A new monotonicity formula for solutions to the elliptic system $Δu=\nabla W(u) $
利用一个物理激励的应力能量张量，证明了具有$W$非负项的半线性椭圆型方程组$Δu=\nabla W(u)$解的弱单调性和强单调性公式.特别是，我们最近的二维结果扩展到所有维度。
2014-02-26 math.AP
Generalized Nehari manifold and semilinear Schrödinger equation with weak monotonicity condition on the nonlinear term
研究了有界区域上的薛定谔方程$\mathbb{R}^N$和$Ω\subset\mathbb{R}^N$ .我们假设$f$是超线性的，但亚临界增长和$u\mapsto f(x,u)/|u|$是非递减的。在$\mathbb{R}^N$中，我们还假设$V$和$f$在$x_1,\ldots,x_N$中是周期性的。我们表明，这些方程有一个基态，并存在无穷多个解决方案，如果$f$是奇数的$u$。我们的结果推广了\cite{sw1}中的结果，其中假定$u\mapsto f(x,u)/|u|$是严格递增的。这个看似微小的变化迫使我们超越平滑分析的方法。
2016-09-15 math.AP
Gradient estimates for SDEs without monotonicity type conditions
我们证明了转移马尔可夫半群$(P_t)$的梯度估计与乘性布朗噪声驱动的可能无界的$C^1$-系数的偏微分方程，而不需要任何单调性类型的条件。特别地，系数的一阶导数可以多项式地甚至指数地增长。我们建立了$D_x P_tφ$的逐点加权估计，形式为\[ {\sqrt{t}} \, |D_x P_t φ(x) | \le c \, (1+ |x|^k) \, \| φ\|_{\infty} \] $t \in (0,1]$，$φ\in C_b ({\mathbb R}^d)$，$x \in {\mathbb R}^d.$为了证明这个结果，我们使用了两个主要工具。首先，我们考虑一个Feynman-Kac半群，它的位势$V$与系数及其导数的增长有关，对此我们可以使用Bismut-Elworthy-Li型公式。其次，我们引入了一个新的正则逼近的系数的双曲型。在本文的最后，我们提供了一个例子，具有加性噪声和漂移$b$次线性增长连同其衍生物，使均匀估计$D_x P_t φ$没有权重不成立。
2018-03-10 math.AP math.PR
Ground state solutions of fractional Schrödinger equations with potentials and weak monotonicity condition on the nonlinear term
本文研究分数阶薛定谔方程$(-Δ)^α u+V(x)u =f(x, u)$，$x\in \rn$，其中$f$是超线性的，亚临界增长的，而$u\mapsto\frac{f(x, u)}{\vert u\vert}$是非减的.当$V$和$f$在$x_{1},\ldots, x_{N}$中为周期时，我们证明了当$f$在$u$中为奇数时基态和无穷多个解的存在性.当$V$具有矫顽性或$V$具有有界势阱和$f(x, u)=f(u)$时，得到基态。当$V$和$f$在$x$中是渐近周期时，我们也得到了基态解.在以往的研究中，$u\mapsto\frac{f(x, u)}{\vert u\vert}$被假定为严格递增的，由于这个小的变化，我们被迫超越光滑分析的方法。
2017-06-08 math.AP
Sharp boundary asymptotics and monotonicity for singular quasilinear elliptic equations with gradient terms in half-spaces
Faculty of Economic Mathematics, University of Economics and Law（经济数学学院，经济与法律大学）；Vietnam National University（越南国立大学）
本文研究了半空间中涉及梯度的奇异拟线性椭圆问题正解在边界附近的行为，并利用移动平面法证明了解在 $x_N$ 方向的单调性，该结果在二维及高维特定条件下均成立。
2026-10-01 math.AP
Monotone Multispecies Flows
本文提出多物种偏微分方程系统的λ-单调性概念，证明其蕴含稳态收敛与Wasserstein-2收缩，并推广到一般和博弈的纳什均衡收敛，附有数值验证。
2025-09-25 math.AP
Monotonicity of solutions of quasilinear degenerate elliptic equation in half-spaces
证明了当$2<p< 3$和$f(\cdot)$为幂型非线性函数，或当$p>2$和$f(\cdot)$为超线性函数时，$-Δ_p u=f(u)$的解在窄无界域上的弱比较原理.我们利用它证明了半空间中$-Δ_p u=f(u)$正解的单调性（Dirichlet假设为零），从而证明了一些Liouville型定理.
