$q$-振子的扩展交换子代数及相关的 Askey-Wilson 代数
Extended commutator algebra for the $q$-oscillator and a related Askey-Wilson algebra
AI总结：
本文将$q$-振子结合代数的李多项式刻画扩展至包含算子$e^{ωN}$的结合代数$\mathcal{P}$，并将其与Askey-Wilson代数$AW(3)$的$q$-振子表示相关联。
摘要：
设 $q$ 为非单位根的非零复数。在满足交换关系 $a a^+-qa^+ a =1$ 的 $q$-振子中，已知包含产生和湮灭算子 $a^+$ 和 $a$ 的最小算子交换子代数，是 $a^+$ 和 $a$ 的线性生成，连同所有形如 ${a^+}^l{\left[a,a^+\right]}^k$ 和 ${\left[a,a^+\right]}^k a ^l$ 的算子，其中 $l$ 为非负整数，$k$ 为正整数。也就是说，形如 $a ^h$ 或 $(a^+)^h$（其中 $h\geq 2$ 或 $h=0$）的算子线性组合，位于由 $a$ 和 $a^+$ 生成的交换子代数之外。这是对由 $a^+$ 和 $a$ 生成的结合代数的李多项式刻画问题的解。在本工作中，我们将李多项式刻画扩展到结合代数 $\mathcal{P}=\mathcal{P}(q)$ 中，该代数由 $a$、$a^+$ 及算子 $e^{ωN}$ 生成，其中 $ω$ 为非零实参数，$N$ 为粒子数算子，并将此与 Askey-Wilson 代数 $AW(3)$ 的 $q$-振子表示联系起来。
英文摘要：
Let $q$ be a nonzero complex number that is not a root of unity. In the $q$-oscillator with commutation relation $ a a^+-qa^+ a =1$, it is known that the smallest commutator algebra of operators containing the creation and annihilation operators $a^+$ and $ a $ is the linear span of $a^+$ and $ a $, together with all operators of the form ${a^+}^l{\left[a,a^+\right]}^k$, and ${\left[a,a^+\right]}^k a ^l$, where $l$ is a nonnegative integer and $k$ is a positive integer. That is, linear combinations of operators of the form $ a ^h$ or $(a^+)^h$ with $h\geq 2$ or $h=0$ are outside the commutator algebra generated by $ a $ and $a^+$. This is a solution to the Lie polynomial characterization problem for the associative algebra generated by $a^+$ and $ a $. In this work, we extend the Lie polynomial characterization into the associative algebra $\mathcal{P}=\mathcal{P}(q)$ generated by $ a $, $a^+$, and the operator $e^{ωN}$ for some nonzero real parameter $ω$, where $N$ is the number operator, and we relate this to a $q$-oscillator representation of the Askey-Wilson algebra $AW(3)$.
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