Algebraic stability theorem for derived categories of zigzag persistence modules
本文从导出范畴和Auslander-Reiten箭图的角度研究了Z形持久模上的距离.导出了普通持久模的导出范畴等价于任意zigzag持久模的导出范畴，并依赖于一个经典的倾斜模。通过这个导出的等价，我们定义和计算任意zigzag持久模的导出范畴上的距离，并证明了一个代数稳定性定理。我们还比较了我们的距离与纯曲折持久性模块介绍Botnan-Lesnick和层理论卷积距离由于柏原-Schapira。
2021-04-04 math.AT math.RT
Computational techniques for sheaf cohomology of locally profinite sets
本文提出k-sheer划分用于计算局部紧致集上常系数Z_2的上同调，通过非平凡顶上同调元作为coboundaries的极限，将中间上同调问题转化为顶上同调问题。
2026-10-21 math.AT math.LO
Convolution of Persistence Modules
本文研究了实值多参数持久模的层和余层。利用最近关于持久化模块的同调代数的工作，我们在持久化模块的导出复形之间定义了两种不同的卷积运算。我们证明了这些操作之一是规范同构的分次模的张量积。我们给出计算单参数区间可分解模之间卷积的公式。我们的卷积运算类似于Schapira和Kashiwara介绍的$\mathbb{R}^n$上可构造层的导出复体的卷积。在我们的设置中，$\mathbb{R}^n$具有非标准拓扑。我们证明了我们的卷积运算满足类似于具有标准拓扑的$\mathbb{R}^n$上可构造层的卷积的性质。我们定义了一个卷积距离衍生复合物的持久性模块，并表明它扩展了经典的交织距离。我们还证明了稳定的结果从层和cosheaf的观点。
2020-11-07 math.AT math.CT
Persistence of Zero Sets
研究了连续映射零集$f:X\to\mathbb{R}^n$的鲁棒性.形式上，我们分析了所有连续映射的所有零集的族$Z_r(f)=\{g^{-1}(0):\,\,\|g-f\|<r\}$ $g$在最大范数下比$r$更接近$f$。$Z_r(f)$的基本几何性质是它的所有零点集都在$A:=\{x:\,|f(x)|\ge r\}$之外。我们声称，一旦空间$A$是固定的，$Z_r(f)$是\emph{fully}由一个所谓的同伦群的元素确定的-由最近的结果-是可计算的，只要$X$的维数至多是$2n-3$。更明确地说，该元素是从$A$或$X/A$到球体的映射的同伦类。通过同时考虑所有的$r>0$，指向的同伦群形成了一个持久性模块-一个导致持久性图的结构，就像\emph{persistent homology}或\emph{well groups}的情况一样。最后，我们得到了一个描述零集的持久鲁棒性的描述符，它比已有的井图具有更好的描述能力（定理A）和更好的可计算性状态（定理B）。此外，如果我们赋予每个零集的每个点扰动的梯度，零集的鲁棒描述的上同伦群的元素在某种意义上是最好的可能（定理C）。
2017-04-17 cs.CG math.AT math.GT
Discrete Level Set Persistence for Finite Discrete Functions
该研究从有限有序集视角探讨离散函数的子/超水平集持久同调，证明滤过对偶性以支撑同调结果，实现平坦极值的类莫尔斯行为，还讨论条形码构造等辅助结构处理。
2025-08-25 cs.CG cs.DM math.AT
A lemma for microlocal sheaf theory in the $\infty$-categorical setting
\cite{KS90}的微局部层理论基本上利用了Kashiwara关于层的扩展引理，这个引理基于同一作者的一个准则，该准则给出了条件，以便在$\mathbb{R}$中定义的函子的值在集合范畴$Sets$中是常数。在本文的第一部分，使用经典的工具，我们展示了如何推广的情况下的无界导出范畴的扩张引理。在第二部分中，我们通过用空间的$\infty$ -范畴取代范畴$Sets$来推广Kashiwara关于常数函子的结果，并将其推广到$\infty$ -层，即层的$\infty$ -范畴版本。最后，我们定义了值在稳定$(\infty,1)$范畴中的层的微支撑。
2016-11-21 math.AG math.AT
Homology and Robustness of Level and Interlevel Sets