2012-10-05 math.AP
Variational and Quasi-Variational Inequalities with Gradient Type Constraints
本文综述了应用于变分不等式和拟变分不等式的大类标量解和向量解的单调性和紧性方法的发展，并对具有梯度约束的平稳和演化问题进行了研究。受临界状态问题模型和力学与物理中自由边界问题的应用的启发，本文收集并提出了几个已知的性质，并发现了一些新的结果和例子。
2018-09-06 math.AP
A flow approach to the monotonicity of shape functionals
Hunan University（湖南大学）
本文提出了一种流方法研究形状函数的单调性，通过构造新型变形路径证明了三角形和菱形的函数单调性，并为圣文森特不等式提供了新的几何证明。
2026-02-15 math.AP
Monotonicity formulas for coupled elliptic gradient systems with applications
考虑以下耦合椭圆方程组\begin{equation*} \label{} (-Δ)^s u_i = (u^2_1+\cdots+u^2_m)^{\frac{p-1}{2}} u_i \quad \text{in} \ \ \mathbb{R}^n , \end{equation*}，其中$0<s\le 2$、$p>1$、$m\ge1$、$u=(u_i)_{i=1}^m$和$u_i:\mathbb R^n\to \mathbb R$。在文献中从不同的角度研究了上述系统解的定性行为，包括自由边界问题和解的分类。对于局部标量方程的情况，即当$m=1$和$s=1$，Gidas和Spruck在\cite{gs}和后来的Caffarelli，Gidas和Spruck在\cite{cgs}中提供了Sobolev次临界和临界指数的解决方案的分类。最近，对于局部方程组的情况，即当$m\ge1$和$s=1$时，Druet、Hebey和Vétois在\cite{dhv}及其参考文献中给出了类似的分类结果。本文给出了上述局部系统当为$s=1,2$时，以及非局部系统当为$0<s<1$和$1<s<2$时，整体解的单调性公式.由于Alt-Caffarelli-Friedman \cite{acf}著名的单调性公式的对应物对于方程组来说似乎是具有挑战性的，因此这些单调性公式是非常有趣的。然后，我们应用这些公式给…
2019-01-09 math-ph math.AP math.DG
Gradient estimates for mean curvature flow with Neumann boundary conditions
研究了具有Neumann边界条件和迁移项的图的中曲率流。我们推导出的中曲率流的边界梯度估计。作为应用，给出了图的中曲率流的存在性。一个关键的论点是边界单调性公式的Huisken型使用反射向后热内核。此外，我们提供的运输条款的正则性条件。
2017-06-14 math.AP
Monotonicity of non-negative solutions of quasilinear elliptic equations in a cylindrical domain
Department of Mathematics and Computer Science, UNICAL（卡塔尼亚大学数学与计算机科学系）
研究柱形域中p-Laplace方程在混合边界条件下的正解，证明对任意p>1解在x_N方向单调递增，并应用于Allen-Cahn和Lane-Emden型方程。
2026-07-10 math.AP
Some aspects of Cheng-Yau gradient estimates
本文扩展了Cheng-Yau梯度估计的刚性，应用于具有下界里奇曲率的曲面，并获得了高维Riemannian流形上的点wise梯度估计及正调和函数的单调性公式。
2025-11-24 math.AP math.DG
The direct moving plane method for weak solutions of the fractional $p$-Laplacian
本文针对1<p≤2的分数阶p-拉普拉斯方程，在弱形式下发展移动平面法，证明了有界域中弱解的径向对称性等性质，完善了Chen-Li的相关研究成果。
2026-09-03 math.AP
