关于小球中变分不等式的一点注记
A remark on variational inequalities in small balls
摘要：
本文证明了如下结果：设$(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$是实Hilbert空间，$B$是$H$中以$0$为中心的球，$Φ:B\to H$是$C^{1,1}$函数，其中$Φ(0)\neq 0$使得函数$x\to \langle Φ(x),x-y\rangle$对所有$y\in B$在$B$中弱下连续.然后，对于每个足够小的$r>0$，存在唯一的点$x^*\in H$，具有$\|x^*\|=r$，使得对于所有$y\in H\setminus \{x^*\}$，$$\max\{\langle Φ(x^*),x^*-y\rangle, \langle Φ(y),x^*-y\rangle\}< 0$$，具有$\|y\|\leq r$。
英文摘要：
In this paper, we prove the following result: Let $(H,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ be a real Hilbert space, $B$ a ball in $H$ centered at $0$ and $Φ:B\to H$ a $C^{1,1}$ function, with $Φ(0)\neq 0$, such that the function $x\to \langle Φ(x),x-y\rangle$ is weakly lower semicontinuous in $B$ for all $y\in B$. Then, for each $r>0$ small enough, there exists a unique point $x^*\in H$, with $\|x^*\|=r$, such that $$\max\{\langle Φ(x^*),x^*-y\rangle, \langle Φ(y),x^*-y\rangle\}< 0$$ for all $y\in H\setminus \{x^*\}$, with $\|y\|\leq r$.
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