Nonlinear emergent macroscale PDEs, with error bound, for nonlinear microscale systems
许多物理系统是在某些方向上相对较大但在其他方向上相对较薄的区域上形成的。我们期望这样的系统具有在大维度上缓慢变化的涌现结构。确定涌现动力学的常见数学近似通常依赖于自洽性参数或限制，因为“大”和“薄”维度的纵横比变得非物理无限。在这里，我们扩展到非线性动力学的一种新方法[IMA J.应用数学，DOI：10.1093/imamat/hxx 021]，它通过严格的多变量泰勒级数分析在域的每个横截面的动态。然后中心流形理论支持系统的紧急动态的大，但有限的域的全球建模。横截面耦合和快速和慢速动态之间的相互作用确定了非线性建模的定量误差界。我们说明的方法，通过推导出的大规模的动态薄液膜，其中该膜是受旋转基板引起的科里奥利力。这里开发的方法量化已知近似的准确性，扩展这种近似的混合阶建模，并可能打开以前棘手的建模问题，新的工具和见解。
2018-06-27 math.DS
ATLAS: A geometric approach to learning high-dimensional stochastic systems near manifolds
当模拟高维多尺度随机微分方程时，时间尺度的分离、随机噪声和高维性会使模拟变得非常昂贵。计算成本由许多变量的微尺度性质和相互作用决定，而感兴趣的行为通常发生在宏观尺度水平和大的时间尺度，通常由很少的重要但未知的自由度表征。对于许多问题，通过直接模拟来弥合微观尺度和宏观尺度之间的差距在计算上是不可行的。在这项工作中，我们提出了一种新的方法来自动学习一个降阶模型与相关的快速宏观模拟器。我们的无监督学习算法使用短的可并行的微尺度模拟来学习可证明准确的宏观模型，这些模型在空间和时间上是连续的。学习算法将以下作为输入：微尺度模拟器、局部距离函数和均匀化空间或时间尺度，其是简化系统中感兴趣的最小时间尺度。然后，学习的宏尺度模型可以用于快速计算和存储长模拟。我们证明保证，相关的短路径的数量要求从微观模拟器的学习宏观模拟器的准确性。我们讨论了各种例子，低维和高维，以及我们构建的快速模拟器的准确性的结果，其依赖于从微尺度模拟器要求的短路径的数量。
2015-10-12 math.DS math.PR
Slowly varying, macroscale models emerge from microscale dynamics over multiscale domains
许多物理系统在某些方向上相对较大但在其他方向上相对较薄的域上得到了很好的描述。在这种情况下，我们通常期望系统具有在大维度上缓慢变化的涌现结构。对于这种系统的实际数学建模，我们需要有效和准确的方法来降低原始系统的维数和提取紧急动态。确定涌现动力学的常见数学近似通常依赖于自洽性参数或限制，因为“大”和“薄”维度的纵横比变得非物理无限。在这里，我们建立在一个新的方法，以前建立的系统是大的，只有一个维度，它分析了在每个横截面的域与一个严格的多元泰勒级数的动态。然后中心流形理论支持系统的紧急动态与耦合到相邻的横截面作为一个非自治的强迫处理的本地建模。工会在所有的横截面，然后提供了强有力的支持的存在和出现的中心流形模型全球在大的有限域。定量的误差估计由横截面耦合与快速和慢速动态之间的相互作用确定。两个例子提供了我们的方法的实际细节。这里开发的方法可用于量化已知近似的准确性，将这种近似扩展到混合阶建模，并将以前难以处理的建模问题开放给新的工具和见解。
2016-12-14 math.DS
Accurate and efficient multiscale simulation of a heterogeneous elastic beam via computation on small sparse patches
现代“智能”材料具有复杂的微观结构，常常具有未知的宏观闭合。无方程补丁方案使我们能够非侵入性地，有效地，准确地模拟在大尺度上通过计算只有小的良好分离的补丁的微尺度系统。这里的微尺度系统是一个固体梁的随机非均匀弹性。持续的挑战是仅在微尺度补丁上计算给定的物理，并将补丁耦合到未模拟的宏观尺度空间，以便在宏观尺度上建立效率，准确性，一致性和稳定性。动力系统理论支持该方案。该研究计划旨在开发一种系统的非侵入性方法，无论是计算和分析证明，精确建模和计算一般复杂的物理和工程系统的宏观系统水平。
2023-01-20 cs.NA math.DS math.NA
Accurate macroscale modelling of spatial dynamics in multiple dimensions
University of Adelaide（阿德莱德大学）；University of Southern Queensland（南昆士兰大学）
提出一种基于中心流形理论的统一方法，通过有限元或方程自由补丁耦合，对多维反应扩散系统进行高阶精确宏观建模，并应用于Ginzburg-Landau方程。
