A connection between matchings and removal in abelian groups
在有限阿贝尔群$G$中，定义一个加法匹配为三元组$(x_i, y_i, z_i)$的集合，使得$x_i + y_j + z_k = 0$当且仅当$i = j = k$。在这种情况下，$G = \mathbb{F}_2^n$，Kleinberg，工作的Croot-Lev-Pach和Ellenberg-Gijswijt的基础上，证明了一个多项式上界的大小添加剂匹配。Fox和Lovász用这个来推导$\mathbb{F}_2^n$中格林算术移除引理的多项式边界。如果把$G$看作一个任意有限的阿贝尔群，那么加性匹配的大小的界和格林算术删除引理的界的问题就不那么容易理解了。本文采用Fox和Lovász的方法，证明了在循环群中，如果我们可以假设一个加法匹配的大小有足够强的界，那么在移除的情况下，一个类似的界也应该成立.
2016-12-13 math.CO
On linear configurations in subsets of compact abelian groups, and invariant measurable hypergraphs
证明了所有紧阿贝尔群的一个算术消去结果，推广了Král '，Serra和第三作者的一个有限消去结果.为此，我们考虑在某些群作用下不变的无限可测超图，并对这些超图证明了一个保序移除引理，它推广了第二作者的一个同名有限结果。我们推导出我们的算术去除结果，通过应用这个引理到一个特定类型的不变的可测超图。作为一个直接应用，我们得到了Szemerédi定理的如下推广：对于任何紧阿贝尔群$G$，任何具有Haar概率$μ(A)\geqα>0$的可测集$A\subset G$满足$$\int_G\int_G\; 1_A\big(x\big)\; 1_A\big(x+r\big) \cdots 1_A\big(x+(k-1)r\big) \; dμ(x) dμ(r) \geq c,$$其中常数$c=c(α,k)>0$对所有$G$一致有效.这一结果更普遍地适用于由整数矩阵与互质$r\times r$子式所给出的$r$线性方程组的任何不变性系统。
2015-07-24 math.CO
Complexity of short Presburger arithmetic
研究了Presburger算法中短句的复杂性。这里的“短”是指包含有限数量的变量、量词、不等式和布尔运算的句子;输入仅由不等式中涉及的整数组成。我们证明了，假设Kannan的划分可以在多项式时间内找到，短PA句子的可满足性可以在多项式时间内决定。此外，在同样的假设下，我们证明了短Presburger句子的满意分配的数量也可以在多项式时间内计算。
2017-04-28 cs.CC cs.DM cs.LO
Arithmetical subword complexity of automatic sequences
本文完全分类了具有最大算术子词复杂度的自动序列，并给出了任意自动序列算术（及多项式）子词复杂度的渐近公式。
2024-02-07 cs.FL math.CO math.NT
Parametric Presburger Arithmetic: Complexity of Counting and Quantifier Elimination
我们考虑一个扩展的Presburger算法，它允许乘以$k$参数$t_1,\ldots,t_k$。该语言中的公式定义了参数集$S_\mathbf{t} \subseteq \mathbb{Z}^{d}$，因为$\mathbf{t}$在$\mathbb{Z}^k$中变化，并且我们将计数函数$|S_\mathbf{t}|$作为$\mathbf{t}$的函数进行检查。对于单个参数，已知$|S_t|$可以表示为最终的准多项式（存在周期$m$，使得对于足够大的$t$，函数在每个剩余类mod $m$上是多项式）。我们表明，这样一个很好的表达式是不可能有2个或更多的参数。实际上（假设\textbf{P} $\neq$ \textbf{NP}），我们构造参数集$S_{t_1,t_2}$，使得$|S_{t_1, t_2}|$甚至不能在输入$(t_1,t_2)$上多项式时间计算。与此相反，参数集$S_\mathbf{t} \subseteq \mathbb{Z}^d$任意多个参数，定义在一个类似的语言没有顺序关系，我们表明，$|S_\mathbf{t}|$总是多项式时间计算的大小$\mathbf{t}$，事实上可以表示使用的gcd和类似的功能。
2018-02-03 cs.CC math.CO math.LO
Complexity of circulant graphs with non-fixed jumps, its arithmetic properties and asymptotics
本文研究了一类具有非固定跳数的循环图$$G_n=C_{βn}(s_1, \ldots,s_k,α_1n,\ldots,α_\ell n),\, 1\le s_1<\ldots<s_k\le[\frac{βn}{2}],\, 1\le α_1< \ldots<α_\ell\le[\fracβ{2}].$$.这里$n$是一个任意大的自然数，整数$s_1, \ldots,s_k,α_1, \ldots,α_\ell$假定是固定的.首先，我们提出了一个显式的公式，在图$G_n.$的生成树的数量这个公式是一个产品的$βs_k-1$因素，每个给定的$n$ -th Chebyshev多项式的第一类评估的一些规定的多项式的次数$s_k.$的根接下来，我们提供了一些算术性质的复杂性函数。本文证明了$G_n$中生成树的个数可以用$τ(n)=p \,n \,a(n)^2,$的形式表示，其中$a(n)$是一个整数序列，$p$是一个依赖于$β$和$n.$的奇偶性的自然数。最后，我们通过与$2k-\sum\limits_{i=1}^k(z^{s_i}+z^{-s_i}).$相差一个常数的Laurent多项式的Mahler测度，得到了$τ(n)$的一个渐近公式