给定拓扑空间上的一个函数$f: \Xspace \to \Rspace$，我们考虑区间的原像及其同调群，并展示如何从$f$的扩展持久图中读取这些群的秩。此外，我们量化的鲁棒性的扰动下的$f$使用井组的同源类，我们展示了如何读取这些组的行列从相同的扩展持久性图。特殊情况$\Xspace = \Rspace^3$在医学成像和科学可视化领域具有分支。
2011-02-16 cs.CG math.AT
A derived isometry theorem for constructible sheaves on $\mathbb{R}$
持久同调最近由Kashiwara和Schapira在导出的环境中用层理论的工具进行了研究，在J. Curry首次将持久同调与层联系起来之后。我们证明了等距定理，在这个派生的设置，从而表示层的卷积距离作为一个匹配的组合对象之间的距离与他们相关联，我们称之为分级条形码。这允许考虑层理论的结构组合，稳定的拓扑描述符的数据，并概括的情况下，持久性与一个参数。为了实现这一点，我们显式地计算$D^b_{\mathbb{R} c}(\textbf{k}_\mathbb{R})$中的所有态射，这使我们能够计算不可分解对象之间的距离。然后，我们适应Bjerkevik的稳定性证明，这个派生的设置。作为等距定理的一个副产品，我们证明了卷积距离是封闭的，给出了$D^b_{\mathbb{R} c}(\textbf{k}_\mathbb{R})$的连通分量的精确描述，并提供了一些计算卷积距离的显式例子。
2023-01-24 cs.CG math.AT
On the cosine similarity and orthogonality between persistence diagrams
Universiti Kebangsaan Malaysia（马来西亚国立大学）
本文针对持久性图相似度问题，提出余弦相似度作为新指标并引入正交性概念，实验证明其比bottleneck和Wasserstein等标准距离更准确。
2025-04-06 cs.CG math.AT
Curvature Sets Over Persistence Diagrams
本研究结合Gromov曲率集与Vietoris-Rips持久同调提出持久集不变量，证明其计算高效、区分力强且具稳定性，还给出二次时间复杂度的Vietoris-Rips持久图几何算法。
2023-07-24 math.AT math.MG
An isometry theorem induced by the Radon transform between the convolution and interleaving distances
针对多参数持久化模理论研究不足、应用受限的问题，研究者改进层导出范畴的原始距离，在局部化范畴上定义卷积与交错距离，证明Radon变换可实现运动方向转换并诱导两类距离间的等距定理，为多参数持久化模研究提供降维理论工具。
2025-05-26 math.AT
Rank-based persistence
持久性已被证明是一个有价值的工具来分析真实世界的数据健壮。随着时间的推移，人们尝试了几种持久性方法，一些是基于向量空间值同调函子的拓扑方法，另一些是基于任意集值函子的组合方法。为了统一研究的拓扑和组合持久性在一个共同的范畴框架，我们给出了公理的广义秩函数的对象在一个目标类别，使函子，该类别诱导持久性功能。我们端口的交织和瓶颈距离，这个新的框架和推广经典的等式和不等式。与集合和向量空间不同，在许多类别中，对象的秩并不确定它的同构：为了保留持久性模块的结构信息，我们定义了着色秩，持久性图，并证明了半简单阿贝尔范畴中多色瓶颈距离和交织距离之间的相等性。为了说明我们的框架在实践中，我们给出了过滤拓扑空间与群作用和标记的点云数据的多色持久同调的例子。
2019-05-22 cs.CG math.AT math.CT
Topological spaces of persistence modules and their properties
持久化模块是拓扑数据分析中出现的一个中心代数对象。交错的概念提供了一种自然的方法来度量持久性模块之间的距离。我们考虑了各种类型的持久化模块，包括许多以前已经研究过的持久化模块，并描述了它们之间的关系。在这些类是集合的情况下，交织距离会导致拓扑。我们对所得的拓扑空间及其基本拓扑性质进行了系统的研究。
2018-10-25 math.AT math.GN
Differential Calculus and Optimization in Persistence Module Categories
本文介绍了持久模理论，提出利用其稳定性与可逼近性两大基本性质，构建持久模范畴中带收敛性保证的微分学与优化框架，拓展持久模在多数学领域的应用。
2024-11-01 math.AT math.OC math.RT
Discrimination of Dynamic Data via Curvature Sets
Rutgers University（罗格斯大学）