2012-01-17 cs.NA math.DS math.NA
Multiscale modelling couples patches of nonlinear wave-like simulations
多尺度间隙齿方案是建立从给定的微观模拟的复杂的物理过程，使宏观模拟。通过在未模拟的物理间隙上耦合小块模拟，可以大量节省计算时间。到目前为止，间隙齿格式已被发展为耗散系统，但波系统也有很大的兴趣。本文将间隙齿格式推广到波动系统的非线性微尺度模拟中。经典的宏尺度插值提供了一个通用的补丁之间的耦合，实现任意高阶之间的一致性的多尺度计划和底层的微尺度动态。本征分析表明，由此产生的间隙齿计划授权具有复杂的基础物理的波动动力学的大规模模拟计算的可行性。作为初步研究，我们采用间隙齿格式对溃坝波进行了数值模拟。一个间隙齿模拟，在整个域的微尺度模拟，和一些已发表的实验数据溃坝之间的比较，表明间隙齿方案可行地计算大规模的波浪动力学与计算节省。
2014-04-25 math.DS
Equation-free patch scheme for efficient computational homogenisation via self-adjoint coupling
无方程宏观尺度建模是一种系统和严格的计算方法，用于在所需的宏观尺度系统水平上有效地预测微尺度系统的动态。在该方案中，给定的微尺度模型是在空间-时域上分布的小块中计算的，其中块耦合条件桥接未模拟的空间。为了精确的模拟，在设计贴片耦合条件时必须小心。在这里，我们构造新的耦合条件，保持平移不变性，旋转不变性，自伴对称性，从而保证与这些对称性相关的守恒律在宏观模拟中被保留。光谱和代数分析所提出的计划在一个和两个维度揭示机制，进一步提高模拟的准确性。证明了补丁方案的宏观尺度动力学与原微尺度模型的一致性。这种新的自伴补丁计划提供了一个有效的，灵活的，准确的计算均匀化在广泛的多尺度的情况下感兴趣的科学家和工程师。
2020-07-14 math.DS physics.comp-ph
Learning high-order spatial discretisations of PDEs with symmetry-preserving iterative algorithms
在宏观网格上对偏微分方程进行空间离散的常用方法包括有限差分法、有限元法和有限体积法。这样的方法通常施加假定的微尺度结构上的亚网格字段，所以没有进一步定制的分析是不适合的亚网格尺度的异质性或非线性系统。我们提供了一个新的代数路线，系统地近似，在原则上准确，宏观尺度封闭的一般类的异构非自治反应对流扩散偏微分方程的空间离散动力学。这种整体离散化方法，通过严格的理论和计算机代数验证，系统地构建离散宏观模型，通过物理通知的PDE的平衡动力学，从而放宽了许多假设的次网格结构。这种构造类似于最近的灰盒机器学习技术，因为预测是由迭代层（如神经网络）指导的，但由偏微分方程中表达的子网格物理（或“数据”）提供信息。本文提出的整体方法的一个主要发展是新的子网格场之间的单元间耦合，该子网格场在宏观离散化后保持PDE的自伴性，从而保持原始系统的谱结构。这种整体方法还包括均匀化的微尺度异质系统，如这里所示的典型例子的异质一维波和扩散。
2022-04-14 math.DS
Rigorous modelling of nonlocal interactions determines a macroscale advection-diffusion PDE
一个缓慢变化的或薄层多尺度的假设，使宏观尺度上的许多物理场景的理解，从分散在管道和河流，包括梁，壳，非线性波的调制，均匀化的微观结构。在这里，我们开始一个新的探索的情况下，给定的物理具有非局部微尺度相互作用。我们严格地分析了一个基本的例子，剪切分散的动力学。在每个横截面附近，动态表示在微尺度非局部效应的局部矩中。中心流形理论，然后支持本地建模的系统的动态耦合到相邻的横截面作为一个非自治的强迫。工会在所有的横截面，然后提供了强大的新的支持的存在和出现的宏观模型对流扩散PDE全球的大，有限大小的域。该方法量化了宏观尺度对流扩散近似的准确性，并有可能打开以前棘手的多尺度问题的新见解。
2020-01-21 cs.NA math.DS math.NA
A multiscale scheme accurately simulates macroscale shocks in an equation-free framework
科学家和工程师通常会创建准确、可靠的计算模拟方案，但这些方案往往计算成本太高，无法在感兴趣的时间或空间域上执行。无方程的方法是将这种可信的模拟与数值宏观尺度缩减的框架-补丁动力学方案结合起来。本文将补丁方案扩展到可信模拟解决微观尺度上的突然状态变化的场景，这些变化在宏观尺度上表现为冲击。在这些情况下的问题的准确模拟需要通过捕捉一个新的补丁内的冲击，并修改补丁耦合规则附近，以保持准确性扩展补丁计划。有了这两个扩展的补丁计划，直接的参数得出的一致性条件，匹配的补丁计划的准确性通常的顺序。新方案在四个原型问题上进行了成功的测试。这项技术将使科学家和工程师能够在大空间域上准确有效地模拟在微观尺度上具有快速过渡层的多尺度多物理场系统。