2018-12-10 math.CO
A Four-by-Four Obstruction to Polynomial Removal for Ordered Binary Matrices
该研究构造了一个不具备多项式诱导有序移除界的4×4二元矩阵，通过Lean形式化相关恒等式与障碍，揭示了命中现有副本和消除所有副本间的无界差距。
2026-10-14 cs.DM math.CO
True complexity and iterated Cauchy--Schwarz
我们证明了一个多项式界的“真正的复杂性”问题的Gowers和Wolf。证明只使用重复应用的柯西-施瓦茨不等式，回答否定的问题所提出的高尔斯和沃尔夫。为了选择和推理所需的柯西-施瓦茨步骤序列，我们需要介绍几层形式和理论。在这个框架中，最高层次的抽象涉及构建我们称之为“算术电路”的多重线性代数编码计算。这是合理的，这台机器可以用来产生算术不等式在更大的一般性，我们国家沿着这些路线的一些alturtures。
2021-09-13 math.CO math.NT
Short Presburger arithmetic is hard
研究了Presburger算法（Short-PA）中短句的计算复杂性。这里的“短”是指具有有限数量的变量、量词、不等式和布尔运算的句子;输入仅由线性不等式中涉及的整数系数组成。证明了当第一个量词为$\exists$或$\forall$时，含有$m+2$交替量词的短PA句的可满足性分别是$Σ_{P}^m$ -完全或$Π_{P}^m$ -完全的.对计数版本和受限系统也进行了分析。进一步应用于随机优化中两个自然问题的困难性。
2017-10-20 cs.CC cs.LO math.CO
On the complexity of finding tensor ranks
本文给出了一个线性代数算法，以判定域$\F$上给定张量的秩是否至多为$\F$的代数闭包上的$k$，其中$k$是给定的正整数.我们估计我们的算法的算术复杂度。
2020-11-13 math.CO
On the query complexity of estimating the distance to hereditary graph properties
给定一个图族$\mathcal{F}$，我们证明了任何给定的图$Γ$的归一化编辑距离被诱导$\mathcal{F}$ -免费的是估计的查询复杂度，仅取决于边界的Frieze-Kannan正则引理和$\mathcal{F}$的删除引理。
2021-01-29 cs.DS math.CO
An Algebraic Approach to the Arithmetic of Square Tilings
École Polytechnique（巴黎综合理工学院）
本文提出一种代数方法，通过块矩阵编码平铺几何，利用区间矩阵的全幺模性证明二维方形平铺分母最小公倍数以2^n为界，并推广到d维得到d^n界，同时简洁证明Kenyon定理。
2026-09-10 math.CO
An arithmetic regularity lemma, associated counting lemma, and applications
Szemeredi的正则性引理可以被看作是任意稠密图的粗糙结构定理，将这样的图分解为结构化的部分（划分为具有边缘密度的单元），小误差（对应于不规则单元）和均匀部分（与边缘密度的伪随机偏差）。我们建立了一个算术正则性引理，类似地将有界函数f：[N] -> C分解为一个（均匀分布的，虚拟的）-步零序列，一个在L^2中很小的误差和一个在Gowers U^{s+1}-范数中很小的误差，其中s是正整数。然后，我们建立了一个互补的算术计数引理，计数的算术模式的nilsequence分量的f。我们提供了一些应用这些引理：证明Szemeredi定理的等差数列，证明了一个猜想的Bergelson，主机和克拉，并概括了某些结果的Gowers和狼。我们的结果依赖于作者和T.齐格勒2020年11月修订：本文已被修订，因此计数引理仅涵盖满足称为标志性质的条件的线性型系统。平移不变系统，以及柯西-施瓦茨复杂度为1的系统和其他一些自然发生的系统都具有这个性质。我们感谢丹尼尔·奥尔特曼提请我们注意什么似乎是一个小的技术问题在我们的证明之一，但最终导致我们意识到，计数引理失败相当严重（相当简单的例子，我们将描述）没有一些假设这种类型。此外，我们还提供了一个简短的附录，说明系统的Gowers-Wolf复杂性受其Cauchy-Schwarz复杂性的限制。
2020-11-24 math.CO math.DS
An arithmetic algebraic regularity lemma
University of Notre Dame（圣母大学）
本文提出一个算术规则引理，用于有限域中可定义群的规则性分析，证明了群的正规子群具有特定的随机性质。
2026-02-05 math.CO math.GR math.LO
