This paper discusses some general aspects and techniques associated with the long-time asymptotics of steplike solutions of the Korteweg--de Vries (KdV) equation via vector Riemann--Hilbert problems. We also elaborate on an ill-posedness of the matrix Riemann--Hilbert problem for the KdV case in the class of matrices with square integrable singularities. Furthermore, we refine the asymptotics for the shock wave in the Whitham zone derived previously and rigorously justify it for a more general class of initial data. In particular, we clarify the influence of resonances and of the discrete spectrum on the leading asymptotics.
Riemann-Hilbert problem for the small dispersion limit of the KdV equation and linear overdetermined systems of Euler-Poisson-Darboux type
利用Riemann-Hilbert（RH）方法研究了具有小色散和单调增长初值的Korteweg de Vries（KdV）方程的Cauchy问题.使用振荡Riemann-Hilbert问题的最速下降法获得了零色散极限下柯西问题的解。渐近解完全由一个标量函数$\g$描述，该函数满足一个标量RH问题和一组由代数不等式约束的代数方程。标量函数$\g$等价于Lax-Levermore最大化问题的解。这组代数方程的解满足Whitham方程。我们证明了标量函数$\g$和Lax-Levermore极大化子可以表示为Euler-Poisson-Darboux型线性超定方程组的解。我们还表明，一组代数方程和代数不等式可以表示在一组不同的线性超定系统的Euler-Poisson-Darboux型方程的解决方案。此外，我们证明了代数方程组是等价的经典解的Whitham方程表示的速端变换。
Bifurcation diagram of a one-parameter family of dispersive waves
小色散的Korteweg de Vries（KdV）方程是一维色散激波形成和传播的模型。KdV中的色散激波的特征在于在具有光滑初始数据的柯西问题的解中出现快速调制振荡区。这些振荡及其相互作用的振幅、频率和波数在时间和空间上的调制近似地由$g$ -相位Whitham方程描述。研究了一类单参数单调递减初值族的Whitham方程的初值问题。我们得到了相互作用振荡区数$g$的分岔图。
