要条件。最小$Q^{or}$的一些性质也得到了刻画，其中$Q^{or}$ =min $\{P^{'}: P^{'}$是$\mathcal{H}$上的正交投影，具有$Q \preceq P^{'} \}.$

英文摘要：

Let $P$ and $Q$ be idempotents on a Hilbert space $\mathcal{H}.$ The minus order $P\preceq Q$ is defined by the equation $PQ=QP=P.$ In this note, we first present some necessary and sufficient conditions for which the supremum and infimum of idempotents $P$ and $Q$ exist with respect to the minus order. Also, some properties of the minimum $Q^{or}$ are characterized, where $Q^{or}$=min $\{P^{'}: P^{'}$ is an orthogonal projection on $\mathcal{H}$ with $Q \preceq P^{'} \}.$

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