Global optimal regularity for variational problems with nonsmooth non-strictly convex gradient constraints
证明了具有凸梯度约束的变分问题的最优$W^{2,\infty}$正则性。我们不假设约束的任何规则性;因此约束可以是非光滑的，并且它们不需要是严格凸的。当域足够光滑时，我们证明了最优正则性保持到边界。在这个过程中，我们还刻画了某些Hamilton-Jacobi方程的黏性解的奇点集。此外，我们得到了这些黏性解的二阶导数的显式公式，并证明了二阶导数满足单调性。
2021-01-26 math.AP
Double obstacle problems and fully nonlinear PDE with non-strictly convex gradient constraints
证明了带凸梯度约束的完全非线性椭圆型方程的最优$W^{2, \infty }$正则性。我们不假设约束的任何规律性，因此约束不需要是$C^1$或严格凸的。我们还表明，最佳的正则性举行了边界。我们的方法是证明这些具有梯度约束的椭圆型方程与一些完全非线性双障碍问题有关。然后证明了双障碍问题的最优$W^{2, \infty }$正则性。在这个过程中，我们还采用了单调性的障碍物，我们已经在以前的工作中获得的二阶导数。
2021-01-27 math.AP
Weak-Strong Uniqueness for Second-Order Mean-Field Games
King Abdullah University of Science and Technology (KAUST)（阿卜杜拉国王科技大学）
本文扩展了均场博弈系统中的弱-强唯一性原理，适用于广义的二阶静态和时变问题，通过单调性、增长性和 coercivity 假设证明弱解与强解一致，引入系数适应的 mollification 策略处理变量扩散项，并在二次增长范围内推导新的 a priori 估计。
2026-04-01 math.AP math.DS
Existence of weak solution for mean curvature flow with transport term and forcing term
在适当的索伯列夫空间中，研究了具有非光滑输运项和强迫项的中曲率流。利用修正的Allen-Cahn方程的单调性公式等重要性质，证明了带项的中曲率流的整体弱解的存在性.
2019-10-15 math.AP math.DG
Existence of weak solution for volume preserving mean curvature flow via phase field method
研究了保体积中曲率流的相场方法。在给定初始$C^1$超曲面的条件下，利用带非局部项的反应扩散方程证明了保体积中曲率流弱解的存在性.我们还给出了反应扩散方程的单调性公式和密度上界。
2015-11-05 math.AP math.DG
Iterated logarithms and gradient flows
我们考虑应用的平衡重量过滤和迭代算法，在arXiv：1706.01073，偏微分方程的理论。本文的主要结果是完整地描述了黎曼曲面上全纯丛度量空间上的杨-米尔斯流的渐近性质。在参数的一个关键成分是一个单调性的流动，在任意维。A侧模拟是一个修改后的曲线缩短流，我们提供了一个启发式计算，以支持一个详细的结构图。
2018-02-12 math.AP math.DG math.RT
Local convergence of mean-field Langevin dynamics: from gradient flows to linearly monotone games
本文研究了均场动力学的局部收敛性，通过梯度流和线性单调博弈的分析，提出了在χ²-分歧下具有精确收敛速度的局部指数收敛性结果。
2026-02-12 math.AP math.OC
Li-Yau gradient estimates for curvature flows in positively curved manifolds
本文证明了截面曲率有正下界的Einstein流形中的严格凸超曲面流的微分Harnack不等式，它们是由中曲率的幂$p$，$0<p<1$构成的.我们假设这个下界与周围空间的曲率张量的导数相比足够大，并且初始超曲面的中曲率与周围几何形状相比足够大。我们还获得了一些新的Harnack不等式更一般的曲率流在球，以及一个单调性估计的中曲率流在非负弯曲，局部对称空间。
2019-01-28 math.AP math.DG