2020-03-02 cs.NA math.DS math.NA
Multiscale modelling couples patches of two-layer thin fluid flow
多尺度间隙齿计划使用一个给定的微观模拟器的复杂的物理过程，使宏观模拟只计算小稀疏补丁。本文将间隙齿格式推广到非线性细观流体流动的数值模拟中。微尺度模拟器是通过人为地假设流体膜流具有两个人工层但没有区别的物理特征而导出的。中心流形理论保证了两层液膜流动中存在慢流形。特征值分析证实了微尺度模拟器的稳定性。本文采用间隙齿格式对两层液膜流动进行了数值模拟。耦合条件的开发，由相邻的宏观尺度值在补丁的边缘的值近似。数值特征值分析表明，间隙齿格式与开发的两层微尺度模拟器授权可行的计算大规模模拟的流体膜流动。我们还实现了数值模拟的流体膜流动的间隙齿计划。间隙齿模拟和微尺度模拟之间的比较在整个域表明，间隙齿方案可行地计算流体膜流动动力学与计算节省。
2014-05-28 math.DS physics.flu-dyn
Accuracy of patch dynamics with mesoscale temporal coupling for efficient exascale simulation
University of Adelaide（阿德莱德大学）；Princeton University（普林斯顿大学）
本文提出一种改进的补丁动力学方案，通过在中尺度时间尺度上重新评估补丁耦合条件以减少数据传输，分析中尺度时间间隔、补丁大小及微尺度与宏尺度比值对误差的影响。
2015-04-08 cs.NA math.DS math.NA
Embed to rigorously and accurately homogenise quasi-periodic multi-scale heterogeneous PDEs, with computer algebra
对于微尺度非均质偏微分方程，本文进一步发展了新的理论和方法，其宏观尺度的数学/渐近均匀化。本文特别包括有限尺度分离的准周期非均匀性的情况：不需要尺度分离限制。动力系统理论将均匀化定义为非均匀性所有相移的集合的慢流形。根据准周期不均匀性内的任何感知尺度分离，均匀化可以在一个步骤或两个连续步骤中完成：结果是等效的。这一理论不仅为我们提供了均匀化的存在和产生的保证，而且为我们提供了一种构造任意阶均匀化的实用的系统方法。对于一类的异质性，我们表明，宏观均匀化是潜在的有效的长度，这只是微观异质性的两倍！这种方法提供了一种新的严格和灵活的方法来均匀化，也可能提供正确的初始和边界条件，强迫和控制的治疗，以及不确定性分析。
2022-09-06 math.AP math.DS
Nonlocal multiscale modelling of tumour-oncolytic viruses interactions within a heterogeneous fibrous/non-fibrous extracellular matrix
在这项研究中，我们调查计算肿瘤溶瘤病毒（OV）的相互作用，发生在一个异质的细胞外基质（ECM）。ECM被视为两个组成相的混合物，即纤维相和非纤维相。这里提出的多尺度数学模型集中在非局部细胞-细胞和细胞-ECM相互作用，以及这些相互作用如何受到癌细胞感染OV的影响。在宏观尺度上，我们跟踪癌细胞、病毒颗粒和ECM的动力学。在微观尺度上，我们跟踪（i）由癌细胞产生的基质降解酶（MDE）降解ECM，这进一步影响肿瘤边界的移动;（ii）影响宏纤维重排的微纤维重排（即，宏观上的纤维）。在这个新的多尺度模型的帮助下，我们研究了两个问题：（i）感染的癌细胞通量是否是响应ECM密度的局部或非局部平流的结果;以及（ii）ECM纤维对溶瘤病毒的空间传播和溶瘤病毒治疗的结果有什么影响。
2021-12-17 math.DS q-bio.PE
Construct accurate multi-continuum micromorphic homogenisations in multi-D space-time with computer algebra
本文提出一个基于现代动力系统理论的渐近均匀化框架，在有限尺度分离下构建由微尺度物理信息指导的多连续体或微形态均匀化，消除传统假设并实现高度可控的准确性与保真度。
2025-04-06 cs.MS math.AP math.DS
Two novel families of multiscale staggered patch schemes efficiently simulate large-scale, weakly damped, linear waves
本文提出两类基于新型二维交错补丁格式的无方程多尺度方法，用于高效模拟弱阻尼线性波，计算时间可降低10^5倍，为非线性多尺度波模拟奠定基础。
2022-10-28 cs.NA math.DS math.NA