本文提出动态曲率集持久同调方法，用于区分动态数据，通过反链可分解性质提升计算效率并增强稳定性。
2026-03-04 math.AT
Sliding Windows and Persistence: An Application of Topological Methods to Signal Analysis
本文提出了一个时间序列数据拓扑研究的理论框架。从广义上讲，我们描述的几何和拓扑性质的滑动窗口（或时间延迟）嵌入，通过持久的同源性的镜头。特别是，我们表明，在点云水平的最大持久性可以用来量化周期性的信号水平，证明结构和收敛定理所产生的持久性图，并获得估计其依赖于窗口大小和嵌入维数。我们应用这种方法来量化合成数据集的周期性，并将结果与使用最先进的方法在基因表达分析中获得的结果进行比较。我们称这种新方法为SW1PerS，它代表滑动窗口和一维持久性评分。
2013-11-25 math.AT math.ST stat.TH
Fast Minimal Presentations of Bi-graded Persistence Modules
多参数持久同调是拓扑数据分析的一个新的分支。在这一领域，数据集的调查，通过镜头的同源性相对于两个或两个以上的尺度参数。许多算法的高计算成本要求预处理步骤以减少输入大小。一般来说，最小表示是持久化模块的最小可能表示。Lesnick和Wright最近提出了一种基于矩阵约简的最小表示计算算法（LW-算法）。在这项工作中，我们提出，实施和基准几个改进的LW算法。最值得注意的是，我们提出了使用优先排队，以避免广泛的扫描矩阵列，这构成了计算瓶颈的LW算法，我们结合了他们的算法的思想，从多参数块算法Fugacci和Kerber。我们广泛的实验表明，我们的算法优于LW算法和计算的最小表示的数据集与数以百万计的简单在几秒钟内。我们的软件是公开的。
2020-10-29 cs.SC math.AC math.AT
Magnitude meets persistence. Homology theories for filtered simplicial sets
UCLA Mathematics Department（加州大学洛杉矶分校数学系）
本文探讨了幅度同调与持续同调在计算过滤简形集同调中的不同方法，通过研究有限度量空间的尺度变化，揭示两者在拓扑数据分析中的关联。
2021-08-24 math.AT
Detecting invariant manifolds of dynamical systems using persistent homology
University of Western Macedonia（西马其顿大学）；University of Ljubljana（卢布尔雅那大学）
该研究运用持久同调理论方法，先建立接近集合持久图的联系，再通过数值样本集的持久图研究特定动力系统极限集性质，在温和假设下借助数值数据得出极限集几何的分析结果。
2026-07-08 math.AT math.DS math.MG
Measures of string similarities based on the Hamming distance
在本文中，我们考虑的措施之间的相似性建立了两套字符串的汉明距离和工具的持久性同源性为基础。首先，我们描述的\v切赫过滤毗邻的字符串集，持久性模块对应于此过滤和它的条形码结构的建设。使用这些手段，我们引入了一种新的相似性度量的两组字符串，基于比较的酒吧内的条形码相同的尺寸。我们的想法是寻找一个比较，将考虑下不仅酒吧的重叠，但也确保观察到的酒吧是定性匹配，在这个意义上说，他们代表类似的同源特征。为了实现这个想法，我们开发了一种称为单纯形半径分离技术的方法。
2022-11-26 math.AT
Metric spaces and homotopy types
通过与Spivak的方法类比，有一个实现函子，它将单纯集上的持久性图$Y$带到扩展的伪度量空间（或ep-度量空间）$Re(Y)$。函子$Re$有一个右伴随，称为奇异函子，它把一个ep-度量空间$Z$带到持久图$S(Z)$ .我们给出了一个明确的描述$Re(Y)$，并表明它只依赖于$Y$的$1$ -骨架$sk_{1}Y$。若$X$是全序ep-度量空间，则在Vietoris-Rips图的实现$V_{\ast}(X)$与ep-度量空间$X$之间存在同构$Re(V_{\ast}(X)) \cong X$.持久性图$V_{\ast}(X)$和$S(X)$对于所有这样的$X$是分段等价的。
2020-12-16 math.AT
Amplitudes in persistence theory
针对多参数持久同调缺乏天然不变量与对应距离的问题，本文提出通用框架，定义了阿贝尔范畴上的单调次可加振幅不变量，给出关联距离的方法并分类相关振幅，还研究了振幅距离的关系与区分能力。
2024-07-12 math.AC math.AT math.CT
